线性系统的频域分析方法

（优选）线性系统的频域分析方法现在是1页\一共有207页\编辑于星期三引言(1)高阶系统的分析难以进行；(2)当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行；用时域法分析系统的性能比较直观、准确，但是求解系统的时域响应往往比较繁杂。1.时域分析法的缺点现在是2页\一共有207页\编辑于星期三频域分析法是二十世纪三十年代发展起来的研究自动控制系统的一种经典工程实用方法。是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解方法，可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。2.频域分析法

频域性能指标与时域性能指标之间有着内在的联系，通过这种内在联系，可以由系统的频域性能指标求出时域性能指标或反之。因此，频域分析法与时域分析法是统一的。现在是3页\一共有207页\编辑于星期三频域分析法的优点(1)不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解法来研究系统的稳定性。由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而形象直观且计算量少。(2)系统的频率特性可用实验方法测出。频率特性有明确的物理意义，它可以用实验方法来测定，这对于难以列写微分方程式的元件或系统来说，具有重要的实际意义。现在是4页\一共有207页\编辑于星期三(3)频域分析法不仅适用于线性定常系统的分析研究，还可以推广应用于某些非线性控制系统。(4)便于系统分析和校正。根据系统的频率性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可以简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响，便于分析和校正。2.频域分析法现在是5页\一共有207页\编辑于星期三第五章线性系统的频域分析法本章主要内容：5.1频率特性5.2典型环节和开环频率特性曲线的绘制5.3频率域稳定判据5.4稳定裕度5.5闭环系统的频域性能指标6现在是6页\一共有207页\编辑于星期三第五章线性系统的频域分析法本章要求：正确理解基本概念；掌握开环频率特性曲线的绘制；熟练运用频率域稳定判据；掌握稳定裕度的概念；了解闭环频域性能指标。7现在是7页\一共有207页\编辑于星期三§5.1频率特性本节主要内容：

1、频率特性的基本概念

2、频率特性的几何表示8现在是8页\一共有207页\编辑于星期三G(S)R(s)C(s)系统结构图如图:设系统传递函数为特征方程的根。G(s)=(S-S1)(S-S2)···(S-Sn)U(s)r(t)=AsinωtS1,S2‥‥Sn输出响应

c(t)?R(s)=AωS2+ω2C(s)=G(s)R(s)C(s)=(S-S1)(S-S2)···(S-Sn)U(s)AωS2+ω2·一、频率特性的基本概念1.频率特性的定义现在是9页\一共有207页\编辑于星期三C(s)=A2S–jωA1S+jωBiS–Si∑ni=1++c(t)=A1e-jtωejtω+A2∑ni=1esit+Bi将C(s)按部分分式展开:拉氏反变换得:设系统是稳定的，即S1,S2···Sn的实部均小于零。

系统的稳态响应为cs(t)=limc(t)=A1e-jtωejtω+A2t→∞求待定系数:A1=G(s)AωS2+ω2·(S+jω)S=-jω=G(-jω)-2jA=-2jA|G(jω)|e-jG(jω)同理:A2=G(jω)2jA=2jA|G(jω)|ejG(jω)代入-2jcs(t)=A|G(jω)|ej[G(jω)]ωt+e-j[G(jω)]ωt+=A|G(jω)|sin[G(jω)]ωt+A1系统正弦信号作用下的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅值之比为|G(jω)|,稳态输出与输入间的相位差为∠G(jω)。现在是10页\一共有207页\编辑于星期三系统输入输出曲线r(t)t0c(t)φr(t)c(t)AAG(jω)=φ(ω)G(jω)现在是11页\一共有207页\编辑于星期三定义:系统的幅频特性：

系统的相频特性：

系统的频率特性：G(jω)=G(s)S=jωjG(jω)=|G(jω)|e

=A(ω)ejφ(ω)A(ω)

=|G(jω)|=φ(ω)G(jω)现在是12页\一共有207页\编辑于星期三---幅频特性幅频特性曲线幅频特性：在正弦信号输入下，稳态输出与输入的幅值之比。1.00A(w)w线性系统G(s)频率特性的物理意义：稳定系统的频率特性等于输出和输入的幅值和相位的变化，这就是频率特性的物理意义。现在是13页\一共有207页\编辑于星期三---相频特性相频特性曲线相频特性：在正弦信号输入下，稳态输出与输入正弦信号的相位差。j(w)w线性系统G(s)现在是14页\一共有207页\编辑于星期三

右图为RC滤波网络，设电容C的初始电压为uo０,取输入信号为正弦信号，曲线如图所示。15RCui(t)uo(t)+-+-i

(t)当响应呈稳态时，可以看出仍为正弦信号，频率与输入信号相同，幅值较输入信号有一定衰减，相位存在一定延迟。ABφ现在是15页\一共有207页\编辑于星期三16RCui(t)uo(t)+-+-i

(t)其微分方程是网络的传函输出电压的瞬态分量稳态分量右图RC网络输入频率响应现在是16页\一共有207页\编辑于星期三17随着t趋于无穷大,瞬态分量趋于零,于是都是频率ω的函数幅频特性相频特性∠ω1A00.2A0.4A0.6A0.8AA(ω)12345TTTTTω0-80-60-40-200Φ(ω)12345TTTTT现在是17页\一共有207页\编辑于星期三18幅频特性和相频特性统称为频率特性频率特性:

线性定常系统的频率特性是零初始条件下稳态输出正弦信号与输入正弦信号的复数比(频域）。2.介绍几个名词：幅值比：同频率下输出信号与输入信号的幅值之比。B/A相位差：同频率下输出信号的相位与输入信号的相位之差。φ现在是18页\一共有207页\编辑于星期三19幅频特性：幅值比与频率之间的关系。相频特性：相位差与频率之间的关系。幅相特性：将幅频和相频画到一起。矢量端点的轨迹。现在是19页\一共有207页\编辑于星期三3.求取频率特性的方法：实验法20利用传递函数求频率特性的方法：系统的频率特性G(jω)可以通过系统的传递函数G(s)来求取：利用传递函数求已知系统的方程，输入正弦函数求其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数比一般不用现在是20页\一共有207页\编辑于星期三21例1:设单位反馈控制系统的开环函数为，若输入信号为：，试求(1)稳态输出css(t)(2)稳态误差ess(t)?解:(1)稳态输出：现在是21页\一共有207页\编辑于星期三22(2)稳态误差：现在是22页\一共有207页\编辑于星期三23将G(jω)写成复数形式：---实频特性---虚频特性幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间的关系：4.频率特性的表示法现在是23页\一共有207页\编辑于星期三241.幅频—相频形式:

G(jω)=|G(jω)|∠G(jω)2.

