徐州市（市区部分学校）2021届高三9月学情调研考试数学试题含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精江苏省徐州市（市区部分学校）2021届高三9月学情调研考试数学试题含答案徐州市2021届高三学情调研考试数学2020。9。29注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求．1．本试卷共4页，包含选择题（第1题~第12题，共12题）和非选择题（第13题～第22题，共10题)两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0。5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题（第1题～第12题），必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用0。5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等需加黑、加粗．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A＝{1,2，3},B＝{x|x2－x－2＜0且x∈Z｝,则A∩B＝A．{1} B．｛1，2} C．{0，1，2，3｝ D．｛－1,0，1，2，3｝2．某大学4名大学生利用假期到3个山村参加基层扶贫工作,每名大学生只去1个山村，每个山村至少有1人去，则不同的分配方案共有A．6种 B．24种 C．36种 D．72种3．甲、乙、丙、丁四位同学被问到谁去过长城时，甲说:“我没去过”，乙说：“丁去过"，丙说：“乙去过"，丁说：“我没去过”，假定四人中只有一人说的是假话,由此可判断一定去过长城的是A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus,又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小,天体就越亮；星等的数值越大，天体就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R。Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1－m2＝2.5(lgE2－lgE1)，其中星等为mi的的星的亮度为Ei(i＝1，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25．“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则r的近似值为（当|x|较小时，10x≈1＋2。3x＋2.7x2)A．1.23 B．1.26 C．1。51 D．1.575．设a，b，c为单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为A．－2 B．EQ\r（，2）－2 C．－1 D．1－EQ\r(,2）6．我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术"：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．即通过圆内接正多边形细割圆,并使正多边形的面积无限接近圆的面积,进而来求得较为精确的圆周率．如果用圆的内接正n边形逼近圆,算得圆周率的近似值记为πn，那么用圆的内接正2n边形逼近圆，算得圆周率的近似值π2n可以表示为A． B． C． D．7．用一平面截正方体，所得截面的面积最大时，截面的几何形状为A．正六边形 B．五边形 C．矩形 D．三角形8．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′（x)，若∀x∈R，都有2f(x)＋xf′（x）＜2，则使x2f（x)－f（1)＜x2－1成立的实数x的取值范围是A．｛x｜x≠±1｝ B．(－1，0）∪（0，1)C．(－1，1) D．（－∞，－1)∪（1，＋∞）二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9．若0＜c＜1，a＞b＞1，则A．logac＞logbc B．abc＞bac C．alogbc＞blogac D．a（b－c)＞b（a－c）10．下列四个命题中，真命题为A．若复数z满足z∈R，则 B．若复数z满足eq\f（1，z）∈R,则z∈RC．若复数z满足z2∈R，则z∈R D．若复数z1,z2满足z1·z2∈R,则11．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点,则A．C的准线方程为y＝1 B．线段PQ长度的最小值为4C．M的坐标可能为（3，2） D．eq\o(OP，\s\up6（→）)·eq\o（OQ，\s\up6(→））＝－312．黄金螺旋线又名等角螺线,是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0。618)里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接,就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为an(n∈N*)，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2（n≥3)．再将扇形面积设为bn(n∈N*)，则A．4（b2020－b2019)＝πa2018·a2021B．a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝a2021－1C．a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝2a2019·a2021D．a2019·a2021－（a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝0三、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分.13．