泰安第二中学2020届高三12月测试数学试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精山东省泰安第二中学2020届高三12月测试数学试题含解析2017级高三数学测试题山东省泰安第二中学2019.12一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知集合=，=，，则等于（）A。(1,2） B。 C。 D。【答案】D【解析】分析】分析两个集合中元素的类型可得。【详解】因为集合是数集，集合是点集，两个集合没有公共元素，所以两个集合的交集为空集.故选.【点睛】本题考查了集合的交集运算,属于基础题.2.设，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C。第三象限 D。第四象限【答案】D【解析】分析】先由已知条件求得，再确定在复平面内对应的点位于的象限即可.【详解】解：由题意知，即，故在复平面内对应的点位于第四象限，故选D。【点睛】本题考查了复数的运算及复数在复平面内对应的点的位置,属基础题。3.己知向量，.若，则m的值为()A。 B.4 C。— D。-4【答案】B【解析】【分析】根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】依题意，由于，所以，解得。故选B.【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示，考查向量减法的坐标运算，属于基础题.4。的展开式中，项的系数为（）A。280 B。280C。560 D.560【答案】C【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得结果．【详解】在的展开式中，通项公式为Tr+1（﹣1）r，令144，求得r＝3，可得x4项的系数为＝﹣560，故选C．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式及系数的求解，属于基础题．5。把直线绕原点逆时针转动，使它与圆相切,则直线转动的最小正角度（）．A. B. C. D。【答案】B【解析】【分析】根据直线过原点且与圆相切，求出直线的斜率，再数形结合计算最小旋转角．【详解】解析：由题意，设切线为,∴.∴或。∴时转动最小．∴最小正角为.故选B。【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．6。如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么()A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B。丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C。丙是甲的充要条件D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义来对各选项的正误进行判断。【详解】因为甲是乙的充要条件，所以乙甲；又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙乙，但乙丙．综上，丙甲,但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A。【点睛】本题考查充分条件、必要条件的定义，考查逻辑推理能力，属于基础题.7.菱形的边长为2，现将沿对角线折起使，求此时所成空间四面体体积的最大值（）A。 B. C。1 D.【答案】A【解析】【分析】在等腰三角形中,取的中点为，则有，通过,根据面面垂直的性质定理，可以证明出，设，，在中，，由题意可知:,这样可以求出空间四面体体积的表达式，通过换元法，利用导数，可以求出空间四面体的体积的最大值。【详解】设的中点为,因为，所以，又因为,,所以，设，，在中，,由题意可知：，设，则,且，∴，∴当时，，当时,，∴当时，取得最大值，∴四面体体积的最大值为．故选．【点睛】本题考查了空间四面体体积最大值问题，正确求出体积的表达式,利用同角的三角函数关系、二倍角的正弦公式、换元法、导数法是解题的关键。8。己知函数有两个零点，,则有（)A. B。C。 D。【答案】B【解析】【分析】将函数有两个零点，,转化为:函数，则与的图象有两个交点，作出图象，根据图像可得：,由此去绝对值，利用可得.【详解】解:因为函数有两个零点，故方程有两个解，。设函数，函数,则与的图象有两个交点，如图所示：由图象知,，所以,,所以，,因为且，所以，得，,即，整理得，.故选B.【点睛】本题考查了函数的零点，数形结合思想,指数函数的单调性与对数的运算,属于中档题。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9。已知，现有下面四个命题中正确的是（）A。若，则 B。若，则C。若，则 D。若,则【答案】AB【解析】【分析】当时，由可得,进而得，当时，利用指对互化及换底公式可得。【详解】当时，由,可得，则,此时,所以A正确；当时,由，可得，则,所以B正确。故选:AB。【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质，属于基础题.10.若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是(）A.