实频—虚频形式:G(jω)=P(ω)+jQ(ω)3.

三角函数形式:

G(jω)=A(ω)cosj(ω)+jA(ω)sinj(ω)4.

指数形式:

G(jω)=A(ω)ejφ(ω)频率特性的表示法现在是24页\一共有207页\编辑于星期三由于频率特性是传递函数的一种特殊形式，因而它和传递函数、微分方程一样，可以表征系统的运动规律，是描述系统的又一种数学模型。255.频率特性与其它数学模型的关系微分方程频率特性传递函数脉冲函数现在是25页\一共有207页\编辑于星期三26[例2]：设传递函数为：微分方程为：频率特性为：现在是26页\一共有207页\编辑于星期三27频率特性的极坐标图（幅相图）/奈魁斯特图频率特性的对数坐标图/伯德图频率特性的对数幅相图/尼柯尔斯图二、频率特性的几何表示法现在是27页\一共有207页\编辑于星期三28系统的开环频率特性通常有三种表达形式:1.通过频率特性G(jω)的模|G(jω)|与相位∠G(jω)在极坐标中表示的图形,称为极坐标图(Polarplot)或奈魁斯特图(Nyquistplot)。

2.通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形,称为对数坐标图(Logarithmicplot)或伯德图(Bodeplot)。

3.用伯德图中的幅频特性与相频特性统一绘制成的图形来表示系统的频率特性。这种表达频率特性的图形称为对数幅相图（Log-magnitude-phasediagram）或尼柯尔斯图(Nicholschart)。现在是28页\一共有207页\编辑于星期三291.极坐标图当ω：0→∞时，向量G(jω)的幅值|G(jω)|和相角j(ω)随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图或Nyqusit图（奈氏图）。以横轴为实轴、纵轴为虚轴。--幅相频率特性曲线（Nyqusit曲线）

是ω的偶函数，是ω的奇函数，因此，ω：0→-∞时，G(-jω)与G(jω)关于实轴对称。G(jw2

)G(jw1

)w0ReImω＝０ω＝∞现在是29页\一共有207页\编辑于星期三30共轭对称共轭对称一般作图方法(1)手工绘制取ω=0和ω=∞两点，必要时还应在0<ω<∞之间选取一些特殊点，算出这些点处的幅值和相角，然后在幅相平面上作出这些点，并用光滑的曲线将它们连接起来。(2)用计算机绘制现在是30页\一共有207页\编辑于星期三312.伯德图--对数频率特性曲线（Bode曲线）

伯德图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成，都以频率为横轴变量。惯性环节现在是31页\一共有207页\编辑于星期三32(1)伯德图的坐标横坐标分度：横坐标采用不均匀的对数刻度纵坐标采用线性刻度半对数坐标lgω0132ω１2345678910100lgω00.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.954121101000100ω

线性分度：变量增大1时，坐标间距离变化一个单位长度。对数分度：变量增大10倍时，坐标间距离变化一个单位长度。现在是32页\一共有207页\编辑于星期三33纵坐标分度：

对数幅频特性曲线L(ω)--对数幅值L(ω)=20lgA(ω)对数相频特性曲线单位：分贝(dB)单位：度(o)或弧度

以频率ω的对数值lgω

进行线性分度，但为了便于观察仍标以ω的值，因此对ω

而言是非线性刻度。Dec(十倍频程)：ω每变化十倍，横坐标变化一个单位长度。现在是33页\一共有207页\编辑于星期三34(2)使用对数坐标图的优点①由于横坐标采用对数刻度，展宽了低频段，压缩了高频段；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性②纵坐标采用L(ω)=20lgA(ω)可以将幅值的乘法运算转化为加法运算；现在是34页\一共有207页\编辑于星期三35③所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线(渐近线)近似表示；④对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。现在是35页\一共有207页\编辑于星期三36(3)关于Bode图的说明①由于横坐标采用ω的对数刻度，所以ω=0不可能在横坐标上表示出来；②横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定。现在是36页\一共有207页\编辑于星期三37本章主要内容：

1、典型环节及其频率特性

2、开环幅相曲线绘制

3、开环对数频率特性曲线绘制

4、传递函数的频率实验确定§5.2典型环节与开环系统频率特性现在是37页\一共有207页\编辑于星期三一、典型环节的频率特性38系统的开环传递函数是由一系列具有不同传递函数的典型环节所组成现在是38页\一共有207页\编辑于星期三39G(jω)=KA(ω)=Kφ(ω)=0o1．比例环节0KReIm比例环节的奈氏图(1)奈氏图奈氏图是实轴上的K点。G(s)=K

传递函数和频率特性

幅频特性和相频特性起始角，起始点的相位角现在是39页\一共有207页\编辑于星期三40

比例环节的伯德图对数幅频特性：对数相频特性：(2)伯德图20lgK0L(ω)/dB0ω10.110.1ωL(ω)=20lgA(ω)=20lgK=0o=tg-1φ(ω)Q(ω)P(ω)φ(ω)K不同时：幅频曲线上下平移，相频曲线不变。现在是40页\一共有207页\编辑于星期三41传递函数:

