材料力学应力分析

第七章应力和应变分析强度理论目录1现在是1页\一共有143页\编辑于星期四第七章应力状态分析

应力状态的概念

用解析法分析二向应力状态

用图解法分析二向应力状态

三向应力状态

广义胡克定律

三向应力状态下的应变能密度

强度理论概述

四种常见的强度理论目录目录2现在是2页\一共有143页\编辑于星期四§7-1应力状态的概述一、什么是应力状态？三、如何描述一点的应力状态?二、为什么要研究应力状态?3现在是3页\一共有143页\编辑于星期四

一、什么是应力状态？（一）、应力的点的概念:maxmax（实心截面）应力的点应力的面4现在是4页\一共有143页\编辑于星期四横截面上的正应力分布FQ同一面上不同点的应力各不相同，横截面上的切应力分布结果表明：即应力的点的概念。5现在是5页\一共有143页\编辑于星期四FF过同一点不同方向面上的应力各不相同，即应力的面的概念6现在是6页\一共有143页\编辑于星期四应力指明哪一个面上？

哪一点？哪一点？

哪个方向面？应力的点的概念与面的概念

应力状态:——过同一点不同方向面上应力的集合，称为这一点的应力状态；7现在是7页\一共有143页\编辑于星期四低碳钢拉伸塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁拉伸两种材料的拉伸试验二、为什么要研究应力状态？8现在是8页\一共有143页\编辑于星期四脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁7—1应力状态的概念目录9现在是9页\一共有143页\编辑于星期四目的：研究过一点的各个面上的应力情况，找到过该点的最大应力（正应力，切应力），以及其平面方位。10现在是10页\一共有143页\编辑于星期四dxdydz单元体三、如何描述一点的应力状态单元体的性质：a、单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布；b、任意一对平行平面上的应力相等11现在是11页\一共有143页\编辑于星期四PA(a)abcdA(b)3、单元体法(c)（1）单元体截取方法:围绕该点取出一个单元体。例如图9-1a所示矩形截面悬臂梁内A点的应力状态12现在是12页\一共有143页\编辑于星期四FPl/2l/2S平面6提取工字形截面梁上一点的应力状态13现在是13页\一共有143页\编辑于星期四123S平面55443322114514现在是14页\一共有143页\编辑于星期四FF示例一S平面111目录15现在是15页\一共有143页\编辑于星期四1FFS平面1n同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.目录16现在是16页\一共有143页\编辑于星期四FlaS13S平面zMzT4321yx目录17现在是17页\一共有143页\编辑于星期四xzy4321S平面18现在是18页\一共有143页\编辑于星期四yxzMzFQyMx432114319现在是19页\一共有143页\编辑于星期四主平面：单元体中剪应力等于零的平面。主应力：主平面上的正应力。主方向：主平面的法线方向。

主单元体：在单元体各侧面只有正应力而无剪应力应力状态的概念约定：20现在是20页\一共有143页\编辑于星期四应力状态的分类

单向应力状态：三个主应力中，只有一个主应力不等于零的情况。

二向应力状态：三个主应力中有两个主应力不等于零的情况。

三向应力状态：三个主应力皆不等于零的情况。21现在是21页\一共有143页\编辑于星期四yxz单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用表示，并且该单元体称为主应力单元。三向应力状态目录22现在是22页\一共有143页\编辑于星期四一般平面应力状态σxσyτ

xyτyx23现在是23页\一共有143页\编辑于星期四xyxy单向应力状态纯剪应力状态

一般单向应力状态或纯剪切应力状态24现在是24页\一共有143页\编辑于星期四三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例特例一点的应力状态25现在是25页\一共有143页\编辑于星期四7-3二向应力状态分析--解析法26现在是26页\一共有143页\编辑于星期四xya1.正负号规则正应力：拉为正；反之为负切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。α角：由x轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。αntx7-2二向应力状态分析--解析法目录27现在是27页\一共有143页\编辑于星期四xya2.斜截面上的应力dAαnt7-2二向应力状态分析--解析法目录28现在是28页\一共有143页\编辑于星期四列平衡方程dAαnt7-2二向应力状态分析--解析法目录29现在是29页\一共有143页\编辑于星期四利用三角函数公式并注意到化简得7-2二向应力状态分析--解析法目录30现在是30页\一共有143页\编辑于星期四确定正应力极值设α＝α0

时，上式值为零，即3.

