华杯赛知识总结

平面几何知识点拨一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；AB两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；AB两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图S:S=a:b12夹在一组平行线之间的等积变形，如右图saacdtLCD；反之，如果S=S ，则可知直线AB平行于CD.△ACD △BCD等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）;三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比．如图在AABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图（1）（或D在BA的延长线上，E在AC上）,则S:S =(ABxAC):(ADxAE)C图⑵△ABC△ADEC图⑵任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①S:S=S:S或者SxS=SxS②AO:OC=(S+S1243132412模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）：S:S=a2:b213S:S:S:S=a2:b2:ab:ab；1324S的对应份数为（a+b）2.四、相似模型（二）沙漏模型（一）金字塔模型（二）沙漏模型AD_AE_DE_AFAC~BC~AG②S:S _AF2：AG2.△ADE△ABC所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、燕尾定理在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O,那么S:S_BD:DC.NABONACO上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为NABO和NACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例1】如图，正方形ABCD的边长为6，AE_1.5,CF_2.长方形EFGH的面积为 曲面积的二倍.

角形的面积，x4十2_曲面积的二倍.

角形的面积，x4十2__16.5【解析】连接DE，DF,则长方形EFGH的面积三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三三E△DEF面积为33. BFCB Ec【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？_6x6—1.5x6一2—2x6一2—4.,所以长方形EFGH_B积相等（长方形和正方形可以【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.证明：连接AG.（我们通过△ABG把这两个长■方形和正方形联系在一起）.ABXAB边上的高，「1ABXAB边上的高，•・•在正方形ABCD中，'abg_x

-S△ABG-S△ABG2ABCD（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的半）1同理，s=s.△ABG2EFGB••・正方形ABCD与长方形EFGB面积相等.长方形的宽=8x8+10=6.4（厘米）.【例2】长方形ABCD的面积为36cm2,E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点,问阴影部分面积是多少？【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图:可得：S=-S可得：S=-S、S =-SAEHB 2AAHB、 AFHB 2ACHBSADHG=-S2ADHCS=S+S+S=36二-(S +S+S)二-(S +S+S)二-x36二18.2AAHB ACHB ACHD 2即S +S+SAEHB ABHF ADHG而 S+S+S=S+SAEHBABHFADHG阴影AEBFS=—xBExBF=—x(—xAB)x(—xBC)=-x36=4.5.AEBF2 22 2 8所以阴影部分的面积是：S阴影所以阴影部分的面积是：S阴影=18-Saebf=18-4・5=13・5解法二：特殊点法.找H的特殊点，把H点与D点重合，这样阴影部分的面积就是ADEF的面积，根据鸟头定理，则有：————— ——S=S-S-S-S=36-xx36-xxx36-xx36=13.5阴影ABCD AAED ABEF ACFD 22 222 22【例3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70,AB=8,AD=15，四边形EFGO的面积为 .A DB F CA DB F C【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积.由于长方形ABCD的面积为15x8=120，所以三角形BOC的面积为120x-=30，所43以三角形AOE和DOG的面积之和为120x-70=20；4（1 1A又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120x---=30，所以四边形12 4丿EFGO的面积为30-20=10.另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积=三角形AFC面积+三角形BFD面积-白色部分的面积，而三角形AFC面积+三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120-70=50，所以四边形的面积为60-50=10.【例4】已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC）【解析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线,也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200.根据图形的容斥关系，有SA根据图形的容斥关系，有SAABC-S丙=S+S-SAABN AAMC AMHN，即400-S=200+200-S ，所以S丙=SAMHN.丙 AMHN 丙 AMHN又S+S 二S+S+S ，所以阴影 AADF甲乙 AMHNS=S+S+S-S=143-1x400=43阴影 甲 乙丙 AADF 4【例5】如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，线段AB将图形分成两部分，左

边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是 .