G(s)=Kdb40200-20-400.11.0101000.010.11.0101000.0120lgK对数幅频特性L(w)=20lgK相频特性

j(w)=0比例环节K>1时20lgKK=1时20lgKK<1时现在是41页\一共有207页\编辑于星期三422．惯性环节传递函数和频率特性

幅频特性和相频特性G(s)=1Ts+1G(jω)=1jωT+1

A(ω)=11+(ωT)2φ(ω)=-tg-1ωT(1)奈氏图绘制奈氏图近似方法:

根据幅频特性和相频特性求出特殊点,然后将它们平滑连接起来.ω=∞A(ω)=0φ(ω)=-90o惯性环节的奈氏图ω=0A(ω)=1φ(ω)=0o取特殊点：1ω=TA(ω)=0.707φ(ω)=-45o可以证明：

惯性环节的奈氏图是以(1/2,jo)为圆心，以1/2为半径的半圆。ω∞ReIm00.7071ω=Tω=0-45现在是42页\一共有207页\编辑于星期三43整理得：证明:现在是43页\一共有207页\编辑于星期三44传递函数幅频特性：相频特性：0K现在是44页\一共有207页\编辑于星期三45(2)伯德图ω

<1/T频段,可用0dB渐近线近似代替。L(ω)=20lg11+(ωT)2ω<<1T(ωT)2<<120lg1=0dB~~L(ω)

惯性环节的伯德图ω>>1T(ωT)2>>120lgωT1~~L(ω)

=-20lgωTω

>1/T频段，可用-20dB/dec渐近线近似代替

两条渐近线相交点的频率为转折频率ω

=1/T。

渐近线所产生的最大误差值为：L(ω)=20lg11+(ωT)221=20lg=-3.03dBL(ω)/dB渐近线转折/交接频率渐近线精确曲线-20020-20dB/decT110T110Tω相频特性曲线：ω=0φ(ω)=0oφ(ω)=-45oω=1/Tφ(ω)=-90oω→∞ω0-45-90φ(ω)wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.4现在是45页\一共有207页\编辑于星期三46传递函数:对数幅频特性，为对数幅频特性的高频段相频特性渐近线精确曲线转折频率当，为对数幅频特性的低频段当，为对数幅频特性的转折点转折频率现在是46页\一共有207页\编辑于星期三473．积分环节

传递函数和频率特性

幅频特性和相频特性(1)奈氏图积分环节奈氏图G(s)=1SG(jω)=1jωA(ω)=1ωφ(ω)=-90o0现在是47页\一共有207页\编辑于星期三48(2)伯德图对数幅频特性：

对数相频特性：

积分环节的伯德图L(ω)=20lgA(ω)=-20lgωφ(ω)=-90oΦ(ω)ω10.1100-90L(ω)/dB10.1ω10020-2040-20dB/dec分析：w=1,L=0dbw=10,L=-20db

现在是48页\一共有207页\编辑于星期三49db40200-20-400.11.0101000.010.11.0101000.01传递函数:

G(s)=1/s对数幅频特性L(w)=-20lg

w相频特性

分析：w=1,L=0dbw=10,L=-20db

现在是49页\一共有207页\编辑于星期三504．微分环节

传递函数和频率特性

幅频特性和相频特性(1)奈氏图

微分环节奈氏图G(s)=SG(jω)=jωA(ω)=ωφ(ω)=90o0ω=0ω=∞现在是50页\一共有207页\编辑于星期三51(2)伯德图微分环节的伯德图对数幅频特性：

对数相频特性：L(ω)=20lgA(ω)=20lgωφ(ω)=90oΦ(ω)ω10.110L(ω)/dB10.1ω10020-2020dB/dec090现在是51页\一共有207页\编辑于星期三52现在是52页\一共有207页\编辑于星期三535．一阶微分环节传递函数和频率特性：幅频特性和相频特性：G(s)=1+TsG(jω)=1+jωTA(ω)=1+(ωT)2φ(ω)=tg-1ωT(1)奈氏图1ReIm0∞ω=0一阶微分环节奈氏图ω=0A(ω)=1φ(ω)=0oω=∞A(ω)=∞φ(ω)=90o现在是53页\一共有207页\编辑于星期三54--转折/交接频率高频渐近线斜率为20dB/Dec对数幅频特性：相频特性：低频渐近线为0dB的水平线(2)伯德图db3020100-100.050.10.20.51.02.0510200.050.10.20.51.02.051020现在是54页\一共有207页\编辑于星期三55

对数幅频特性：L(ω)=20lg1+(ωT)2

一阶微分环节的频率特性与惯性环节成反比,所以它们的伯德图对称于横轴.G(jω)=1+jωT1+jωTG(jω)=1L(ω)=20lg1+(ωT)21现在是55页\一共有207页\编辑于星期三56db3020100-100.050.10.20.51.02.0510200.050.10.20.51.02.051020微分环节惯性环节现在是56页\一共有207页\编辑于星期三57６．二阶微分环节（１）奈氏图现在是57页\一共有207页\编辑于星期三58--转折/交接频率（２）伯德图高频渐近线斜率为40dB/Dec对数幅频特性：相频特性：低频渐近线为0dB的水平线现在是58页\一共有207页\编辑于星期三59伯德图现在是59页\一共有207页\编辑于星期三60

７．振荡环节传递函数和频率特性：幅频特性和相频特性：G(s)=s2+2ωn2ζωns+ωn2G(jω)=ωn2ωn

2-ω2+j2ζ

ωnωA(ω)=(ωnωn22-ω2)2+(2ζωnω)2=(1-ωω2ωn1)222n)2+(ζω现在是60页\一共有207页\编辑于星期三61

振荡环节的奈氏图(1)奈氏图ω=0A(ω)=1φ(ω)=0oReIm01ω=0ω=ωnξ=0.8ξ=0.6ξ=0.4ω∞ω=ωnφ(ω)=-90oω=∞A(ω)=0φ(ω)=-180oA(ω)=2ζ1