某公司的广告费支出x（单位:万元)与营业额y（单位:万元）之间呈线性相关关系，收集到的数据如下表：广告费支出x(单位:万元）1020304050营业额y(单位：万元）6268758189由最小二乘法求得回归直线方程为，则的值为__________．14．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出下面四个论断：①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β；④m⊥α．以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____________________．15．已知P是直线3x＋4y－10＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的两条切线，C为圆心，A，B为切点，则四边形PACB的面积的最小值为__________．16．在△ABC中，sin（A－B)＝sinC－sinB，则cosA＝__________；点D是BC上靠近点B的一个三等分点，记eq\f（sin∠ABD,sin∠BAD)＝，则当取最大值时，tan∠ACD＝__________．（本题第一空2分,第二空3分．)四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）记Sn为等比数列{an｝的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6．（1)求｛an}的通项公式；（2)求Sn,并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．18．(本小题满分12分）在①离心率为EQ\r(，3），且经过点（3，4);②一条准线方程为x＝4，且焦距为2．这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中,若问题中的直线l存在，求出l的方程；若问题中的直线l不存在，说明理由．问题：已知曲线C：mx2＋ny2＝1（m,n≠0）的焦点在x轴上，____________，是否存在过点P(－1，1）的直线l,与曲线C交于A，B两点，且P为线段AB的中点?注:若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a，b,c，设向量m＝（2sin(x－A)，sinA）,n＝(cosx，1），f(x)＝m·n,且对任意x∈R，都有f(x）≤f(eq\F(5π，12)）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若a＝2EQ\r（,3),sinB＋sinC＝eq\f(\r(6），2），求△ABC的面积．20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥E－ABCD中,底面ABCD是圆内接四边形，CB＝CD＝CE＝1，AB＝AD＝AE＝eq\r(3)，EC⊥BD．（1）证明：平面BED⊥平面ABCD；（2）若点P在侧面ABE内运动，且DP∥平面BEC,求直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值．21．(本小题满分12分）已知,其中a∈R．（1)讨论f（x）的极值点的个数；（2)当n∈N＊时,证明：．22．(本小题满分12分）某中学开展劳动实习，学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子元件．已知学生加工出的每个电子元件正常工作的概率都是p（0＜p＜1),且各个电子元件正常工作的事件相互独立．现要检测k(k∈N*）个这样的电子元件，并将它们串联成元件组进行筛选检测，若检测出元件组正常工作，则认为这k个电子元件均正常工作；若检测出元件组不能正常工作，则认为这k个电子元件中必有一个或多个电子元件不能正常工作，须再对这k个电子元件进行逐一检测．（1）记对电子元件总的检测次数为X,求X的概率分布和数学期望；（2）若p＝0.99，利用（1－α)β（0＜α<〈1，β∈N＊）的二项展开式的特点,估算当k为何值时,每个电子元件的检测次数最小，并估算此时总的检测次数；（3)若不对生产出的电子元件进行筛选检测，将它们随机组装入电子系统中，不考虑组装时带来的影响．已知该系统配置有2n－1（n∈N*）个电子元件,如果系统中有多于一半的电子元件正常工作，该系统就能正常工作．将系统正常工作的概率称为系统的可靠性，现为了改善该系统的性能,拟向系统中增加两个电子元件．试分析当p满足什么条件时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性?徐州市2021届高三学情调研考试数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．A 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．C 8．D二、选择题：本题共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分,部分选对的得3分.9．BC 10．AB 11．BCD 12．ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分（第16题第一空2分,第二空3分．)，共20分.13．54.914．若m⊥n,n⊥β，m⊥α，则α⊥β．(或若α⊥β,n⊥β，m⊥α，则m⊥n．）15．2EQ\r(，2) 16．eq\f(1,2) 2＋EQ\r（,3)四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1)设｛an}的公比为q，则an＝a1·qn－1，由已知得,解得a1＝－2，q＝－2，所以｛an}的通项公式为an＝（－2）n．………5分（2）由（1）得，所以，，则，所以Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．…………10分18．