GG解析】连接AF根据题意可知，CF=5+7+15=27；GG解析】连接AF根据题意可知，CF=5+7+15=27；DG=7+15+6=28；151221—S，S=S，S=S27ACBF ABEC 27 ACBF AAEG28」J5S —65 7 S12 S+—S —65；—S+—S28AADG27ACBF 28AADG可得SAd*—40•故三角形ADG的面积是40.AADG所以，于是：SABEF21s27acbf二38；28AADG【例6】如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点,S =16平方厘米，求△ABC的面积.△ADE且AD:AB二2:5,AE:AC二4:7,【解析】连接BE,S:S=AD:AB=2:5=(2x4):(5x4),=(2x4):(7=(2x4):(7x5),设S:S=AE:AC=4:7=(4x5):(7x5),所以S:SABE△ABC △ADE△ABCS=8份，则S =35份，S =16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就ADE △ABC △ADE是70平方厘米，△ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.【例7】如图在AABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD—5:2,AE:EC—3:2，S —12平方厘米，求△ABC的面积.△ADE【解析】连接BE，S:S—AD:AB—2:5—(2x3):(5x3)△ADE△ABES:S—AE:AC—3:(3+2)—(3x5):1(3+2)x5」，△ABE△ABC

所以S:S =（3x2）［乞（32>6:25设S=6份，则S=25份，△ADE△ABC △ADE △ABCS =12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，AABC的面积△ADE是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比【例8】如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2CB，GD=3DC，HA=4AD，平行

四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.【解析】连接AC、BD•根据共角定理•・•在△ABC和ABFE中，ZABC与ZFBE互补,.S AB-BC1.S AB-BC1x11••—△ABC= = =—S BE・BF1x33△FBE又S=1，所以S=3•△ABC △FBE同理可得S=8，S=15，△GCF △DHG所以S=S3S3SEFGH △AEH △CFG △DHGS=8.△AEH3S3S△BEFABCD=838315+3+2=36.36 18EFGH例9】如图所示的四边形的面积等于多少？解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为12x12=144.（也可以用勾股定理）【例10】如图所示，AABC中，ZABC=90。，AB=3，BC=5，以AC为一边向AABC外作正方形ACDE，中心为O，求AOBC的面积.

EE【解析】如图，将&OAB沿着O点顺时针旋转90。，到达AOCF的位置.由于ZABC=90°,ZAOC=90°，所以ZOAB+ZOCB=180。.而ZOCF=ZOAB,所以ZOCF+ZOCB=180°，那么B、C、F三点在一条直线上.由于OB=OF，ZBOF=ZAOC=90°，所以ABOF是等腰直角三角形，且斜边BF为5+3=8，所以它的面积为82x-=16.4根据面积比例模型，AOBC的面积为16x-=10.8【例11】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，ZAEB=90°，AC、BD交于O.已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积.AEAE【解析】如图，连接DE，以A点为中心，将AADE顺时针旋转90°到AABF的位置.那么ZEAF=ZEAB+ZBAF=ZEAB+ZDAE=90°，而ZAEB也是90°，所以四边形AFBE是直角梯形，且AF=AE=3，所以梯形AFBE的面积为：(3+5)x3x=12(cm2).所以2所以又因为AABE是直角三角形，根据勾股定理，AB2=AE2+BE2=32+5=341S=AB2=17(cm2)AABD2 (cm2)．那么S=S —(S +S)=S-S =17-12=5(cm2)，ABDE AABD AABE AADE AABD AFBE1所以S=S=2.5(cm2).AOBE2ABDE【例12】如下图，六边形ABCDEF中，AB=ED，AF=CD，BC=EF，且有AB平行于ED，AF平行于CD，BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知FD=24厘米，BD=18

厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？【解析】如图，我们将ABCD平移使得CD与AF重合，将ADEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重合到图中的AG了.这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24x18=432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米.【例13】如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上且BD:DC=1:2，AD与BE交于点F.则四边形DFEC的面积等于 .C解析】\o"CurrentDocument"S BD1ABF= =—\o"CurrentDocument"C解析】\o"CurrentDocument"S BD1ABF= =—\o"CurrentDocument"S DC2ACF=1份，则SADCF=2份，JABF=3份,方法一：连接CF，根据燕尾定理，■ABF=△ABF—S△CBFS△AEFAE =1EC,二S"FC二3份，如图所标所以JEF=_5所以JEF=_5二—S12△ABC12S=S=-S=-x2S△ADE2△ADC23△ABC3S=-xS△DEF 2 △DEB1TOC\o"1-5"\h\z方法二：连接DE，由题目条件可得到S△ABD=3S△ABC 3,\o"CurrentDocument"1BFS 1\o"CurrentDocument"3，所以FES 1，△ABC12，而・cDE=2x1xS△ABC12，而・cDE=2x1xS=13 2 △ABC3所以则四边形DFEC的面积等于寻【例14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图所示）.如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的1，且AO=2，DO=3，那么CO的长度是DO的长度的3 倍.解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件S :S =1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于口ABD口BCD是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比.再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果.请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题..•・OC:OD=6:3=2:1.解法一：JAO:OC=S:S.•・OC:OD=6:3=2:1.AABDABDC解法二：作AH丄BD于H,CG丄BD于G.JSAABD3JSAABD3ABCD・•・AH=3CG，.S. AAOD3ADOC.•・AO=1CO,.•・OC=2x3=6,.OC:OD=6:3=2:13【例15】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，ACEF、△OEF、△ODF、△BOE的【解析】⑴根据题意可知，ABCD的面积为2+4+4+6=16，那么ABCO和ACDO的面积都是16+2=8，所以AOCF的面积为8-4=4；⑵由于ABCO的面积为8，ABOE的面积为6,所以AOCE的面积为8-6=2，SAG根据蝴蝶S=SAG根据蝴蝶S=E:G=EA GCF那么"AGCE 1+2定理，EG:FG=SACOEF1，G12S=—x2=—ACEF3 3:SACOF=2:4=1:2所以【例16】如图，长方形ABCD中，BE:EC=2:3方厘米，求长方形ABCD的面积．【例16】如图，长方形ABCD中，BE:EC=2:3方厘米，求长方形ABCD的面积．,DF:FC=1:2，三角形DFG的面积为2平【解析】连接AE'FE.因为311S二JXoXJS□DEF5 3 2长方形ABCD因为S=SB:iioS长方形ABCDDF:FC=1:2盒=S'1'所以［AGD□AED2长方形ABCD厘米，所以SDAFD=12平方厘米.因为afd=6S长方形ABCD，面积是72平方厘米．=5S□GDF=10平方所以长方形ABCD的【例17】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点.求图中阴影部分的面积．【解析】因为M是AD边上的中点，所以AM:BC=1:2，根据梯形蝴蝶定理可以知道S:S:S:S =12:(1X2):(1X2):22=1:2:2:4，设S二1份，则△AMG△ABG△MCG△BCG △AGMS人厂=1+2=3份，所以正方形的面积为1+2+2+4+3=12份，S=2+2=4份，所△MCD 阴影以S阴影：S正方形二1:3，所以S阴影二1平方厘米【例18】已知ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是 平方厘米.解析】连接AC.由于ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2，所以CE:AD=2:3,根据梯形蝴蝶定理，S:S:S:S =22:2x3:2x3:32=4:6:6:9，所□COE□AOC□DOE□AOD以SAOC=6（平方厘米），SAOD=9（平方厘米），又S=S=6+9=15（平□AOC □AOD □ABC □ACD方厘米），阴影部分面积为6+15=21（平方厘米）.【例19】如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为 平方厘米.【解析】连接DE、CF.四边形EDCF为梯形，所以S=S ，又根据蝴蝶定理，AEOD □FOCS-S=S-S，所以S-S=S-S =2x8=16，所以AEODAFOC AEOFACOD AEODAFOC AEOFACODS =4（平方厘米），S=4+8=12（平方厘米）.那么长方形ABCD的面积为AEOD AECD12x2=24平方厘米，四边形OFBC的面积为24-5-2-8=9（平方厘米）.【例20】如图，AABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点.已知正方形DEFG的面积48，AK:KB=1:3，则ABKD的面积是多少？【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形.在梯形ADBC中，ABDK和AACK的面积是相等的.而AK:KB=1:3，所以AACK的面积是AABC面积的丄=-，那么ABDK的面积也是AABC面积的-.1+3 4 4由于AABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AM=DE，可见AABM和AACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半,所以AABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48.那么ABDK的面积为48x1=12.4【例21】如图，“ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD=DF=FB，则S:S :S = .△ADE四边形DEGF四边形FGCB根据面积比等于相似比的平方，=AD2:AF2=1:4，S根据面积比等于相似比的平方，=AD2:AF2=1:4，S:S =AD2:AB2=1:9,△ADE△ABC【解析】设S =1份，△ADE所以S:SADE△AFG因此S=4份，S=9份，AFG △ABC进而有S =3份，S四边形DEGF 四边形FGCB=5份,例22】如图，已知正方形ABCD的边长为4，DE:EC=1:3，AF与BE相交于点G，所以S:S :S =1:3:5△ADE四边形DEGF 四边形FGCBF是BC边的中点,E是DC边上的点,且求S△ABGM【例23】如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中点，BF交EC于M，求ABMG的面积.【解析】解法一:由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得EFIIBD,而FD:BCFHHC1:.2EB:CD=BG:GD=1:2所以CH:CF=GH::EF=2:3，并得G、H是BD的三等分点，所以BG=GH，所以=1x1S=1x1S=12 2ABCD4；BG:EF=BM:MF=2:3，所以BM=-BF，SABFD二2S沁5 BFD 2ABD