正应力极值和方向即α＝α0

时，切应力为零7-2二向应力状态分析--解析法目录31现在是31页\一共有143页\编辑于星期四（2）主平面的位置以1代表max作用面的方位角，2代表min作用面的方位角。}32现在是32页\一共有143页\编辑于星期四

若

若{33现在是33页\一共有143页\编辑于星期四34现在是34页\一共有143页\编辑于星期四试求（1）斜面上的应力；

（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例题1：一点处的平面应力状态如图所示。已知7-2二向应力状态分析--解析法目录35现在是35页\一共有143页\编辑于星期四解：（1）斜面上的应力7-2二向应力状态分析--解析法目录36现在是36页\一共有143页\编辑于星期四（2）主应力、主平面7-2二向应力状态分析--解析法目录37现在是37页\一共有143页\编辑于星期四主平面的方位：代入表达式可知主应力方向：主应力方向：7-2二向应力状态分析--解析法目录38现在是38页\一共有143页\编辑于星期四（3）主应力单元体：7-2二向应力状态分析--解析法目录39现在是39页\一共有143页\编辑于星期四qxy主应力迹线的画法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd133140现在是40页\一共有143页\编辑于星期四7-3二向应力状态分析--图解法41现在是41页\一共有143页\编辑于星期四这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆7-3二向应力状态分析--图解法目录42现在是42页\一共有143页\编辑于星期四RC1.应力圆：7-3二向应力状态分析--图解法目录43现在是43页\一共有143页\编辑于星期四OCD(sx,txy)D’(sy

,tyx)建立坐标系由面找点确定圆心和半径AB具体作圆步骤AB44现在是44页\一共有143页\编辑于星期四OCD(sx,txy)BBD’(sy,tyx)建立坐标系由面找点确定圆心和半径ABAABB再将上述过程重复一次45现在是45页\一共有143页\编辑于星期四点面对应CEe——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和剪应力；46现在是46页\一共有143页\编辑于星期四CDenE2转向对应二倍角对应与二倍角对应xd——半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍；——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；47现在是47页\一共有143页\编辑于星期四建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法在坐标系内画出点A(x，xy)和B(y，yx)

AB与a轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；xxyyxyOnaO

aaCA(

x,

xy)B(

y,yx)x2anD(

a,

a)48现在是48页\一共有143页\编辑于星期四三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力(，)应力圆上一点(，)面的法线应力圆的半径两面夹角两半径夹角2；且转向一致。xxyyxyOnaO

aaCA(

x,

xy)B(

y,yx)x2anD(

a,

a)49现在是49页\一共有143页\编辑于星期四四、在应力圆上标出极值应力OC

aaA(x,

xy)B(

y,

yx)x2a12a0

1

2

350现在是50页\一共有143页\编辑于星期四txysxsytyxtsoDABE点的横、纵坐标即位该任意斜截面上的正应力和切应力。C1从应力圆上确定任意斜截面上的应力nαE2αD’51现在是51页\一共有143页\编辑于星期四txysxsytyxtsoDD’AB应力圆和横轴交点的横坐标值。Cbe2从应力圆上确定主应力大小σmaxσmin52现在是52页\一共有143页\编辑于星期四sxsytyxABtxyα0Eα0BstsoDD’Cbess3从应力圆上确定主平面方位σ’2α

053现在是53页\一共有143页\编辑于星期四主应力排序：s1s2

s3tsoc2α0adtsotso54现在是54页\一共有143页\编辑于星期四sxsxtso2×45º2×45ºbeABDD’Cbe45º45º例1：轴向拉伸的最大正应力和最大切应力55现在是55页\一共有143页\编辑于星期四ebsxsx轴向拉伸时45º方向面上既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。轴向拉伸的最大正应力和最大切应力最大正应力所在的面上切应力一定是零；56现在是56页\一共有143页\编辑于星期四ots2×45º2×45ºσ-45＝ts45＝－tbettD'(0,-t)CD(0,t)eb例2：纯剪切状态的主应力AB57现在是57页\一共有143页\编辑于星期四s-45'＝tσ45＝－tbeBAtt纯剪切状态的主单元体s-45'＝tσ45＝－tbe在纯剪应力状态下，45º方向面上只有正应力没有剪应力，而且正应力为最大值。58现在是58页\一共有143页\编辑于星期四例3：一点处的平面应力状态如图所示。已知

