人教版七年级数学下册培优资料教师版

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第12讲与相交有关概念及平行线的判定

考点方法破译

1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.

2．把握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.

3．把握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.

BOC，∠FOC＝

111

∠AOC∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝∠BOC＋∠AOC＝222

1

BOCAOC又∵∠BOC＋∠AOC＝180∴∠EOF＝1180＝90⑵∠BOE22

经典考题赏析

如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，一共构成哪几对对顶角？一共

构成哪几对邻补角？

⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.

⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.

⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.有6对对顶角.

的余角是：∠COF、∠AOF；∠BOE的补角是：∠AOE.

01．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC＝100，则∠BOD的

度数是（）A．20B．40C．50D．80

A

（第1题图）（第2题图）

02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62，则∠4＝.

12对邻补角.如图，直线l1、l2相交于点O，

A、B分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成以下

作图：

01．如右图所示，直线AB、CD、EF相交于P、Q、R，则：⑴经过点A画直线l2的垂线.

⑴∠ARC的对顶角是.⑵画出表示点B到直线l1的垂线段.

邻补角是.垂线是一条直线，垂线段是一条线段.2

⑵中有几对对顶角，几对邻补角？B02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；01．P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且

当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.距离为（）问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角.A．4cmB．5cmC．不大于4cmD．不小于6cm如下图，点O是直线AB上一点，OE、OF分别平分∠BOC、∠AOC．02如图，一辆汽车在直线形的马路AB上由A向B行驶，M、N为位于马路两侧的村庄；⑴求∠EOF的度数；⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置

C

⑵写出∠BOE的余角及补角.时，距离村庄N最近，请在图中的马路上分别画出点P、Q的位置.

解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的

定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；

1

⑴∵OE、OF平分∠BOC、∠AOC∴∠EOC＝∠

2

⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在的路上距离M村越来越近..在的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.

如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65，求∠BOE和∠AOC的度数.

图形的定义现可以作为判定图形的依据，

也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF＝90，

OF⊥AB．

∵OE⊥CD，OF⊥AB∴∠FOB＝∠EOD＝90

F（垂直定义）∴∠BOE＝∠FOD＝90－∠DOB＝65∴∠DOB＝25∴∠AOC＝∠DOB＝25（对顶角相等）

01．如图，若EO⊥AB于O，直线CD过点O，∠EOD︰∠EOB＝1︰3，求∠AOC、∠AOE

的度数.

D

02．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC平分∠AOD．⑴求∠AOC的度数；

⑵试说明OD与AB的位置关系.

B

03．如图，已知AB⊥BC于B，DB⊥EB于B，并且∠CBE︰∠ABD＝1︰2，请作出∠CBE

的对顶角，并求其度数.A

A

如图，指出以下各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：∠1和∠2：是AB、EF被直线CD所截而得到的，一组同位角

1∠1和∠3：是AB、CD被直线CD所截而得到的，一对内错角

∠1和∠6：是AB、CD被直线CD所截而得到的，一对同旁内角

∠2和∠6：是EF、CD被直线AB所截而得到的，一对同位角∠2和∠4：是EF、AB被直线CD所截而得到的，一对同旁内角

∠3和∠5：是EF、CD被直线AB所截而得到的，一对内错角∠3和∠4：是AB、CD被直线EF所截而得到的，一对同旁内角

正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最终确定它们的名称.

01．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF，GH相交，图中的同旁

内角共有（）AA．4对B．8对C．12对D．16对

CD

02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.52

41乙

丙5

A

甲

O

03．如图，按各组角的位置判断错误的是（）

A．∠1和∠2是同旁内角B．∠3和∠4是内错角C．∠5和∠6是同旁内角D．∠5和∠7是同旁内角如图，根据以下条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由

1⑴∠CBD＝∠ADB；

⑵∠BCD＋∠ADC＝180⑶∠ACD＝∠BAC图中有即即有同旁B

C内

角，有“

〞即有内错角.

⑴由∠CBD＝∠ADB，可推得AD∥BC；根据内错角相等，两直线平行.⑵由∠BCD＋∠ADC＝180，可推得AD∥BC；根据同旁内角互补，两直线平行.⑶由∠ACD＝∠BAC可推得AB∥DC；根据内错角相等，两直线平行.

01．如图，推理填空.

A⑴∵∠A＝∠（已知）

∴AC∥ED（）⑵∵∠C＝∠（已知）

∴AC∥ED（）⑶∵∠A＝∠（已知）∴AB∥DF（）

02．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1＝∠2，试说明DE与AB的位置关系.解：∵AD是∠BAC的平分线（已知）

∴∠BAC＝2∠1（角平分线定义）

又∵EF平分∠DEC（已知）

∴（）

E

又∵∠1＝∠2（已知）

∴（）

C

∴AB∥DE（）

03．如图，已知AE平分∠CAB，CE平分∠ACD．∠CAE＋∠ACE＝90，求证：AB∥CD．

04．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，CD

平分∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：CD∥EF.

如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于

31.

l443

3l5

l2l62

l6

l11

图⑴

图⑵

如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.

证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31则1231＝372＞360这与一周角等于360矛盾

所以这12个角中至少有一个角小于31

01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11.