1 2 1 1=—x—x—= A1 2 1 1=—x—x—= ABFD 3 5 4 30 •又因为BG=-BD，所以S S3 nbmg35 ，解法二：延长CE交DA于I,如右图，可得，AI:BC=AE:EB=1:1，从而可以确定M的点的位置，2-130BM:MF=BC:IF=2:3，BM二一BF，BG二一BD（鸟头定理）,130可得S=x—S=x—x—SABMG 53ABDF 534ABCD【例24】如右图，三角形ABC中，BD:DC=4:9，CE:EA=4:3，求AF:FB.【解析】根据燕尾定理得S :S=BD:CD=4:9=12:27△AOB△AOCS:S=AE:CE=3:4=12:16△AOB△BOC（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以S:S=27:16=AF:FB△AOC△BOC【点评】本题关键是把AAOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例25】如右图，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的面积为 ，三角形AGE的面积为 ，三角形GHI的面积为 ．CC2由于CE:AE=3:2，所以AE=CC2由于CE:AE=3:2，所以AE=—AC，5故S=-SAABE 5AABC根据燕尾定理，S:SAACG AABGS:S:S=4:6:9AACG AABGABCG=CD:BD=2:3，S:S =CE:EA=3:2，ABCGAABG49则S= ，S=-；AACG19 ABCG19所以2那么S=—SAAGE 5AAGC2 4 8—x—= -51995同样分析可得S99则EG:EHS: S4:，ACH19ACG ACHEG:EBS:S4:19，所以EG:GH:HB4:5:1，同样分析可得ACGACBAG:GI:ID10:5:4，所以S -5s5219SAs511BIE10BAE1055GHI19BIE19519解析】连接CM、CN．根据燕尾定理，S:SAG:GC 1:1，S :SBD:CD 1:3，所以△CBM △ABM △ACMS 1s ；△ABM 5△ABC再根据燕尾定理△ABM:SAG:GC 1:1，所以△CBNS1424:3，所以AN:NF 4:3，那么 ■ ■△ABN △FBN△CBN△FBN S 2437△AFC解析】连接CM、CN．根据燕尾定理，S:SAG:GC 1:1，S :SBD:CD 1:3，所以△CBM △ABM △ACMS 1s ；△ABM 5△ABC再根据燕尾定理△ABM:SAG:GC 1:1，所以△CBNS1424:3，所以AN:NF 4:3，那么 ■ ■△ABN △FBN△CBN△FBN S 2437△AFCS:SS△ABN:S2515所以S12S 1S5S.FCGN 7 △AFC 74△ABC28△ABC15根据题意，有「SOOS7.2,可得S336（平方厘米）5△ABC28△ABC △ABC【例27】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求阴影部分面积.解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI与CD的交点为M,AF与CD的交点为N,BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP⑴求S :在△ABC中，根据燕尾定理，四边形ADMIS:SAI:CI1:2S:SAD:BD1:2△ABM △CBM △ACM△CBM设S1（份），则S2（份），S1（份），S4（份），△ABM △CBM △ACM △ABC

