三种不常见的正项级数收敛性判别法

三类不常见的正项级数收敛性判别法赖宝锋积分判别法，对数判别法，拉贝判别法是三种重要的积分判别法，但不在大纲所规定的考核范围之内。尽管如此，这里仍然要详细地叙述下这三大判别法，以及其中所体现的思想方法，并用一些例子来说明这三种判别法。先介绍积分判别法。先建立如下三个简单的引理。引理1设f⑴为[a,+8]上的一个单调递增函数，则limf⑴存在当且仅当f⑴XT+8有界。证明：先证明必要性。假设limf(x)存在，记limf(x)=A。则存在一个R>0，xT+8XT+8当x>R时，有If(x)-A<1，于是|f(x)\=|f(x)-A+A<|f(x)-A\+|A|<1+|A|。又f(x)单调递增，因此，f(x)>f(a)。于是，f(x)有界。充分性，若f(x)有界，则f(x)为单调有界函数，极限limf(x)必存在。得证！xT+8引理2设f(x)为[a,+8]上的一个单调递增函数，则limf(x)存在当且仅当xT+8｛f(n)｝有界。证明：必要性显然。充分性：Vxe[a,+8)，[x]<x<[x]+1，f(x)<f([x]+1)。再由｛f(n)｝的有界性就知道了。引理3设f(x)为[a,+8)上的非负可积函数。则J+8f(x)dx收敛当且仅当jAf(x)dx有界，当且仅当｛nf(x)dx｝有界。aa证明：j+8f(x)dx收敛当且仅当limjAf(x)dx存在。由于f(x)非负，因此，aAt+8ajAf(x)dx是单调递增的。由引理1，jAf(x)dx收敛当且仅当jAf(x)dx有界；由afa]a引理2，jAf(x)dx收敛当且仅当｛nf(x)dx｝有界。这样，结论得证！aa定理1(积分判别法)假设数列｛"〃｝满足：气>0且｛un｝单调递减。假设存在一个[1,+8]上的非负的单调递减的可积函数f(x)，使得f(n)=un。则肾un的收敛性n=1与广义积分j+8f(x)dx是一致的。

证明：记方u部分和为S，即n=1unk=1=f⑴+J另一方面S=£u=£f(k)=f(1)+8f(k)=f(1)+8jkf(k)dx<f(1)+8jkf(x)dxTOC\o"1-5"\h\znnk-1k-1k=1k=2k=2k=2nf(x)dx1S=£uk=1j=£f(k)=£jk+1f(k)dx>]Ejk+1f(x)dx=junk=1=f⑴+J另一方面S=£uk=1j)nf(x)dx1k=1k=1k=1这样，jn+1f(x)dx<S<f(1)+jnf(x)dx。这样，若J*"f(x)dx收敛，即1n11有界，^n+"(x)dx收敛，则｛s｝收敛，即8u收敛。若8u收敛，即｛s｝有1nnnnn=1n=1界，则5n+1f(x)dJ有界，即j+"f(x)dx收敛。这个判别法的证明方法的几何意义是很清楚的，就是曲边梯形的内接矩形面积小于曲边梯形面积，曲边梯形面积又小于其外接矩形的面积。见图1：图1注1：积分判别法中，数列｛u｝单调性可以放宽为某一项以后单调。由于级数是n否收敛与前几项无关，因此，即使｛u｝某一项以后才保持单调递减性，级数仍然n收敛。下面用积分判别法解决两个问题。例1.判别级数8—的收敛性。npn=例1.判别级数8—的收敛性。npn=1np当p=0，_!=1，级数也不收敛。np当p>0，广义积分产£当p>1时收敛，当0<p<1时发散。于是，0<p<1Xp时，级数收敛。当p>1时，级数发散。综合起来看，p<1，级数发散。p>1，级数收敛。例2.判别级数的收敛性。nlnpnn=2解答：通过研究函数可知，数列!一二|在某一项以后就是单调递减的xlnpx[nInpnJ了。由于广义积分\+--^~dX」心些=卜空当p>1收敛，当p<1发散。xlnpx2Inpxln2yp于是，级数当p>1收敛，当p<1发散。nlnpnn=2ln（-1）定理2・假设数列｛u｝满足u>0，且lim4=p（包括p=+3）。则：（1）若p>1，nnnT+8lnUn级数收敛。（2）若p<1，级数发散。⑶若p=1，此法失效。证明：若1<p<+8，则对任意1<以<p，存在N>0，使得当n>N，有ln（!）11]——>a>1，于是ln（一）>aInn，艮口一>na，于是，0<u<一。由于a>1，nnn因此级数Yun收敛。若p=+3，与上面方法一样，只需任取一个a>1，则存在一个N>0，当ln（!）n>N，有l>a>1。下同。lnunln（L）若0<p<1，则对任意p<a<1，存在N>0，使得当n>N，有一L<a<1，lnun

