马尔科夫预测法完整版

第六章

马尔科夫预测法1第六章

目录6.1马尔科夫链的基本概念6.2状态概率的估算补充内容6.3马尔科夫链在经济预测方面的应用6.4马尔科夫预测案例6.1马尔科夫链的基本概念•

一.状态与状态概率•

状态：某事物在某一时间所处的状况。如畅销、平销、滞销。•

状态概率：被研究对象在t时间处于状态空间中的某一状态，处于这一状态的可能性。如某个时间上产品畅销的可能性多大。二.状态转移、转移概率及状态转移矩阵•

1.状态转移和转移概率•

状态转移是系统由一个时期所处的状态Si到未来某时期所处的可能状态Sj的转变，而发生这种状态转移的可能性被称为转移概率。分一次转移和多次转移。5二.状态转移、转移概率及状态转移矩阵•

2.状态转移概率矩阵一次转移概率矩阵P•

k次转移概率矩阵•

如果1次转移概率矩阵不发生变化，有例：S1—畅销

S2—滞销

k=1(一步转移）S1

S1

P11=0.7

S1

S2

P12=0.3S2

S1

P21=0.4

S2

S2

P22=0.6K=2(二步转移）S1

S20.7×0.7+0.3×0.4=0.61s1s20.70.30.7s10.4s1三.马尔科夫过程•

某现象在时间m+1时所处的状态Sj的概率仅仅与该现象在时间m所处的状态Si有关，而与时间m前所处何种状态无关的特性成为无后效性，也称为马尔科夫性，具有这种特性的时间转移和状态转移过程称为马尔科夫过程。•

马尔可夫过程的时间可以是无限连续的，在实际经济问题中，时间取离散值，在某一时间的状态也是离散可列的，我们称这样的马尔可夫过程为马尔可夫链。它表示事物前一时期的状态转移到现在的状态，由现在的状态转移为将来的状态，一环接一环，像一根链条。四、标准概率矩阵与平衡向量•

如果马尔可夫过程的一步转移概率矩阵不发生变化，则无论基期处于什么样的状态，经过多期转移后，状态的概率趋于一个和基期无关的并且稳定下来的值，这称为马尔可夫过程的稳定性或遍历性。•

这个稳定下来的值我们称为平衡向量，也叫终极状态概率。我们会在后面补充。6.2状态概率的估算•

一.状态概率估计116.2状态概率的估算•

二.转移概率估计•

要注意的是：计算一步概率时，最后一期不参加计算，因为它将转移到哪个状态还不确定。补充内容（平衡向量求解）基期t=0

时的状态概率称为初始概率，初始概率向量为矩阵为，多次转移概率，预测稳定下来的平衡向量。当马尔可夫过程达到平衡状态时，上一期的状态经过转移之后其状态应该保持不变。先假设平衡状态为则例题:A、B、C三个厂生产的味精5月在某地区市场上的占有率分别为0.3、0.2、0.5，据市场调查得知，顾客的流动情况如下表所示：转移购买比例

Ａ

Ｂ

ＣＡＢＣ0.4

0.3

0.30.6

0.3

0.10.6

0.1

0.3试预测6月与7月三个厂味精的市场占有率，如果顾客流动情况稳定，那么，市场稳定后三个厂的市场占有率情况如何？解答：上述味精在市场上占有率的变化过程为一个马尔可夫过程，初始状态为一步转移概率矩阵本月市场占有率下月占有率情况本月和下月Ａ、Ｂ、Ｃ三个厂的市场占有率情况分别是54%、20%、26%和49.2%、24.8%、26%。若一步转移概率不发生变化，假设稳定的市场占有率情况为所以，市场占有率的平衡状态是；A、B、C三个厂的市场占有率分别是50%、25%和25%。马尔可夫过程的平衡状态仅与转移概率有关，与初始状态无关。•

一.市场占有率预测•

市场竞争中，市场占有率问题具有马尔科夫链的特征，因此，可以用马尔科夫预测法来对市场占有率的发展变化进行预测。•

假设顾客在市场上对一类商品有n种选择，它们是n个不同品牌，分别记为•

顾客在本期选择了

品牌的产品，在下一期有可能转移购买其他同类产品的品牌，这一过程就构成了马尔科夫链，可用马尔科夫原理对这n种品牌的市场占有率进行预测。1.市场调查•

（1）调查目前的市场占有情况，即调查所有顾客在目前消费该类商品时购买各种商品的比重，获得初始分布（2）调查顾客在选择n种品牌的流动情况，先获得转移频率矩阵，从而由频率估算概率，获得转移概率矩阵2.建立数学模型•