振荡环节的频率特性曲线因ζ值的不同而异.现在是61页\一共有207页\编辑于星期三62(2)伯德图

对数幅频特性：(1-)2+()2ω2ωn22ζωωn1L(ω)=20lgω<<ωnL(ω)≈20lg1=0dBω>>ωnL(ω)≈-40lgωωn

对数相频特性：ω=0φ(ω)=0oφ(ω)=-90oω=ωnφ(ω)=-180oω→∞→转折频率ω=ωn现在是62页\一共有207页\编辑于星期三63=0.1=0.5=0.2=0.3=0.7=1当>>1时,即高频段渐近线当<<1时,即低频段渐近线渐近线振荡环节的伯德图现在是63页\一共有207页\编辑于星期三64

从图可知,当ζ较小时，对数幅频特性曲线出现了峰值，称为谐振峰值Mr，对应的频率称为谐振频率ωr。dA(ω)dω=0ωr=ωn1-2ζ2

(0≤ζ≤0.707)

Mr=A(ωr)=2ζ1-ζ21可求得代入得

精确曲线与渐近线之间存在的误差与ζ值有关，ζ过大或过小，误差都较大，曲线应作出修正。现在是64页\一共有207页\编辑于星期三65渐近线误差用渐进特性近似表示对数幅频特性存在误差误差曲线为一曲线簇，根据误差曲线可以修正渐进特性曲线而获得准确曲线现在是65页\一共有207页\编辑于星期三８.延迟环节66

延迟环节的奈氏图是一个单位圆(1)奈氏图1ω=00ReImG(s)=e-τsG(jω)=e-jωτA(ω)=1φ(ω)=-τωc(t)=1(t-τ)r(t-τ)现在是66页\一共有207页\编辑于星期三67（2）伯德图时滞环节的伯德图φ(ω)=-τωL(ω)=20lg1=0φ(ω)L(ω)/dBω0ω1100-100-200-300延迟环节对系统的影响是造成了相频特性的明显变化现在是67页\一共有207页\编辑于星期三68惯性环节一阶微分环节传递函数互为倒数的典型环节对数幅频特性曲线关于0dB线对称；对数相频特性曲线关于0o线对称。典型环节综合分析现在是68页\一共有207页\编辑于星期三69纯微分环节积分环节现在是69页\一共有207页\编辑于星期三70振荡环节二阶微分现在是70页\一共有207页\编辑于星期三71环节传递函数

斜率(dB/dec)特殊点φ(ω)常用典型环节伯德图特征表s2+2ωnζωns+ωn221+τs0o1s1Ts+11s2KL(ω)=0ω=1,L(ω)=20lgKL(ω)=0ω=1,T1ω=转折频率转折频率1ω=τ转折频率ω=ωn-90o-180o0o～-90o0o～90o0o～-180o比例积分重积分惯性比例微分振荡00，-20-20-400，200，-40现在是71页\一共有207页\编辑于星期三72※对于最小相位系统而言,幅频特性和相频特性之间有着确定的单值关系。

最小相位传递函数：在复平面S的右半面既没有极点、也没有零点的开环传递函数。※若ω→∞时,幅频特性的斜率为-20(n-m)dB/dec,

其中n,m分别为传递函数中分母、分子多项式的阶数,而相角等于-90°(n-m),则系统是最小相位系统。最小相位系统：具有最小相位传递函数的系统。※具有相同幅频特性的系统,最小相位系统的相角变化范围最小。

最小相位系统现在是72页\一共有207页\编辑于星期三73

９．非最小相位环节

开环传递函数中没有S右半平面上的极点和零点的环节,称为最小相位环节;

而开环传递函数中含有S右半平面上的极点或零点的环节,则称为非最小相位环节。

最小相位环节对数幅频特性与对数相频特性之间存在着唯一的对应关系。而对非最小相位环节来说，就不存在这种关系。现在是73页\一共有207页\编辑于星期三74(1)比例环节：(2)惯性环节：(3)一阶微分环节：(4)振荡环节：(5)二阶微分环节：

除了比例环节外，非最小相位环节和与之相对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的位置。最小相位环节非最小相位环节＋＋＋＋＞现在是74页\一共有207页\编辑于星期三

的幅相曲线

幅相曲线75现在是75页\一共有207页\编辑于星期三幅相曲线76现在是76页\一共有207页\编辑于星期三对数频率特性曲线77现在是77页\一共有207页\编辑于星期三对数频率特性曲线78现在是78页\一共有207页\编辑于星期三对数频率特性曲线79现在是79页\一共有207页\编辑于星期三80非最小相位的惯性环节最小相位的惯性环节＋－其幅频特性相同，相频特性符号相反，幅相曲线关于实轴对称。举例分析最小相位环节与非最小相位环节区别及联系现在是80页\一共有207页\编辑于星期三81最小相位的惯性环节非最小相位的惯性环节对数幅频特性曲线相同；相频特性曲线关于0o线对称。

这些特点同样适合于其他最小相位环节对。现在是81页\一共有207页\编辑于星期三82二、系统的开环幅相频率特性曲线的绘制系统的开环频率特性通常是若干典型环节频率特性的乘积

极坐标形式：求系统的开环幅相特性：首先计算ω=0和ω=∞时开环频率特性的幅值及相角,然后分析或计算中间过程，绘制极坐标图。现在是82页\一共有207页\编辑于星期三（1）确定开环幅相曲线的起点和终点；83绘制奈氏图的三要素（2）确定开环幅相曲线与实轴的交点

或为穿越频率，开环幅相曲线与实轴交点为（3）开环幅相曲线的变化范围（象限和单调性）。现在是83页\一共有207页\编辑于星期三84020例1系统开环传递函数是G(s)H(s)=试绘制其极坐标图。