试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主单元体。59现在是59页\一共有143页\编辑于星期四otscdfe60现在是60页\一共有143页\编辑于星期四主应力单元体：61现在是61页\一共有143页\编辑于星期四1.定义三个主应力都不为零的应力状态

7-5三向应力状态目录62现在是62页\一共有143页\编辑于星期四首先研究与其中一个主平面(例如主应力3所在的平面)垂直的斜截面上的应力。63现在是63页\一共有143页\编辑于星期四用截面法，沿求应力的截面将单元体截为两部分，取左下部分为研究对象。64现在是64页\一共有143页\编辑于星期四与3所在的面垂直的斜截面上的应力可由1,2作出的应力圆上的点来表示。主应力3所在的两平面上是一对自相平衡的力，因而该斜面上的应力,与3无关,只由主应力1,2决定。65现在是65页\一共有143页\编辑于星期四与主应力2所在主平面垂直的斜截面上的应力,可用由1,3作出的应力圆上的点来表示。66现在是66页\一共有143页\编辑于星期四与主应力１所在主平面垂直的斜截面上的应力,可用由2,3作出的应力圆上的点来表示。67现在是67页\一共有143页\编辑于星期四该截面上应力和对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内。abc截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面abc68现在是68页\一共有143页\编辑于星期四结论三个应力圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力。D69现在是69页\一共有143页\编辑于星期四D70现在是70页\一共有143页\编辑于星期四该点处的最大正应力(指代数值)应等于最大应力圆上A点的横坐标1A（9-8）71现在是71页\一共有143页\编辑于星期四最大剪应力则等于最大的应力圆上B点的纵坐标(图9-11c)AB（9-9）72现在是72页\一共有143页\编辑于星期四AB最大剪应力所在的截面与2所在平面垂直,并与1与3所在的主平面各成45°角。73现在是73页\一共有143页\编辑于星期四上述两

公式同样适用于平面应力状态或单轴应力状态,

只需将具体问题的主应力求出,并按代数值123的顺序排列。空间应力圆画法74现在是74页\一共有143页\编辑于星期四例7-3-1分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始单元体求极值应力xyCyxMCxyOxy

yx75现在是75页\一共有143页\编辑于星期四破坏分析低碳钢铸铁76现在是76页\一共有143页\编辑于星期四例题9-3单元体的应力如图a所示

,作应力圆,并求出主应力和最大剪应力值及其作用面方位。77现在是77页\一共有143页\编辑于星期四因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z无关,依据x截面和y截面上的应力画出应力圆.

解:

该单元体有一个已知主应力78现在是78页\一共有143页\编辑于星期四oA1A246MP-26MP量得另外两个主应力为c79现在是79页\一共有143页\编辑于星期四该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为oA1A2c80现在是80页\一共有143页\编辑于星期四ocA1A2B根据上述主应力，作出三个应力圆。81现在是81页\一共有143页\编辑于星期四ocA1B从应力圆上量得A2据此可确定1所在的主平面方位和主单元体各面间的相互位置.82现在是82页\一共有143页\编辑于星期四ocA1A2B其中最大剪应力所在截面与2垂直,与1和3所在的主平面各成45夹角。

83现在是83页\一共有143页\编辑于星期四max84现在是84页\一共有143页\编辑于星期四§7–6平面内的应变分析一、应变分析解析法85现在是85页\一共有143页\编辑于星期四2、已知一点A的应变（），画应变圆二、应变分析图解法——应变圆（StrainCircle）1、应变圆与应力圆的类比关系建立应变坐标系如图在坐标系内画出点

A(x，xy/2)

B(y，-yx/2)AB与a

轴的交点C便是圆心以C为圆心，以AC为半径画圆——应变圆。应力状态与应变状态eaga/2ABC86现在是86页\一共有143页\编辑于星期四eaga/2三、方向上的应变与应变圆的对应关系maxmin20D(，/2)2n应力状态与应变状态方向上的应变(，/2)应变圆上一点(，/2)方向线应变圆的半径两方向间夹角两半径夹角2；且转向一致。ABC87现在是87页\一共有143页\编辑于星期四四、主应变数值及其方位应力状态与应变状态88现在是88页\一共有143页\编辑于星期四例5已知一点在某一平面内的1、2、3、方向上的应变1、2、3，三个线应变，求该面内的主应变。解：由i=1,2,3这三个方程求出x，y，xy；然后在求主应变。应力状态与应变状态89现在是89页\一共有143页\编辑于星期四例6

