圆锥曲线极点极线问题

.圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用定勇（省宁国中学 ，242300）圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多， 原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力.文[1]给出了两个较为简洁的结论：命题1椭圆x2y21，点Px0,y0对应的极线x0xy0y1.a2b2a2b2双曲线x2y21，点Px0,y0对应的极线x0xy0y1.a2b2a2b2抛物线y22px，点Px0,y0对应的极线pxy0ypx00.命题2 圆锥曲线中极线共点于P，则这些极线相应的极点共线于点 P相应的极线.反之亦然.称为极点与相应极线对偶性 .以上结论在文 [2]中有证明.如图给出椭圆的极点与对应极线的简图：P在椭圆内 P在椭圆外题1、（2010文15）.已知椭圆C:x2y21的两焦点为F1,F2,点Px0,y0满足2x22x0x00y01,则|PF1|+PF2|的取值围为_______，直线y0y1与椭圆C的公共22点个数_____...解析：第一个问题，依题意知，点P在椭圆部.画出图形，由数形结合可得围为2,22.第二个问题，其实是非常容易做错的题目.因为Px0,y0在椭圆C:x2y21的2部，所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点，但直线x0xy0y1并不经过2Px0,y0.还有学生看到x0xy0y1这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共2点.事实上，x0xy0y1是Px0,y0x2y212对应的极线，Px0,y0在椭圆C:2的部，由命题2画出相应极线，此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.如果能够用极点与极线理论，本题能够快速解决.而常规方法只能联立方程用判别式判断了.题2、（2010文21）已知以原点O为中心，F(5,0)为右焦点的双曲线C的离心率e5.2（Ⅰ）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题图，已知过点M(x1,y1)的直线l1：x1x4y1y4与过点N(x2,y2)（其中x2x1）的直线l2：x2x4y2y4的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于GH、两点，求OGOH的值.解析：（I）C的标准方程为x2y21.4C的渐近线方程为y1x.2（II）如图，直线l`:x1x4y1y4和l2:x2x4y1y4上显然是椭圆x24y24的两条切线，由题意点E(xE,yE)在直线l`:x1x4y1y4和l2:x2x4y1y4上，MN即是由E点生成的椭圆的极线.因此直线MN..的方程为xEx 4yEy 4.MN的方程求出后剩下工作属常规计算 .设G、H分别是直线 MN与渐近线x 2y 0及x 2y 0的交点，由方程组xEx4yEy4,及xEx4yEy4,x2y0x2y0,xC4,xN42yE.解得xE2yExEyC2,yN2xExE2yE2yEuuuruuur442212故OGOG2yExE2yExE2yExE2yE22.xExE4yE因为点E在双曲线x2y2上有224.所以uuuruuur123.41,xE4yEOGOHxE24yE2分析：如果是常规方法求直线MN的方程，只能是观察：由题意点E(xE,yE)在直线l`:x1x4y1y4和l2:x2x4y1y4上，因此有x1xE4y1yE4,x2xE4y2yE4故点M、N均在直线xEx4yEy4上，因此直线MN的方程为xEx4yEy4.应该说很难观察，所以很多学生只能不了了之.题3、（201018）、在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆x2y21的左、右顶95ABF.设过点Tt,m）的直线TATB与椭圆分别交于点Mx1,y1)、点为、，右焦点为（、(N(x2,y2)，其中m>0,y10,y20.（Ⅰ）设动点P满足PF2PB24,求点P的轨迹；（Ⅱ）设x12,x21，求点T的坐标；3（Ⅲ）设t9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）.解析：（Ⅰ）（Ⅱ）很简单，略.（Ⅲ）我们先看看常规做法：点T的坐标为(9,m)..直线TA:ym(x3)，与椭圆联立得M(3(m280),40)12m280m280直线TB:ym(x3)，与椭圆联立得N(3(m220),20)6m220m220y20mx3(m220)当x1x2时，直线MN方程为：20m220m240m20m3(80m2)3(m220)80m220m280m220m2令y0，解得：x1.此时必过点D（1，0）；当x1x2时，直线MN方程为：x1，与x轴交点为D（1，0）.所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）.分析：怎么样？目瞪口呆吧.应该说，一点也不难，但是很难算对.如果知道点T的坐标为9,m，事实上T的轨迹是x9，可以看成是一条极线：1x0y1，所以它一定过定点D（1，0）.95题4、已知椭圆C的离心率e3，长轴的左右端点分别为A12,0，A22,0。2（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线xmy1与椭圆C交于P、Q两点，直线A1P与A2Q交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。..22Cxy1ab01a2b2a2ec3c3b2a2c214a2Cx2y22154m0,P1,3,Q1,3A1Py33,22x36A2Qy3x3,S14,3.7,2P1,3,Q1,3S24,3.22Sl:x48m,A1PA2QSl:x4x2y21my14y24,m24y22my302xmy1Px1,y1,Qx2,y2y1y22m39m2,y1y2m244A1PlS0(4,y0),y0y1,y06y1.42x12x12A2QlS0(4,y0),y0y2,y02y2.1042x22x22Qy0y06y12y26y1my212y2my134my1y26y1y2x12x22x12x22x12x2212m12m22m4m4012x12x22y0y0S0S0mSl:x413m0,P1,3,Q1,3A1Py3x3,A2Q2263y3x3,S14,3.72..m1,P8,3,Q0,1A1Py1x1,A2Qy1x1,55632S24,1.Sl:x48m,A1PA2QSl:x4x2y21my24y24,m24y242my30Px1,y1,Qx2,y21xmy1y1y22m,y1y2392424mmA1Pyy1x2,A2Qy2x2,y,x12y2x2y1x2y2x2x4x1x2226y12y2,3y1my21y2my13,x12x222my1y23y1y2.2my1y23y1y26m6mm24m20,4mSl:x4x2y21my24y24,m24y242my301xmy1Px1,y1,Qx2,y2y1y22m,y1y236224m4mA1Pyy1x2,A2Qyy2x2,7x1x222yy1x2,2y1y2x1x2x2,9y2x2yx2,x1222x2x2y2x12y1x222y2my13y1my212my1y23y2y1gggy2x12y1x22y2my13y1my2123y2y12mg332my1y124m242gm4.122m3y1y124mmSl:x413..2006高考全国卷（ 21）（本小题满分为 14分）已知抛物线 x2 4y的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且B两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M。uuuuruuur（I）证明FM.AB为定值；

uuur uuurAF FB( 0).过A、（II）设 ABM的面积为S，写出S f( )的表达式，并求 S的最小值。（21）（本小题满分13分）设，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线yx上运动，uuuruur点Q满足BQQA，经过Q点与Mx轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足uuuruuurQMMP,求点P的轨迹方程。..（20）（本小题满分 13分）点P(x0,y0)在椭圆x2y21(ab0)上，x0acos,y0bsin,0.直线a2b22l2与直线l1:x0xy0y1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线l2的倾斜角2b2为.a（I）证明:点P是椭圆x2y21与直线l1的唯一交点；a2b2II）证明:tan,tan,tan构成等比数列。我们知道，各省市专家在命