当时幅值：相角：当时幅值：相角：现在是84页\一共有207页\编辑于星期三850当时幅值：相角：例2系统开环传递函数是G(s)H(s)=,试绘制极坐标图。

－KT当时幅值：相角：现在是85页\一共有207页\编辑于星期三86例3系统开环传递函数是G(s)H(s)=试绘制其极坐标图。

0当时幅值：相角：当时幅值：相角：现在是86页\一共有207页\编辑于星期三87例4比较下列函数的极坐标图：每增加一个积分环节，频率特性就滞后90°；若增加λ个积分环节，频率特性就滞后λ90°。现在是87页\一共有207页\编辑于星期三88例5比较下列函数的极坐标图：结论：每增加一个一阶环节，当ω→∞时，相位应滞后90°。现在是88页\一共有207页\编辑于星期三89例6：比较下列函数的极坐标图：思考题：现在是89页\一共有207页\编辑于星期三最小相位系统奈氏图小结：90一般情况1.0型系统：无积分环节的系统，λ=0现在是90页\一共有207页\编辑于星期三912.1型系统：有一个积分环节的系统，λ=13.2型系统：有2个积分环节的系统，λ=2ω=0时ω=∞时0型1型2型起始幅角与系统型号有关n-m=1n-m=2n-m=3终止幅角与n-m个数有关注意：若开环传递函数中含有在右半平面的极点或零点，幅相曲线的起点和终点不具有以上规律！现在是91页\一共有207页\编辑于星期三924.ω→0时的渐近线平行于虚轴的渐近线平行于实轴的渐近线现在是92页\一共有207页\编辑于星期三935.极坐标曲线与实、虚轴的交点求与虚轴的交点，令实部为0。求与实轴的交点，令虚部为0。现在是93页\一共有207页\编辑于星期三94例1

某0型单位负反馈系统开环传递函数为

试概略绘制系统开环幅相曲线。解：由于惯性环节的角度变化为０°-900，故该系统开环幅相曲线中起点为：终点为：系统开环频率特性现在是94页\一共有207页\编辑于星期三95令，得，即系统开环幅相曲线除在处外与实轴无交点。由于、可正可负，故系统幅相曲线在第Ⅱ和第Ⅰ象限内变化，系统概略开环幅相曲线如左图虚线所示。

由于，而非最小相位比例环节的相角恒为，故此时系统概略开环幅相曲线相对于最小相位比例环节的曲线，绕原点顺时针旋转而得。

w00>Kj现在是95页\一共有207页\编辑于星期三96例2:设某Ⅰ型系统的开环传函为：(K,T1,T2>0)，试绘制其开环极坐标图。解：分析：1.w=0时当ω→0时，G(jω)渐近线是一条通过实轴-K(T1+T2)，且平行于虚轴的直线。现在是96页\一共有207页\编辑于星期三972.当w→∞时3.与实轴的交点令：Q(w)

=0解得：交点为：ImRe极坐标图：现在是97页\一共有207页\编辑于星期三98幅值和相角分别为:先绘制惯性环节G1(jω)的极坐标图

在每一个频率ω上幅值保持不变,相角再增加-ωτ,即得该系统的奈氏图例3系统开环传递函数是试绘制其极坐标图。现在是98页\一共有207页\编辑于星期三99

例4已知系统的开环传递函数试画出该系统的开环幅相特性曲线。解：

n=mG(s)=K(1+τs)1+Ts1+(ωτ)21+(ωT)2KA(ω)=φ(ω)=tg-1ωτ-tg-1ωT1)τ>Tω=0A(ω)=Kφ(ω)=0oω>0A(ω)>Kφ(ω)>0oω=∞A(ω)>Kφ(ω)=0oKτ

Tω=∞Kω=0Re0Imτ>T的奈氏图2)τ<Tω=0A(ω)=Kφ(ω)=0oω>0A(ω)<Kφ(ω)<0oω=∞A(ω)<Kφ(ω)=0oτ<T的奈氏图ω=∞Kω=0Re0ImKτ

T现在是99页\一共有207页\编辑于星期三100例5已知系统开环传递函数为试概略绘制系统开环幅相曲线。解系统开环频率特性为起点：终点：与实轴的交点：现在是100页\一共有207页\编辑于星期三101因为从单调减至，故幅相曲线在第第Ⅲ象限与第Ⅱ象限间变化。开环概略幅相曲线如图所示。现在是101页\一共有207页\编辑于星期三102

例1已知开环传递函数，试画出系统的开环对数频率特性曲线。解：G(s)=(S+10)S(2S+1)G(s)=10(0.1S+1)S(2S+1)1)将式子标准化解2)画出各环节的对数频率特性曲线。G1(s)=10ω-20dB\decφ3φ1φ4φ2Φ(ω)L(ω)/dBL1L3L2L41100.5

-20020400-180-9090-40dB/dec-20dB/decωG2(s)=1SG3(s)=0.1S+1G4(s)=2S+113）将各环节的曲线相加，即为开环系统的对数频率特性曲线。三、系统的开环对数频率特性现在是102页\一共有207页\编辑于星期三103例2：系统开环传递函数如下，试画bode图。步骤：（1）找交接频率：（2）写出频率特性表达式：交接频率现在是103页\一共有207页\编辑于星期三104（3）画渐近特性：现在是104页\一共有207页\编辑于星期三105通过上例可知：