用45°应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。xyu45o0max应力状态与应变状态90现在是90页\一共有143页\编辑于星期四1.基本变形时的胡克定律yx1）轴向拉压胡克定律横向变形2）纯剪切胡克定律

7-8广义胡克定律目录91现在是91页\一共有143页\编辑于星期四2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法

7-8广义胡克定律目录92现在是92页\一共有143页\编辑于星期四

7-8广义胡克定律目录93现在是93页\一共有143页\编辑于星期四3、广义胡克定律的一般形式

7-8广义胡克定律目录94现在是94页\一共有143页\编辑于星期四7-9复杂应力状态的变形比能（2）各向同性材料在空间

应力状态下的体积应变（1）概念:构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用表示。

123a1a2a3目录95现在是95页\一共有143页\编辑于星期四7-9

复杂应力状态的应变能密度(2)在三个主应力同时存在时,单元体的应变能密度为1、应变能密度的定义：单位体积物体内所积蓄的应变能称为应 变能密度2、应变能密度的计算公式:(1)单向应力状态下,物体内所积蓄的应变能密度为96现在是96页\一共有143页\编辑于星期四将广义胡克定律代入上式,经整理得用表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度，称为

体积改变能密度。用表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为形状改变能密度或畸变能密度应变能密度

等于两部分之和目录97现在是97页\一共有143页\编辑于星期四(a)(b)图9—18由于两单元体的体积应变相等，所以υv也相等。目录98现在是98页\一共有143页\编辑于星期四(b)图b所示单元体的三个主应力相等，因而，变形后的形状与原来的形状相似，即只发生体积改变而无形状改变。目录99现在是99页\一共有143页\编辑于星期四(a)(b)图9—18所以，a所示单元体的体积改变能密度υv

为目录100现在是100页\一共有143页\编辑于星期四(a)a单元体的应变能密度为a所示单元体的体积改变应变能密度υv为目录101现在是101页\一共有143页\编辑于星期四单元体的形状改变能密度为目录102现在是102页\一共有143页\编辑于星期四（拉压）（弯曲）（正应力强度条件）（弯曲）（扭转）（切应力强度条件）1.杆件基本变形下的强度条件7-10、强度理论概述目录103现在是103页\一共有143页\编辑于星期四如何确保危险点不发生破坏？（强度条件的建立）方法：限制危险点的应力水平。(1)单向应力状态下强度条件的建立（拉压）（弯曲）（正应力强度条件）通过试验测定破坏正应力104现在是104页\一共有143页\编辑于星期四(2)纯剪切应力状态下强度条件的建立通过试验测定（剪切）（扭转）（切应力强度条件）破坏切应力

由此可见，单向应力状态和纯剪切应力状态下，强度条件是建立在实验基础上的，且是足够准确的。105现在是105页\一共有143页\编辑于星期四(3)复杂应力状态下强度条件如何建立？能否依靠实验建立？不能！123（1）应力状态的多样性：复杂应力状态中应力组合的方式和比值又有各种可能。（2）试验的复杂性：完全复现实际中遇到的各种复杂应力状态很困难。

满足是否强度就没有问题了？106现在是106页\一共有143页\编辑于星期四经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。

为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，7-11、四种常见强度理论107现在是107页\一共有143页\编辑于星期四构件由于强度不足将引发两种失效形式(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论7-11、四种常见强度理论目录108现在是108页\一共有143页\编辑于星期四1.最大拉应力理论（第一强度理论）材料发生断裂的主要因素是最大拉应力；σ1σ3σ2σ脆断准则：无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸破坏时的应力数值。109现在是109页\一共有143页\编辑于星期四断裂条件强度条件1.最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁拉伸铸铁扭转7-11、四种常见强度理论目录110现在是110页\一共有143页\编辑于星期四2、对没有拉应力的应力状态无法应用，3、对塑性材料的破坏无法解释，1只突出未考虑的影响，局限性：111现在是111页\一共有143页\编辑于星期四2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）材料发生断裂的主要因素是最大伸长线应变；脆断准则：

σ1σ3σ2σ无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。112现在是112页\一共有143页\编辑于星期四复杂应力状态下最大线伸长应变断裂条件相应的强度条件：单向应力状态下113现在是113页\一共有143页\编辑于星期四铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。实验表明：σxσy此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合要求材料在脆断前均服从胡克定律适用范围：铸铁在混合型应力状态中，压应力占主导引起的材料脆断与实验结果也较符合；材料的脆断114现在是114页\一共有143页\编辑于星期四局限性：1、第一强度理论不能解释的问题，未能解决，2、在二向或三向受拉时，似乎比单向拉伸时更安全，但实验证明并非如此。115现在是115页\一共有143页\编辑于星期四3.