TOC\o"1-5"\h\z111于是ln(一)<aIn〃，即一<na,u>一。由于a<1,因此级数nn£—发散，因此级数zu.发散。in(-)若p=1，我们取u=—，贝Vlim——>=lim"(〃)=1，但是发散的。另一方nnnFlnn.*lnnn面，我们又取un=云上，其中p>1。则有£」■nlnpnln(Llim八=limln(nlnpn)=临里空些=1。由积分判别法，nslnnn—3lnnnslnn收敛。因此，当有£」■nlnpn下面用对数判别法练习几个例题。例题3.例题3.判断£(1-必)n2的敛散性。

nn=1解答:1(1-皿)1(1-皿)n2limnslnnln(=limnT32lnn、,2lnn、-n2ln(1-)-n2()n——=limn——=+8lnnnsnlnn于是，方(1-外)〃2收敛。nn=1例题4.判断肾商5…」2n-1)3的敛散性。TOC\o"1-5"\h\z2.4.6....(2n)

n=1L」E1I1It2.4.6....(2n)k12k解答：ln=3ln=3£ln|「1.3.5....(2n-1)]3I1.3.5.....(2n-1).=】2k-1〔2.4.6....(2n)Jln2k=ln(1+——)为单调递减函数，于是2k-12k-1jk+w里西vln兰vjkm*dxk2x-12k-1k-12x-1这样，£jk+wJv£ln兰vln2+£jk垣Wdx，即k2x-12k-1k-12x-1k=1k=1k=2

命dxvXm兰vln2+j〃in上dx12x-12k-1i2x-1k=1jinxdx=xinx一x+C，于是Jin2*dx=j[inx一in(x一上)]dx=Jinxdx一Jin(x一上)d(x一上)2x-1222=xinx一x一[(x一4)in(x一上)一(x一上)]+C=xinx一(x一上)in(x一L)+C22222-2x"-2x"+1in^^12x一1dx=xinx一(x一2)in(x一2)l〃+1=(n+1)in(n+1)一1(n+i)in(n+i)-iin12222inninnninn一(n—L)in(n一上)+上in2ninn一(n—L)in(n一上)xinx一(x—L)in(x一上)iim222=iim2=iim2nsinnnsinnx—+81inninnninn一(n—L)in(n一上)+上in2ninn一(n—L)in(n一上)xinx一(x—L)in(x一上)iim222=iim2=iim2nsinnnsinnx—+81inx1+inx-[1+in(x-L)]=iim2=iiminx一in(x一2)=iimxT+8xT+8in(1+七)x——21———=iimxT+82―1x———2Wiim,12xf12—x一—2(n+1)in(n+1)-(n+L)in(n+纣一\n2iim222nsinn=iimns于是,3in(Xil)「2k—1iimk=n—+8inn3=—>1。因此，2(n+1)in(n+1)-(n+2)in(n+2)in(n+1)1级数收敛。in(n+1)inn.2x111jnindx=ninn一(n一一)in(n-—)一in212x-1222这样，(n+1)in(n+1)一(n+—)in(n+—)——in2vYin*<ninn一(n—L)in(n——)+上in22222k-1222k=1这样，(n+1)in(n+1)一(n+!)in(n+—)一上in2Yin_-ninn一(n一~!~)血(n一上)+~)-in2222,,,2k一1,'222注2：我们在这里还是利用了放缩的方法。我们中间得到了这样一个不等式:(n+1)ln(n+1)-(n+—)ln(n+—)——ln2<ln*<nInn—注2：我们在这里还是利用了放缩的方法。我们中间得到了这样一个不等式:(n+1)ln(n+1)-(n+—)ln(n+—)——ln2<ln*<nInn—(n——)ln(n——)+上ln22222k—1222k=1由于1nlnn—(n——)ln(n——)=上lnn+(n——)lnn—(n——)ln(n——)=上lnn+ln(1+—)n-222222221n——212n—1=-lnn+ln(1+)22n—1(n+1)ln(n+1)—(n+2)ln(n+2)=|ln(n+1)+(n+|)ln(n+1)—(n+2)ln(n+2)1=1ln(n+1)+ln(1+^y)n+22n+212n^1=-ln(n+1)+ln(1+)22n+1于是，12n+1ln(n+1)+ln(1+)22n+1——ln2〈工ln*<上lnn+ln(1)2+—ln222k—122n—12k=1n+112n+1H(1+-^)222n+12k—12n-1——<\2n(1+)22k—12n—1k=11:—12n—1<2n(1^—-)22n—12kk=1n+112n+1也(1+-^)222n+1由于lim、12n+1I"(1+-^)22n+1于是lim[k=1/注意到0j2sin2nxdx