选条件①：由题设得曲线C为焦点在x轴上的双曲线,………………2分设,（a＞0，b＞0），所以C的方程为(a＞0，b＞0)，由题设得,解得a2＝1，b2＝2，所以C的方程为，………4分1°当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，与曲线C有且仅有一个交点（－1，0)，不符合题意；…………6分2°当直线l的斜率存在时，设A（x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y－1＝k(x＋1）,即y＝k(x＋1）＋1，代入得(2－k2)x2－2k(k＋1)x－（k2＋2k＋3)＝0(*），若2－k2＝0，即k＝±EQ\r（，2）时，方程(＊）有且仅有一解，不符合题意；…8分若2－k2≠0，即k≠±EQ\r（,2)时，其判别式Δ＝[2k（k＋1)］2－4（k2－2)(k2＋2k＋3)＝8（2k＋3）＞0，则，所以方程(*）有两个不同实数解时，,……………10分于是,解得k＝－2,与矛盾!所以，不存在直线l，与曲线C交于A，B两点，且P为线段AB的中点．………12分选条件②：由题设得曲线C为焦点在x轴上的椭圆，……2分设,(a＞b＞0），所以C的方程为(a＞b＞0），由题设得,解得a2＝4，b2＝3，所以C的方程为，…………4分1°当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1,代入得，P（－1，1)不是线段AB的中点，不符合题意；…………………6分2°当直线l的斜率存在时,设A(x1，y1)，B(x2，y2），直线l的方程为y－1＝k（x＋1），即y＝k（x＋1)＋1，代入得（3＋4k2）x2＋8k(k＋1）x＋4(k2＋2k－2）＝0，其判别式Δ＝［8k(k＋1）］2－4·(3＋4k2）·4（k2＋2k－2）＝16（5k2－6k＋6）＞0，于是，解得,…………………9分故,即3x－4y＋7＝0，所以存在直线l:3x－4y＋7＝0，与曲线C交于A，B两点,且P为线段AB的中点．…………………12分19．（1）由题意得f（x）＝m·n＝2sin（x－A)·cosx＋sinA＝2（sinx·cosA－cosx·sinA）·cosx＋sinA＝2sinx·cosx·cosA－2cos2x·sinA＋sinA＝2sinx·cosx·cosA－（2cos2x－1）·sinA＝sin2x·cosA－cos2x·sinA＝sin(2x－A)，……………2分由题意知,所以（k∈Z），因为A∈(0,π)，所以，所以，即,………………4分所以，令（k′∈Z），解得（k′∈Z），所以f(x)的单调递增区间为（k′∈Z)．…………………6分(2）在△ABC中由正弦定理得，于是，解得,即,…………………8分在△ABC中由余弦定理得，于是,……………10分解得bc＝4,所以△ABC的面积为．…………12分20．（1）如图,在四棱锥E－ABCD中，连接AC，交BD于点O，连接EO,∵AD＝AB，CD＝CB，AC＝AC，∴△ADC≌△ABC，易得△ADO≌△ABO，∴∠AOD＝∠AOB＝90°,∴AC⊥BD,又EC⊥BD，EC∩AC＝C，EC，AC⊂平面AEC，∴BD⊥平面AEC,又OE⊂平面AEC，∴OE⊥BD，…………………2分又底面ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，在Rt△ADC中，由AD＝EQ\r(，3），CD＝1，可得AC＝2，AO＝eq\f(3,2）,∴∠AEC＝90°，eq\f（AE，AC)＝eq\f（AO,AE)＝eq\f(\r(3),2）,易得△AEO∽△ACE，∴∠AOE＝∠AEC＝90°，即EO⊥AC，又AC，BD⊂平面ABCD，AC∩BD＝O,∴EO⊥平面ABCD，…………4分又EO⊂平面BED，∴平面BED⊥平面ABCD．…………5分(2）如图,取AE的中点M,AB的中点N，连接MN,ND，DM，则MN∥BE，由（1)知,∠DAC＝∠BAC＝30°,即∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∴DN⊥AB，又BC⊥AB,DN，CB⊂平面ABCD，∴DN∥CB，…………………6分又MN∩DN＝N,BE∩BC＝B,MN，DN⊂平面DMN，BE，BC⊂平面EBC,∴平面DMN∥平面EBC,∴点P在线段MN上．………7分以O为坐标原点，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz,则，，，,,，，，，，……8分设平面ABE的法向量为n＝(x，y,z),则，即，不妨令,则n＝（1，EQ\r(，3)，EQ\r(，3）），……9分设eq\o(MP，\s\up6（→））＝λeq\o(MN，\s\up6（→））(0≤λ≤1),则,……………10分设直线DP与平面ABE所成的角为θ，则，………………11分因为0≤λ≤1，所以当λ＝0时，sinθ取得最大值eq\f（\r（42）,7），故直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值为eq\f(\r(42）,7）．………………12分21．(1)f(x)的定义域为（0，＋∞）,则，令，x＞0，则，…………………1分①当时，，令，则,当0＜x＜1时，，f（x)单调递减，当x＞1时,，f(x）单调递增，所以f（x)在（0，＋∞）上有且仅有一个极值点．……………2分②当时，，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又，所以g（x）在(1，ea)上存在唯一零点,记为x0，列表:x（0，x0)x0(x0，＋∞)f′（x）－0＋f（x)↘极小值↗所以f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点．……………4分③当时，令,得,当0＜x＜时，，g(x)单调递减,当x＞时，,g（x)单调递增，所以g（x)min＝g（)＝，当a≤时，g(x)min≥0，故f′（x）≥0，f（x)在(0,＋∞)上单调递增,所以f（x）在（0，＋∞)上无极值点,…………5分当＜a＜0时,g(x)min＝g（）＝＜0，又，，下面证，………………6分令(＜a＜0），，所以在(，0)上单调递增，所以，所以g(x)在（0,＋∞）上有且仅有两个零点，记为，列表:x（0，α）α（α，β)β（β，＋∞）f′（x）