最大切应力理论（第三强度理论）材料发生塑性屈服的主要因素是最大切应力屈服准则：σ1σ3σ2σ无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。116现在是116页\一共有143页\编辑于星期四复杂应力状态下的最大切应力屈服条件相应的强度条件：单向应力状态下117现在是117页\一共有143页\编辑于星期四低碳钢拉伸低碳钢扭转118现在是118页\一共有143页\编辑于星期四此理论较满意地解释了塑性材料的屈服现象；局限性：2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，1、未考虑的影响，试验证实最大影响达15%。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。适用范围：偏于安全常用于载荷往往较不稳定的机械、动力等行业此准则也称特雷斯卡（Tresca）屈服准则塑性屈服119现在是119页\一共有143页\编辑于星期四4.畸变能密度理论（第四强度理论）材料发生塑性屈服的主要因素是畸变能密度；无论处于什么应力状态,只要危险点处畸变能密度达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服。屈服准则：σ1σ3σ2σ120现在是120页\一共有143页\编辑于星期四复杂应力状态的畸变能密度单向应力状态下屈服条件121现在是121页\一共有143页\编辑于星期四强度条件对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。122现在是122页\一共有143页\编辑于星期四载荷较为稳定的土建行业，较多地采用第四强度理论。适用范围：它既突出了最大主剪应力对塑性屈服的作用，又适当考虑了其它两个主剪应力的影响；它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好；此准则也称为米泽斯（Mises）屈服准则；塑性屈服123现在是123页\一共有143页\编辑于星期四强度理论的统一表达式：相当应力7-11、四种常见强度理论目录124现在是124页\一共有143页\编辑于星期四无论材料处于什么应力状态,只要发生同一种破坏形式,都是由于同一种因素引起。123rd复杂应力状态相当应力状态[]已有简单拉压试验资料强度理论强度条件125现在是125页\一共有143页\编辑于星期四一、对于常温、静载、常见的单向、二向应力状态下选用原则塑性材料第三强度理论可进行偏保守（安全）设计。第四强度理论可用于更精确设计，要求对材料强度指标，载荷计算较有把握。弹性失效状态为脆断；通常的塑性材料，如低碳钢，弹性失效状态为塑性屈服通常的脆性材料，如铸铁，因而可根据材料来选用强度理论：126现在是126页\一共有143页\编辑于星期四仅用于石料、混凝土等少数材料。脆性材料第一强度理论拉伸型和拉应力占主导的混合型应力状态第二强度理论压应力占主导的脆断127现在是127页\一共有143页\编辑于星期四必须考虑应力状态对材料弹性失效的影响但此时的失效应力应通过能造成材料脆断的试验获得。二、对于常温、静载但具有某些特殊应力状态的情况不能只看材料综合材料、失效状态选取适当的强度理论。①塑性材料（如低碳钢）在三向拉伸应力状态下呈脆断失效；应选用第一强度理论；思考题:把经过冷却的钢质实心球体，放人沸腾的热油锅中,将引起钢球的爆裂,试分析原因。128现在是128页\一共有143页\编辑于星期四切槽导致应力集中使根部附近出现两向和三向拉伸应力状态。常温静载条件下，带有环形深切槽的圆柱形低碳钢试件受拉不再出现塑性变形；沿切槽根部发生脆断；平断口129现在是129页\一共有143页\编辑于星期四但此时的失效应力应通过能造成材料屈服的试验获得。在三向压缩应力状态下，②脆性材料（如大理石）呈塑性屈服失效状态；应选用第三、第四强度理论；思考题:水管在寒冬低温条件下，由于管内水结冰引起体积膨胀，而导致水管爆裂。由作用反作用定律可知，水管与冰块所受的压力相等，试问为什么冰不破裂，而水管发生爆裂。130现在是130页\一共有143页\编辑于星期四1、“塑性材料无论处于什麽应力状态，都应采用第三或第四强度理论，而不能采用第一或第二强度理论。”2、“脆性材料不会发生塑性屈服破坏。”3、“常用的四种强度理论，只适用于复杂的应力状态，不适用于单向应力状态。”131现在是131页\一共有1