若为椭圆,则 B.若为双曲线,则或C.曲线可能是圆 D。若为椭圆，且长轴在轴上，则【答案】AD【解析】【分析】就的不同取值范围分类讨论可得曲线表示的可能的类型.【详解】若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线;若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；若,方程即为，它表示圆，综上，选AD。【点睛】一般地，方程为双曲线方程等价于,若,则焦点在轴上，若，则焦点在轴上；方程为椭圆方程等价于且，若，焦点在轴上，若，则焦点在轴上；若，则方程为圆的方程。11。如图所示,在正方体ABCD。A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，CC1的中点，△MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1A.平面MB1P⊥ND1B。平面MB1P⊥平面ND1AC.△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值D.△MB1P在侧面DD1C【答案】BC【解析】【分析】A.由重合时判断；B.结合由正方体的性质，利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理判断C。由△MB1P在底面ABCD上的射影的三角形的底边是MB,点P的射影到MB的距离不变判断；D.由重合时判断.【详解】A。当重合时，平面MB1P⊥ND1不可能,故错误；B。由正方体的性质得,所以MB1⊥平面ND1A1,又平面MB1P，所以平面MB1P⊥平面ND1A1，故正确；C.△MB1P在底面ABCD上的射影的三角形的底边是MB，点P在底面ABCD上的射影在DC上,所以点P当MB的距离不变,即射影图形的面积为定值,故正确;D.当重合时，在侧面DD1C1C故选:BC【点睛】本题主要考查直线与平面，平面与平面的位置关系以及投影的概念,还考查了逻辑推理的能力，属于中档题。12.已知函数的定义域为R，且对任意x∈R，都有及成立,当且时，都有成立，下列四个结论中正确的是(）A。 B。函数在区间上为增函数C.直线是函数的一条对称轴 D.方程在区间上有4个不同的实根【答案】ACD【解析】【分析】由,得到函数为偶函数，又由当且时,都有成立，得到在为增函数，再根据，得出函数为周期为4的函数，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，以为对于任意，都有，可得函数为偶函数,又因为当且时，都有成立，可得函数在区间为增函数,又由，令,可得，解得，所以,所以函数是周期为4的周期函数，则函数的图形，如图所示,由图象可得,所以A正确;函数在区间上为减函数，所以B不正确；直线是函数的一条对称轴，所以C正确；方程在区间上，共有个不同的实数根，所以D正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，此类问题解答的一般步骤为:先确定函数的定义域,再化简解析式，求出函数的解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数相似，根据函数的定义域和解析式画出函数的图象，结合函数的图象再分析函数的性质进行求解.三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13。语文里流行一种特别的句子,正和反读起来都一样的，比如:“上海自来水来自海上”、“中山自鸣钟鸣自山中”，那么在所有的4位数中符合这个规律且四个数字不能都相同的四位数有______种．【答案】81【解析】【分析】根据题意可知求4位数的回文数且四个数字不能都相同，由分步计数原理即可求解．【详解】设4位数的回文数为,即可知4位数的回文数为，又因为四个数字不能都相同，需减掉，即形如共，所以故答案为【点睛】本题考查分步计数原理，同时需理解“回文数”，属于基础题．14。双曲线的渐近线方程为_____，设双曲线经过点(4，1)，且与双曲线具有相同渐近线,则双曲线的标准方程为_______．【答案】(1)。(2).【解析】【分析】（1）由焦点在轴上的双曲线的渐近线方程可得;（2）设,代入点求得即可.【详解】(1)双曲线的焦点在轴上，且，渐近线方程为，故渐近线方程为故答案为(2）由双曲线与双曲线具有相同渐近线,可设，代入有，故,化简得故答案为【点睛】本题主要考查双曲线渐近线的方程为,与共渐近线方程可设为15。若，则__________.【答案】【解析】【分析】先逆用两角和的正弦得到,令,则的值即为的值，利用二倍角的余弦值可求此值。【详解】由可以得到,所以,设，则则，所以.故答案为。【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.16。在直三棱柱中，且，设其外接球的球心为O，已知三棱锥O-ABC的体积为2，则球O的表面积的最小值是_____________．【答案】【解析】【分析】设,，则，取，的中点分别为，，外接球的球心为,则为的中点即为三棱柱外接球的球心，由三棱锥的体积可得，表示出,根据基本不等式即可得到球的表面积的最小值．【详解】如图，在中，设，,则，取,的中点分别为，，则,分别为和的外接圆的圆心，连接，又直三棱柱的外接球的球心为,则为的中点，连接,则为三棱柱外接球的半径．