根据对数幅频特性曲线的低频段和各转折频率即可确定系统的对数频率特性曲线。

低频段幅频特性近似表示为：低频段曲线的斜率低频段曲线的高度L(ω)≈20lgK-20lgωυ-20υdB/decL(1)=20lgK现在是105页\一共有207页\编辑于星期三106绘制系统开环对数坐标图的一般步骤和方法:写出以时间常数表示、以典型环节频率特性连乘积形式的系统频率特性。(2)求出各环节的转折频率,并从小到大依次标注在对数坐标图的横坐标上。(3)计算20lgK的分贝值,其中K是系统开环放大系数。过ω=1,20lgK这一点,做斜率为-20νdB/dec的直线,此即为低频段的渐近线或其延长线,其中ν是开环系统包含串联积分环节的个数。现在是106页\一共有207页\编辑于星期三107(4)绘制对数幅频特性的其它渐近线。从低频段渐近线开始,从左到右,每遇到一个转折频率就按上述规律改变一次斜率。直到绘出转折频率最高的环节为止；如有必要再利用误差曲线修正,得到精确对数幅频特性的光滑曲线。(5)画出各典型环节的相频特性，叠加后得到开环系统的相频特性曲线。惯性环节：-20dB/dec振荡环节：-40dB/dec一阶微分环节：+20dB/dec二阶微分环节：+40dB/dec注意：对数幅频特性曲线上要标明斜率！现在是107页\一共有207页\编辑于星期三例3试绘制下列传递函数的对数坐标图。

108ω1=0.5

ω2=2

ω3=8

3、过ω=1,20log4=12dB这一点,作-20dB/dec的直线(ν=1),即为该系统低频渐近线。4、沿低频渐近线开始,从左到右,在每个环节的转折频率处相应改变系统渐近线斜率。

1、将此传递函数改写为用时间常数表示的形式,其频率特性为：2、计算各环节的转折频率：2、各环节的转折频率：2、各环节的转折频率：-20db/十倍频程-40db/十倍频程-20db/十倍频程-60db/十倍频程现在是108页\一共有207页\编辑于星期三例4绘制开环系统频率特性的对数幅频特性曲线解：a.确定转折频率ω1=1，ω2=2.5，ω3=5，ω4=1/0.04=25b.确定L(ω)起始段的高度和斜率过ω=1，L(ω)=20dB点画斜率为-20dB/dec的直线0204060-60-40-20L(ω)(dB)ω109ω1ω=1ω2ω=2.5ω3ω=5ω4ω=25Kv-20db/十倍频程-40db/十倍频程-20db/十倍频程-40db/十倍频程-80db/十倍频程现在是109页\一共有207页\编辑于星期三110例5:画出系统的Bode图解：G(s)=100(S+2)S(S+1)(S+20)G(s)=10(0.5S+1)S(S+1)(0.05S+1)将式子标准化各转折频率为：ω1-20dB/dec202-40dB/dec-20dB/decω0-180-90-40dB/decφ(ω)L(ω)/dB-2002040ω1=1ω2=2ω3=20低频段曲线：20lgK=20lg10=20dB相频特性曲线：ω=0φ(ω)=-90oω=∞φ(ω)=-180o现在是110页\一共有207页\编辑于星期三111例6系统开环传函为：试绘制系统的开环对数幅频特性。解：1.该系统是II型系统2.低频渐近线过点(1,20)斜率为：-20ν=-40dB/dec现在是111页\一共有207页\编辑于星期三1123.开环对数幅频特性：ω

110220100一阶微分振荡环节惯性环节斜率变化环节-20dB/dec+20dB/dec-40dB/dec现在是112页\一共有207页\编辑于星期三113例8开环系统传函为：，试画出该系统的伯德图。解：1.该系统是1型系统2.低频渐近线过点(1,20lgK)斜率为：-20ν=-20dB/dec3.伯德图如下：L(ω)ω现在是113页\一共有207页\编辑于星期三114例9系统开环传函为：，试绘制系统的开环对数频率特性。解：1.该系统是0型系统2.低频渐近线过点(1,20)斜率为：-20ν=0dB/dec3.开环对数幅频特性如下：-40dB/dec-60dB/dec124100ωL(ω)20现在是114页\一共有207页\编辑于星期三115红线为渐近线，蓝线为实际曲线。现在是115页\一共有207页\编辑于星期三1163）绘制低频段渐近特性线：由于一阶环节或二阶环节的对数幅频渐近特性曲线在交接频率前斜率为，在交接频率处斜率发生变化，故在频段内，开环系统幅频渐近特性的斜率取决于，因而直线斜率为为获得低频渐近线，还需确定该直线上的一点，可以采用以下三种方法：方法一：在范围内，任选一点，计算

方法二：取频率为特定值，则2）确定一阶环节、二阶环节的交接频率，将各交接频率标注在半对数坐标图的轴上；1）开环传递函数典型环节分解；对数频率特性曲线绘制的步骤：现在是116页\一共有207页\编辑于星期三117方法三：取为特殊值0，则有，即过在范围内作斜率为的直线。显然，若有，则点位于低频渐近特性曲线的延长线上。4）作频段渐近特性线：在频段，系统开环对数幅频渐近特性曲线为分段折线。每两个相邻交接频率之间为直线，在每个交接频率点处，斜率发生变化，变化规律取决于该交接频率对应的典型环节的种类，如下表所示。

现在是117页\一共有207页\编辑于星期三118注意：当系统的多个环节具有相同交接频率时，该交接频率点处斜率的变化应为各个环节对应的斜率变化值的代数和。

以的低频渐近线为起始直线，按交接频率由小到大顺序和由表确定斜率变化，再逐一绘制直线。现在是118页\一共有207页\编辑于星期三119四、传递函数的频域实验确定1.频率响应实验信号源对象记录仪

sinωt2.传递函数确定G(s)=Sυ∏(TjS+1)n-υj=1k∏(τiS+1)i=1m

根据Bode图确定传递函数主要是确定增益K和ν的值，转折频率及相应的时间常数等参数。现在是119页\一共有207页\编辑于星期三1201）ν=0低频渐近线为系统的伯德图20lgKX-40dB/dec0ωL(ω)/dB-20dB/decωcL(ω)=20lgK=χK=1020Χ即（1）根据低频段渐近线或其延长线在ω