通过一步转移概率矩阵P，测算出第k步转移概率矩阵P(k)3.市场预测（1）预测第k期的市场占有率•

（3）预测稳定状态下的市场占有率，即顾客的流动对市场占有率没有影响，即顾客流动过程中，各种品牌在顾客流动的过程中争取到的顾客和失去的顾客相互抵消。例6-2某地区销售的洗发水主要有三个厂家提供，分别用1,2,3来表示。在12月对2000名消费者进行调查，购买厂家1、厂家2、厂家3的产品的消费者人数分别为1400,200和400。同时得到用户的转移频数矩阵为：问题1、对三个厂家次年1-6月份的市场占有率进行预测。2、试求当市场处于均衡状态时，各厂商的市场占有率是多少。1、先求出12月份，厂商1、2、3的市场占有率情况，得到初始分布为2、通过转移频数矩阵计算转移概率矩阵假设P是稳定的，得到：1月份各厂家的市场占有率，即当k=1时，2月份各厂家的市场占有率，即当k=2时，2、由于概率矩阵P是标准概率矩阵，因此存在唯一的市场均衡点。因此存在使得因此，可以求得市场均衡时，各厂商的占有率6.4马儿科夫预测案例考虑某地区农业收成变化的三个状态，即“丰收”，“平收”，“欠收”。记S

为“丰1收”状态，S

为“平收”状态，S

为“欠收”23状态。表6-3给出了该地区1966-2005年期间农业收成的状态变化情况。年份

1966

1967

1968

1969

1970

1971

1972

1973

1974

1975状态

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S1123213212年份

1976

1977

1978

1979

1980

1981

1982

1983

1984

1985状态

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S3123121331年份

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995状态

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S3321132212年份

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005状态

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S1321122312试计算：1、初始状态概率。2、该地区农业收成变化的一步和二步转移概率矩阵。3、2006-2010年可能出现的各种状态的概率4、终极状态的概率1、初始状态概率估算上表中40个记录，有15个处于状态S

，141个处于状态S

,11个处于状态S32初始状态概率为：（2）状态转移概率状态状态下一步状态S13S2S35当S1725前状S274态S342•

由上表，可以得到一步状态转移概率矩阵为：•

二步转移概率矩阵为：将2005年的农业收成记为

，因为2005年是平收状态，因此

，这是预测2006-2010年状态概率的初始向量。若一步转移概率具有稳定性，那么k步转移后的状态向量为，该地区农业在2006年的收成状态向量3也就是该地区农业在2006年有53.8%的概率处于丰收状态，15.4%的概率处于平收状态，30.8%的概率处于欠收状态。4、终极状态概率预测。设终极状态的概率为即，则即可求出马尔可夫链在经济预测方面的应用案例例4

公司A、B、C产品销售额的市场占有率分别为50%，30%，20%。由于C公司实行了改善销售与服务方针的经营管理决策，使其产品销售额逐期稳定上升，而A公司却下降。通过市场调查发现三个公司间的顾客流动情况如表所示。其中产品销售周期是季度。问题：按照目前的趋势发展下去，A公司的产品销售额或客户转移的影响将严重到何种程度？更全面的，三个公司的产品销售额的占有率将如何变化？0周期

的

周期

的供应公司1公司顾客数5000ABCABC3500

500

1000300

2400

30030002000100100

18001周期

的顾客数——3900

3000

310001周期

的

周期

的供应公司公司顾客数5000ABCABC3500

500

1000300

2400

30030002000100100

18001周期

的顾客数——3900

3000

3100初始分布为：01周期

的

周期

的供应公司公司顾客数5000ABCABC13500

500

1000300

2400

30030002000100100

1800——3900

3000

3100周期

的顾客数公司AABC3500/5000=0.7300/3000=0.1500/5000=0.12400/3000=0.81000/5000=0.2300/3000=0.1BC100/2000=0.05

100/2000=0.05

1800/2000=0.950未来各期的市场占有率：未来各期的市场占有率：未来各期的市场占有率：C——保销政策。