所以S=S=S，所以S=—S=S,S=S△ABM △ACM 4△ABC △ADM 3 △ABM 12 △ABC △AIM 12△ABC所以S =( + )S=S四边形ADMI 1212△ABC6△ABC同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC面积的16⑵求S :在△ABC中，根据燕尾定理五边形DNPQES:S =BF:CF=1:2S :S =AD:BD=1:2,△ABN △ACN △ACN△BCN所以s=1s=-x-s=’S，同理s=丄s△ADN 3 △ABN 37 △ABC 2- △ABC △BEQ 2- △ABC在厶ABC中，根据燕尾定理S:S =BF:CF=1:2,S:S=AI:CI=1:2△ABP△ACP=1S△ABP△CBP所以S，所以△A5△BPABC(1111S = -S - =S—1SS1S五边形D △A △B △QP15Ea2△D - N^2B1EP105同理另外两个五边形面积是△ABC面积的•丄1，所以S=1-1311x3-313-x3一-05阴影6-05701•规则图形：掌握公式与高例1.图中正方形ABCD的面积为2,正方形DEFG的面积是正方形ABCD面积的4倍•那么ACDF的面积为多少？【解答】：正方形DEFG的面积是正方形ABCD面积的4倍，则正方形DEFG的边长是正方形ABCD边长=4SkCDF=-xCDxEF=-xCDx2CD=CD2的2倍，所以多角度探索解题新思路=4例：如图，在梯形ABCD中，AB〃CD，四边形ACED是平行四边形，延长DC交BE于F.求证：EF=FB分析：这个题目本身不难，求证也容易，但通过对题设和结论的深入挖掘与探索我们可以得出许多好的证法，总结如下：证明一：如图所示，作BQ〃AD，交DF延长线于Q点，则四边形ABQD是平行四边形,从而BQ=AD，再由题设可证厶CEF空△QBF,得证EF=FB.证明二：如左图所示：作FM〃DA交AB于M，则四边形ADFM是平行四边形，从而FM=DA.再证△CEF^^MFB，从而结论可得证.延长EC交AB于延长EC交AB于G,则四边形ADCG是口，・：CE二AD二GC，即C是EG中点.又・・・F是EB中点，结论得证.证明五CF〃GB，证明三：作CN〃EB交AB于N，则四边形CNBF是□，从而CN=FB.再证：AANC空ADFE,证明四：作DP〃FB交AB于P,证明△ADP空ACEF,从而得出结论.证明四：证明六：连结AE交CD于O点，则O是AE中点，又OF〃AB,・・・F是AB中点，得证.证明七：延长ED交BA延长线于H点，则HACD是口，「.CA二DH二EDAD是EH中点.又DF〃HB・・・F是EB中点，得证.证明八：作ES〃CD交AD延长线于S,则CDSE是口DS=CE=AD.「D是AS中点•又SE〃CD〃AB・・・F是EB中点，得证.证明九：在证明一作的辅助线基础上，连结EQ,则可得ECBQ是□，从而F是口ECBQ对角线EB的中点。总之，上述不同证法的辅助线可归结为以下两种：作平行线构成平行四边形和全等三角形进行等量代换。作平行线，由题设产生中点，通过平行线等分线段定理的推论得出结论。这其中，其实蕴含了平面几何的平移变换和旋转变换的数学思想。不规则图形：割补法转化为规则图形常用模型：同底等高三角形例2•如图，BD、DE把三角形ABC分成了三个面积相同的三角形，若AE=AD,求AB与AC的长度的比值是多少？

【解答】因为3个三角形的面积相等，所以，三角形ABD的面积等于2倍三角形BDC的面积，AD：DC=2：1。因为，三角形AED的面积等于三角形BDE的面积，所以，AE：BE=1：1。因为AE=AD。设AD的长度是2份，则DC的长度是1份，AE的长度是2份，BE的长度是2份，AC的长度是3份，AB的长度是4份。所以，AB与AC的长度比是4:3。常用模型：沙漏形例1.如图，在梯形ABCD中,AD长9厘米，BC长15厘米，BD长12厘米，那么0D长多少厘米?【解答】OD：OB=9：15=3：53 9OT=-xl2=-=4.5厘米。例2•如图，已知平行四边形ABCD的面积为72,E点是BC上靠近B点的三等分点，求三角形AEO的面积是多少？【解答】通过图形可知，三角形AED的面积=36,EO：OD=EC：AD=2：3,所以，三角形AEO的面积=于 5。运动与区域例5.如下左图，半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动,当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问：小铁环绕自身转了几圈？思考：如果小铁环在圆外滚动一周回到原位，到底自身滚动几圈呢？【答案】1圈，思考题为3圈.复杂图形的比例与面积例2.如图1,5个正方形拼在一起，图中三角形ABC部分的面积是60，则正方形的边长是

图1【解答】比较有相同底边的两个三角形ABC和BCD,它们的高的比是3:2，因此三角形BCD的面积60x2=40是' .于是三角形ACD的面积是60+40=100.注意ACD的底边是小正方形边长的2倍，而高就是小正方形的边长，所以它的面积与一个小正方形的面积是相等的，应该都是100,所以小正方形的边长就是10（因为10X10=100）.例2.如图1,在rABC中，DC=3BD，rABC的面积是84,DE=EA,则阴影部分的面积是 .图1【解答】比较有相同底边的两个三角形ABC和BCD,它们的高的比是3:2，因此三角形BCD的60x2=40面积是' .于是三角形ACD的面积是60+40=100.注意ACD的底边是小正方形边长的2倍，而高就是小正方形的边长，所以它的面积与一个小正方形的面积是相等的，应该都是100,所以小正方形的边长就是10（因为10X10=100）.例1.图中三角形ABC是直角三角形，四边形