=1的分贝值，根据传函中积分环节υ的不同分别确定开环增益K。现在是120页\一共有207页\编辑于星期三121ωL(ω)/dB1ω1ωc-20dB/dec-40dB/dec0低频段的曲线或其延长线与横轴相交点的频率为ω02）ν=1ω020lgKL(ω)=20lgKω=1lgω0-lg120lgK=2020lgK=20lgω0K=ω0系统的伯德图：因为故现在是121页\一共有207页\编辑于星期三122

0ω-20dB/dec-40dB/dec-40dB/decωc1L(ω)/dB3）ν=2lgω0-lg120lgK=4020lgK=40lgω0K=ω02系统的伯德图：L(ω)=20lgKω=120lgK低频段的曲线与横轴相交点的频率为ω0ω0因为故现在是122页\一共有207页\编辑于星期三123(2)确定系统积分环节的个数；低频段斜率为-20dB/dec，则系统开环传递函数有个积分环节，系统为型系统。(3)确定系统传递函数表达式；当某处系统对数幅频特性渐近线的斜率发生变化时，此即为某个环节的转折频率。现在是123页\一共有207页\编辑于星期三124ω0=3.164020-200L(ω)/dB0.5ω-20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec2例1最小相位系统如图所示，试求系统的传递函数。解:

对数频率特性曲线ω1=0.5ω2=2K=(ω0)2=10G(s)=10(2S+1)S2(0.5S+1)现在是124页\一共有207页\编辑于星期三125ω

0.1120例2.已知某最小相位系统由频率响应实验获得的对数幅频曲线如图所示，试确定其传递函数。(1)确定系统积分环节的个数υ=1解：(2)确定系统传递函数低频段的渐近线为-20dB/dec现在是125页\一共有207页\编辑于星期三126(0.1,20)和(1,20lgK)都位于-20dB/dec的直线上K=1ω

0.1120(3)确定开环增益K现在是126页\一共有207页\编辑于星期三127例3[例5-7]已知某最小相位系统的对数幅频曲线和对数渐进特性曲线如图所示，试确定其传递函数。(1)确定积分环节(或微分环节)的个数υ=-1解：(2)确定系统传递函数低频段的渐近线为+20dB/dec

一个微分环节现在是127页\一共有207页\编辑于星期三128(1,0)和(ω1,12)位于+20dB/dec的直线上ω1

=3.98(ω2,12)和(100,0)都位于-40dB/dec的直线上ω2

=50.1求ω1,ω2,

ζ现在是128页\一共有207页\编辑于星期三129K=1(3)确定开环增益K20lgK=0谐振峰值现在是129页\一共有207页\编辑于星期三130例4由实测数据作出系统的伯德图如图所示，试求系统的传递函数。ω0=3.16解:由图可得：20lgMr=3dBMr=1.41Mr==1.41ξ2ξ1-21得：ξ1=±0.92ξ2=±0.38根据0≤ξ≤0.707取ξ=0.38S23.162由频率曲线得G(s)=L(ω)/dB0.5ω-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec24020-2003dBωφ(ω)0-180-90-270ω0(0.25S2+0.38S+1)(2S+1)现在是130页\一共有207页\编辑于星期三131例5已知采用积分控制液位系统的结构和对数频率特性曲线,试求系统的传递函数。K1STs+1-hr(t)h(t)解:将测得的对数曲线近似成渐近线:L(ω)/dBω20-200φ(ω)0-180-90ω1-20dB/dec4-40dB/decφ(s)=1(S+1)(S/4+1)=10.25S2+1.25S+1)现在是131页\一共有207页\编辑于星期三§

5.３频率域稳定判据

本节主要内容：

1、奈氏判据的数学基础

2

、奈奎斯特稳定判据

3

、对数频率稳定判据132现在是132页\一共有207页\编辑于星期三133

奈奎斯特稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性，它是频率分析法的重要内容。奈氏判据能够：判断系统是否稳定(绝对稳定性)；确定系统的稳定程度(相对稳定性)；分析系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。现在是133页\一共有207页\编辑于星期三幅角定理1341.点的映射s0F(s0)闭环特征函数F(s)=1+G(s)H(s)［s］［F(s)］

奈魁斯特判据的数学基础是复变函数理论中的映射定理,又称幅角定理。

一、奈氏判据的数学基础现在是134页\一共有207页\编辑于星期三1352.围线的映射ReImF（s）平面s平面与F(s)平面的映射关系S平面z1,z2

……

zm——为F(s)的零点p1,p2

,……pn——为F(s)的极点现在是135页\一共有207页\编辑于星期三136（1）在s平面上顺时针不包围F(s)任何零、极点的围线s

，映射到F(s)平面上的s’必不包围F(s)的坐标原点。ReImS平面F（s）平面现在是136页\一共有207页\编辑于星期三137（2）在s平面上顺时针包围F(s)的一个零点的围线s，映射到F(s)平面上的s’必顺时针包围F(s)的坐标原点一周。ReIm封闭曲线包围z1时的映射情况S平面F（s）平面（逆时针）（极点）p0现在是137页\一共有207页\编辑于星期三138（3）s平面上顺时针包围F(s)的z个零点（或P个极点）的围线s，映射到F(s)平面的s’必顺（或逆）时针包围F(s)的坐标原点z(或P）周。如果s平面上的封闭曲线以顺时针方向包围函数F(s)的Z个零点和P个极点,则F(s)平面上的映射曲线相应地包围坐标原点N次,

Ｎ

=P-Z若P>Ｚ,N为正值，包围方向为逆时针;若P<Ｚ,N为负值，包围方向为顺时针。这种映射关系,称为映射定理。

一般情况：现在是138页\一共有207页\编辑于星期三139设系统的特征方程为

F(s)=1+G(s)H(s)=0代入特征方程,得其开环传递函数特征函数1)F(s)的分子与分母多项式的阶次相同；2)F(s)的极点就是开环传递函数的极点；3)F(s)的零点就是闭环传递函数的极点；4)复平面F与复平面GH只相差常数1，F平面的原点就是GH平面的(-1,j0)点。特点：现在是139页\一共有207页\编辑于星期三140闭环系统稳定的充分和必要条件是：系统特征方程式的根,即F(s)的零点,都位于S平面的左半平面,或者说F(s)的所有零点都不在S平面的右半平面内。s平面上的封闭曲线ss包围了根平面的整个不稳定区。称作奈氏轨迹。①开环传函中无s=0极点现在是140页\一共有207页\编辑于星期三141F（jω）=1+G(jω)H(jω)G(jω)H(jω)

