高等数学上册复习

第一章复习提要第一节映射与函数1、注意几个特殊函数：符号函数，取整函数，狄利克雷函数；这些函数通常用于判断题中的反例2、注意无界函数的概念3、了解常用函数的图像和基本性质（特别是大家不太熟悉的反三角函数）第二节数列的极限会判断数列的敛散性第三节函数的极限1、函数极限存在的充要条件：左右极限存在并相等。（重要）2、水平渐近线的概念，会求函数的水平渐近线（p37）。（重要）3、了解函数极限的局部有界性、局部保号性。第四节无穷大和无穷小1、无穷小和函数极限的关系：，其中是无穷小。2、无穷大和无穷小是倒数关系3、铅直渐近线的概念（p41）,会求函数的铅直渐近线4、无界与无穷大的关系：无穷大一定无界，反之不对。5、极限为无穷大事实上意味着极限不存在，我们把它记作无穷大只是为了描述函数增大的这种状态第五节极限的运算法则1、极限的四则运算法则：两个函数的极限都存在时才能用。以乘法为例比如。，。但是2、会求有理分式函数的极限（P47例3-例7）（重要）时:若分母，则极限为函数值若分子和分母同时为零，则为型极限，约去公因子若只是分母为零，则极限为无穷大。（p75页9（1））时，用抓大头法，分子、分母同时约去的最高次幂。第六节极限存在的准则，两个重要极限（重要）1、利用夹逼准则求极限：例p56也习题4（1）（2），及其中考试题（B）卷第三题（1）2、利用两个重要极限求其他的极限（p56习题2）3注意下面几个极限：；；第七节无穷小的比较（重要）1、会比较两个无穷之间的关系（高阶、低阶、同阶，k阶还是等价穷小）2、常见的等价无穷小：；；3、若为无穷小，则，，，。4、替换无穷小时必须是因式应该5、会利用等价无穷小计算极限（p60页习题4）第八节函数的连续性与间断点（重要）1、函数在点连续左连续且右连续2、会判断间断点及其类型。讨论分段函数的连续性。3、在点连续在点连续；但反之不对。第九节连续函数的运算与初等函数的连续性初等函数在其定义域上都是连续的，因而求某点处极限时可以直接把点代入求值。4.注意三个例题：例6-例8（重要）5、幂指函数求极限，可以利用等式=来求。（重要）6、若含有根式，则分子或者分母有理化（p75页9（2））是求极限的一种重要方法。（重要）7、利用分段函数的连续性求未知数的值（如p70页6）（重要）第十节闭区间上连续函数的性质最大值最小值定理、零点定理、介值定理的内容会零点定理证明方程根的存在性。（重要）(3)二项式定理（4）间接法求高阶导数：例5、求的n阶导数：提示。（5）注意下列函数的求导例6、求下列函数的二阶导数：P103页第3题（重要）（1）；（2）4、隐函数及参数方程求导（重要）（1）一般方法，两边对球到后解出。（2）会求二阶导数（3）对数求导法适用于幂指函数和连乘或连除的函数（4）注意参数方程二阶导数的公式。（重要）（5）相关变化率问题：根据题意给出变量和之间的关系；两边对（或者是其他变量）求导和之间的关系，已知其中一个求另外一个。5、函数的微分（1）微分与可导的关系：可微可导且（2）利用微分的形式不变性求隐函数或显函数的微分：显函数的例子见课本的例题；下面给出隐函数的例子例7、设求。解:利用一阶微分形式不变性,有。（3）近似计算公式：注意的选取原则。(一般不会考)第三章：微分中值定理与导数的应用复习提要3.1微分中值定理（重要）罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理应用：证明等式，一般通过证明导数为零证明不等式：若不等式中不含，则取作为辅助函数的自变量；若含有，则取作为辅助函数的自变量。（重要）判断方程的根（存在性用零点定理，唯一性或判断根的个数用中值定理，有时还要结合单调性，见153也习题6）（重要）利用辅助函数和中值定理证明等式（一个函数用拉格朗日，二个用柯西）例1设函数在上连续，在内可导，且，证明至少存在一点使得。证明：上述问题等价于。令，则在上满足罗尔定理条件，于是少存在一点使得即有。（5）请熟悉132页例1.3.2洛必达法则（重要）（1）(其他类型的未定式)最终转化成型和型未定式（2）每次用前需判断（3）结合等价无穷小效果更佳。