0=-H竺—1,

2k12k于是，limnT8J2sin2nxdx=0。再由0<sinx<1，0八兀Vxe(0,—)，2可知limj2ns0sin2n—1xdx=0。于是，limj2sinnxdx=0。ns0(lnn)pn=2m|士I解答：lim"(lnn)「♦=limpln(lnn)=0，于是，级数对任意p都不收敛。nr+8lnnnr+8lnn例题6.判别级数E-^的收敛性。(lnn)lnnn=2ln.士I解答：lim业四史=limlnnln(lnn)=+8，于是，级数收敛。nT3lnnn—3lnn例题7.判别级数考—二的收敛性。nplnnn=2解答..mW=lim4=pnT+8lnnnT+8lnn若p>1,级数收敛；若pv1,级数发散；若p=1,此法失效。用积分判别法，容易知道£L发散。nlnn例题8.判别级数E匝的收敛性。

np

n=2\lnnIn解答：limnT+8knpJInn「plnn-ln(lnn)=lim=pnT+8lnn若p>1，级数收敛；若pv1，级数发散；若p=1,此法失效。由于—>1,nn容易知道E四发散。n下面论述拉贝判别法。定理3.假设u>0，且p=limn以k-1)。若p>1(包括p=+3)，级数收敛；若n…un+1pv1，级数发散；若p=1，此法失效。证明：若p>1,则p-limn(业l-1)>1。对任意1<a<p(对于p=+3,取)，存nT3Un+1在N>0，使得当n>N，有/uutan(———1)>a>1，即—>1+—，uunn+1n+1这样，当n>N，有u<—-—u=—n—un+1以nn+an1+nn—1n—1n—2n—1n—2n—3nn—1+an—1n—1+an—2+an—2n—1+an—2+an—3+an—3n—1n—2n—3N+1<...un—1+an—2+an—3+aN+1+aN+1rln…………-kn—1+an—2+aN+1+aJk+a=[xlnx—(x+a)ln(x+a)]|n=nlnn—(n+a)ln(n+a)—[iN+1=nInn—(n+a)ln(n+a)+M=切In—<切Jk+1ln—-—dx=fnhnx—ln(x+a)^x

kx+aN+1(N+1)ln(N+1)—(N+1+a)ln(N+1+a)]nlnn—(n+a)ln(n+a)=nlnn—nln(n+a)—aln(n+a)1n=nln—ln(n+a)an+a于是，廿ln—-—<nln—n—-ln(n+a)a+M于是，k+an+ak=N+1n—1n—2n—1+an—2+aN+1+aeM(1+-)-nn(n+a)aa由于lim(1+—)-n=e-a，因此，

n(1+-)-n有界。而由于an>1，£—1—收敛。(n+a)a因此，£日吉n:二以......NN++a收敛，于是，£un收敛。若p<1，任取p<a<1，则存在一个N>0，使得当n>N，有an+1n』-1)<a，于是丁<1+a，an+1n+1n+1当n>N，有n—1an>n—1+aan-1于是，n—1n—2>an—1+an—2+an-2n—1n—2>>n—1+an—2+aN+1aN+1+aN+1n1n2N1n1ln(^)kkN1n1lnxlnXn1kln—x—dxkN1k1x)dxNxlnx(x)lnX)n1M(n1)lnn(1)(n1)ln(n1)NlnN(n1)ln(n1)(n1)lnn1)M(n1)lnn1)(n1)ln&1)(n1)ln(1)(n1)lnn1)lnn1(n1)lnn1n1是，-lnn1)n1n2N1nn12)于eM1NN1(N)lnN))(n1)n11(n1)又lim(1一)(n1)

nn1由于01,因此1(n1发散。于是，N1NT1发散，于是，un发散。当p1,取un—un1limn-u^11nun11发散。又取unnnln2n、uiFTTOC\o"1-5"\h\zI%Jn+11nln2n1v(n+1)ln2(n+1)/(n+1)ln2(n+1)-nln2n=nnln2n(n+1)ln2(n+1)-nln2nln2nnln2(n+1)-nln2n+ln2(n+1)ln2nhn(n+1)+lnn]ln(1+1)n—+ln2(n+1)_0+1=1ln2nln2n由积分判别法，£u=£-1--收敛。于是，p=1,