的映射：

的映射：以实轴为对称现在是141页\一共有207页\编辑于星期三142

在s平面上的奈氏轨迹线顺时针包围F(s)的P个极点和z个零点，那么奈氏轨迹线映射到GH平面的GH(jω)为逆时针包围(-1，j0)点N周，且N=P-Z。式中：Z——闭环系统不稳定的特征根的个数；P——开环传递函数不稳定极点的个数。二、奈魁斯特稳定判据现在是142页\一共有207页\编辑于星期三143关于奈魁斯特稳定判据的说明：P=０(即开环是稳定的）,

如果系统闭环是稳定的，则Z=0，所以N必为0,

也即开环频率特性曲线GΗ(jω)不包围(-1,j0)点；(2)P≠0（即开环不稳定）,若使系统闭环稳定则Z=0，所以N=P-Z=P

即开环频率特性曲线GΗ(jω)逆时针包围(-1,j0)点P周（3）GΗ(jω)通过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。

现在是143页\一共有207页\编辑于星期三

反馈控制系统稳定的充分必要条件是半闭合曲线ΓGH不穿过(-1,j0)点且逆时针包围临界点(-1,j0)圈数R等于开环传递函数的正实部极点数P。144奈魁斯特稳定判据现在是144页\一共有207页\编辑于星期三145例1试用奈氏判据分析下面系统的稳定性。解:频率特性

系统的奈氏曲线如图：因为P=0，N=0，计算Z=P-N=0，所以该闭环系统是稳定的。现在是145页\一共有207页\编辑于星期三146例2系统开环传递函数如下，试绘制其奈氏图。

G(s)H(s)=∵P=0，

N=0∴Z=0，系统稳定。现在是146页\一共有207页\编辑于星期三147例3系统开环传递函数如下，试绘制其奈氏图。

G(s)H(s)=∵P=0，N=-2∴Z=P-N=2，系统不稳定。现在是147页\一共有207页\编辑于星期三148②开环传函中有s=0的极点奈魁斯特轨迹映射图s∵P=0，N=-2∴Z=P-N=2，系统不稳定。现在是148页\一共有207页\编辑于星期三149

当开环传函有ν个s=0的极点时，起终点为ω=0－、0＋的半径无穷小半圆，映射到GH平面的频特是从ω=0－起，以无穷大半径顺时针绕原点转过ν180°后终止于ω=0＋点。

时的奈氏曲线

时的奈氏曲线现在是149页\一共有207页\编辑于星期三150例4系统的开环传递函数为试用奈氏判据分析当时系统的稳定性。解:开环频率特性幅频特性和相频特性：现在是150页\一共有207页\编辑于星期三151(a)当时：(a)因为P=0,N=0，所以Z=0，系统闭环稳定。现在是151页\一共有207页\编辑于星期三152(b)当时：系统临界稳定现在是152页\一共有207页\编辑于星期三153(c)当时：因为P=0,N=-2，所以Z=P-N=2，该系统闭环是不稳定的。现在是153页\一共有207页\编辑于星期三154例5设Ⅰ型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。解：先根据奈氏路径画出完整的映射曲线(Ⅰ型系统)映射曲线顺时针包围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0)一圈，所以：N=1-1=0。P=0Z=P-N=0闭环系统稳定现在是154页\一共有207页\编辑于星期三155例6某Ⅱ型系统的开环频率特性如下图所示，且s右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。解：先根据奈氏路径画出完整的映射曲线(Ⅱ型系统)映射曲线顺时针包围(-1,j0)两圈，所以：N=-2。P=0Z=P-N=2闭环系统不稳定现在是155页\一共有207页\编辑于星期三156对应的曲线为起始点逆时针作半径无穷大、圆心角为的圆弧，如图中虚线所示。因为奈氏曲线为ω由０→

∞的范围变化时的曲线，因此含有积分环节时注意：现在是156页\一共有207页\编辑于星期三157通常，只画出ω=0→+∞的开环奈氏图，这时闭环系统在s右半平面上的极点数为：Z=P-2N／。式中，N／为ω=0→+∞变化时，开环奈氏图顺时针包围(-1,j0)点的圈数。不包围(-1,j0)点，N／=00型系统包围(-1,j0)点，N／=-1Ⅰ型系统和Ⅱ型系统现在是157页\一共有207页\编辑于星期三

根据半闭合曲线可获得包围原点的圈数R。设N为穿越点左侧负实轴的次数，表示正穿越的次数和（从上向下穿越），表示负穿越的次数和（从下向上穿越），则158闭合曲线包围原点圈数R的计算现在是158页\一共有207页\编辑于星期三（图a）159（图b）（图c）（图d）D图中，b点从上向下运动至实轴停止为半次正穿越点A，B为奈氏曲线与负实轴的交点，按穿越负实轴上段的方向，分别有：现在是159页\一共有207页\编辑于星期三160

若规定G(jω)H(jω)曲线沿相角增加的方向，从上往下穿越负实轴上(-1,j0)点左侧为正穿越，正穿越次数为N+

。从下往上的穿越为负穿越，负穿越次数为N-。G(jω)H(jω)曲线起始或终止于负实轴上，算作1/2

次穿越。奈氏稳定判据可表述为：N=NN=2P正穿越负穿越现在是160页\一共有207页\编辑于星期三161

系统的奈氏图与伯德图的对应关系_G(jω)H(jω)

+-1,j0ωω=0ReIm00L(