设半径为,因为直三棱柱,所以,所以三棱锥的高为2，即，又三棱锥体积为2，所以．在中，,所以，当且仅当时取“=”，所以球的表面积的最小值是，故答案为.【点睛】本题主要考查借助直三棱柱的外接球，考查了基本不等式、球的表面积等，属于中档题．三、解答题:本题共6小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列的前n项和为，（n∈N*)．(1）证明数列是等比数列，求出数列的通项公式；(2）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列?若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析，;（2）不存在【解析】【分析】(1）由可求出、以及，即可证明数列是等比数列，进而写出的通项公式；(2）假设数列中存在三项构成等差数列：，、、,由等差中项性质，结合(1)的通项公式有即出现矛盾，即不存在【详解】（1)当时，,即当时，，即所以数列是首项为6,公比为2的等比数列∴数列的通项公式为(2）若存在，令，、、三项成等差数列∴，即，∵,即，且、∴是偶数,而是奇数，故不成立故数列中不存在三项构成等差数列【点睛】本题考查了利用与的关系式求数列通项公式，注意时，求通项公式时需要验证是否也符合公式；应用等差中项的性质证法证明数列中三项构成等差数列的存在性.18。已知点，，，设，，其中为坐标原点。（1）设点在轴上方，到线段所在直线的距离为，且，求和线段的大小；（2)设点为线段的中点，若,且点在第二象限内,求的取值范围.【答案】(1）,；（2)。【解析】【分析】(1）过点作的垂线，垂足为点，可得出，由锐角三角函数的定义求出，可得出为等边三角形，可求出的值,然后在中利用余弦定理求出；（2）由题中条件求出、、的坐标，化简的解析式为，再根据的取值范围，结合余弦函数的定义域与基本性质可求出的取值范围。【详解】（1）过作的垂线，垂足为，则,在直角三角形中，,又，，所以为正三角形。所以,从而。在中，；（2），点为线段的中点，，且点在第二象限内，,,从而，，，，则，因为，所以，从而，，因此，的取值范围为.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算与三角恒等变换的综合问题,同时也考查了三角函数的值域问题,在解题时应充分利用三角恒等变换思想将三角函数式化简，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题。19。如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，,是的中点。（1）证明：；（2）若,求二面角平面角的余弦值.【答案】（1)证明见解析;（2）。【解析】【分析】(1）取的中点，连接,可得,,即面,即可得证;（2）以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，显然二面角是锐二面角,利用二面角的向量公式即可求出.【详解】（1）如图，取的中点，连接，为等边三角形,，是的中点，，,，，面,面,面，。(2）如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系,设，，，，，，，,，设面的法向量为：,则由得:，设面的法向量为：，则由得：,，二面角平面角的余弦值为：。【点睛】（1)证明异面直线垂直,可以构造一个平面，先证明线面垂直，再得线线垂直；（2）求二面角的平面角一般利用空间向量求解，建系之前如果没有三条线两两垂直关系,要先经过证明再建系，关键是点的坐标要找对，一般中点和等分点可以利用向量求解点的坐标。20。如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位:亿吨）的折线图：(1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明;(2）建立y关于t回归方程（系数精确到0.01），预测2020年我国生活垃圾无害化处理量。附注：参考数据:，，,参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，【答案】(1）,y与t有高度线性正相关关系；（2）,2020年我国生活垃圾无害化处理量约为2.22亿吨【解析】【分析】应用相关系数公式求其值,由说明y与t有高度线性正相关性；利用最小二乘法公式求回归方程的参数,写出回归方程,进而预测2020年我国生活垃圾无害化处理量【详解】(1）由相关系数公式知：，而，∴，而∴综上，有∴y与t有高度线性正相关关系（2)由，知:而，知：∴系数精确到0。01有：,则回归方程为∴2020年我国生活垃圾无害化处理量，即时，（亿吨)【点睛】本题考查了相关系数的计算,利用最小二乘法求回归方程参数并写出回归方程并计算预测值,属于简单题21。已知椭圆的左、右焦点为、,，若圆Q方程，且圆心Q在椭圆上．（1)求椭圆的方程；（2）已知直线交椭圆于A、B两点,过直线上一动点P作与垂直的直线交圆Q于C、D两点，M为弦CD中点,的面积是否为定值?若为定值，求出此定值；若不为定值,说明你的理由．【答案】（1）（2）为定值,定值是【解析】【分析】(1）由椭圆的定义求得，再根据焦点坐标得,再由得到的值，从而得到椭圆的方程;(2)设，