3.3泰勒公式（1）一般方法：求各阶导数代入公式即可；（2）常见函数，的麦克劳林公式3.4函数的单调性和凹凸性（1）会用列表法求函数的单调区间和凹凸区间（注意一般是闭区间），拐点。注意不要漏掉导数不存在的点也可能是单调区间的分点；二阶导数不存在的点也可能是拐点。（2）利用单调性证明不等式（重要）（3）利用单调性判断方程的根（重要）3.5极值和最值（重要）（1）列表法求极值（极值可能点为驻点或不可导点）（2）最值（找出极值可能点再与端点比较）（3）对于时间问题，若极值点唯一，则也为最值点。3.6函数图形的描绘注意渐近线3.7曲率（1）弧微分公式（2）曲率和曲率半径的计算公式（重要）第四章复习提要4.1不定积分的概念和性质1、基本积分表2、公式和3、注意如下问题：（填空、选择、判断）若是的原函数，则若是的原函数，则若的导数为，则的一个原函数是（B）。A;B;C;D4.2换元积分法（重要）1、第一换元法的原理：把被积函数凑成的形式，因而这种方法也称为凑微分法。2、一些规律：①②③④⑤注：和可以看做④和⑤的特殊情形。⑥用公式和降次。⑦注可以看做⑦的特殊情形⑧⑨⑩利用积化和差公式：第二换元法被积函数中含有，利用代换被积函数中含有，利用代换被积函数中含有，利用代换（一般要分情况讨论）被积函数为分式，分母次数比分子次数高，到代换利用下列积分公式：⒃；⒄⒅；⒆⒇；（21）（22）；（23）（24）4.3分部积分法（重要）1、分部积分公式：2、的选取原则：反对幂指三。这个原则不是绝对的，如通常。3、如果遇到反三角函数和对数函数的高次幂，通常先换元更容易算。如；遇到根式，先令去根号。会做形如例7、8那样具有典型特点的题目。4.4有理函数的积分（重要）1、，先用多项式除法化成真分式；2、对分解因式，根据分解结果用待定系数法确定的分解式：：应设：应设：应设原则就是分子的次数总是要比分母低一次。3、三角函数可以通过如下换元法转化为有理函数的积分；；令，则三角函数就转化成为有理函数4.被积函数含有或，则令或几个典型题目P207页（42），（43）P211页例7、8补充说明：这一章的内容需要大家在掌握一定规律的前提下多做练习，方能取得比较好的效果第五章：定积分5.1定积分的概念和性质1、定积分的定义：2、定积分的几何意义：曲边梯形的面积3、定积分的性质：利用定积分的性质判断积分的取值范围或比较两个积分的大小（p235,10,13）(重要)5.2微积分基本公式1、的积分上限的函数（重要）及其导数：（如p243,5题）（1）（2）（3）（4）2、利用上面的公式计算极限、判断函数单调性等：相应例题（p242,例7，8），相应习题（p243-244:习题9，12，12，14）（重要）3、牛顿-莱布尼茨公式：函数为函数在区间上的一个原函数，则，记作或注意：分段函数(或者带绝对值的函数)的积分应为分段积分的和：典型题目p244，习题10.5.3定积分的换元法和分布积分法（重要）1、第一换元公式：2、第二还原公式：注意：一般来说应用第一换元公式，我们一般不需要把新变量写出来，因而也就不需要写出新变量的积分限，如。但是应用第二换元公式，一般要写出新变量及其积分限，如3、分布积分公式：说明：无论是还原法还是分布积分法，定积分和不定积分的计算过程都是相似的。4、利用下面的公式能帮助我们简化计算：（重要）（1）偶倍寄零（2）（3）（p248,例6，p270,10(6)）（4）设是周期为的连续函数：则；(p249，例7，p253,1(26))5、形如例9这样的积分。5.4反常积分1、无穷限的反常积分：设是的原函数，引入记号则；；.反常积分收敛意味着相应的存在；特别的积分收敛必须同时存在。注意：对于无穷限积分来说，偶倍寄零原则不在成立！2、无界函数的反常积分（瑕积分）：设是的原函数，则若为瑕点，；若为瑕点，则；若都为瑕点，；则为瑕点，则。反常积分收敛意味着相应的存在；特别的积分（为瑕点）收敛必须同时存在。说明：由上面的公式看出，反常积分与定积分的计算方法是一样的。都是先求原函数然后代入两个端点，只是对于非正常点（如和瑕点）算的是函数的极限。3、换元法也适用于反常积分4、会利用下面