02．在同一平面内有2023条直线a1,a2,，a2023,假使a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5那

么a1与a2023的位置关系是.

03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设Sn

表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10则Sn＝.

演练稳定反馈提高

01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90.以下说法正确的是（）

A．α的余角只有∠BB．α的邻补角是∠DACC．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补

E

02．AAA

如图，已知直线B

AB、D

N

F

B

D

第2题图

第4题图

C

第1题图CD被直

线EF所截，则∠EMB的同位角为（）A．∠AMFB．∠BMFC．∠ENCD．∠END03．以下语句中正确的是（）

A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B．过直线上一点的直线只有一条

C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D．垂线段就是点到直线的距离

04．如图，∠BAC＝90，AD⊥BC于D，则以下结论中，正确的个数有（）

①AB⊥AC②AD与AC相互垂直③点C到AB的垂线段是线段AB④线段AB的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD＞BD

A．0B．2C．4D．605．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，

则点P到直线l的距离是（）A．4cmB．5cmC．小于4cmD．不大于4cm06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC＝.

c

D

a

B

C

第6题图

1

第7题图

第9题图

07．如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72，则∠AEG＝.

08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,则a1a10.（a1与a10不重合）

09．如下图，直线a、b被直线c所截，现给出以下四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，

③∠2＋∠3＝180，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是.10．在同一平面内两条直线的位置关系有.11．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB∥CD？

12．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1

＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系如何？

B

D

13．如图，推理填空：

⑴∵∠A＝（已知）

2

B

D

C

第13题图

∴AC∥ED（）⑵∵∠2＝（已知）

∴AC∥ED（）⑶∵∠A＋＝180（已知）∴AB∥FD．

14．如图，请你填上一个适当的条件使AD∥BC．

E

第14题图

C

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01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（）

A．1，3B．0，1，3C．0，2，3D．0，1，2，3

02．平面上有10条直线，其中4条是相互平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（）

部分.

A．60B．55C．50D．45

03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还

有（）个交点.

A．35B．40C．45D．55

04．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点.

05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a、b是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.

06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（）

A．3B．1或3C．1或2或3D．不一定是1，2，3

07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直

线相交，并简单说明画法？

08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办

到？

09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB、AC，那么两条对角线的夹角等于（）

A．60B．75C．90D．135

10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？

⑴任意两条直线都有交点；⑵总共有29个交点.

第13讲平行线的性质及其应用

考点方法破译

1．把握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；

3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.

经典考题赏析

如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，∠A＝38

两条直线平行，同位角相等；

两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补.

平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必需正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.

：∵AB∥CDBC∥AD∴∠A＋∠B＝180∠B＋∠C＝180(两条直线平行，同旁内角互补)∴∠A＝∠C∵∠A＝38∴∠C＝3801．如图，已知AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE＝155，则∠DBC的度数为（）

A．155B．50C．45D．25

02．（安徽）如图，直线l1∥l2,∠1＝55，∠2＝65，则∠3为（）

A．50B．55C．60D．65

03．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α：∠D：∠B＝2:3:4,试求∠α、∠D、∠B的度数.

如图，已知AB∥CD∥EF，GC⊥CF，∠B＝60，∠EFC＝45，求∠BCG的度数.

平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平A分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.

∵AB∥CD∥EF∴∠B＝∠BCD∠F＝∠FCD(两条直线平行，内错角相等)又∵∠B＝60∠EFC＝45∴∠BCD＝60∠CFCD＝45又∵GC⊥CF∴∠GCF＝90（垂直定理）∴∠GCD＝90－45＝45∴∠BCG＝60－45＝15EF

01．如图，已知AF∥BC,且AF平分∠EAB，∠B＝48，则∠C的的度数＝_______________

F

A

B

C

EB

（第1题图）

CB

（第2题图）

C

A

PD

（第3题图）

02.如图,已知∠ABC＋∠ACB＝120，BO、CO分别∠ABC、∠ACB，DE过点O与BC平

行，则∠BOC＝___________

03．如图，已知AB∥MP∥CD,MN平分∠AMD，∠A＝40，∠D＝50，求∠NMP的度数.

如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F.

因果转化，综合运用.

逆向思维：要证明∠A＝∠F，即要证明DF∥AC．要证明DF∥AC,即要证明∠D＋∠DBC＝180，

即：∠C＋∠DBC＝180；要证明∠C＋∠DBC

＝180即要证明DB∥EC．要证明DB∥EC即要证明∠1＝∠3.

证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3∴DB∥EC（同位角相等两直线平行）∴∠DBC＋∠C＝180（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C＝∠D∴∠DBC＋∠D＝180∴DF∥AC（同旁内角，互补两直线平行）∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）

C01．如图，已知AC∥FG，∠1＝∠2，求证：DE∥FG

F

DA2

∴AD平分∠BAC（角平分线定义）

D

01．如图，若AE⊥BC于E，∠1＝∠2，求证：DC⊥BC．

A

C

02．如图，在△ABC中，CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,AC∥ED，CE平分∠ACB．求证：∠EDF＝∠BDF.

B

EG（第1题图）

02．如图，已知∠1＋∠2＝180，∠3＝∠B．求证：∠AED

03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO平行

于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B平行于α，则角θ等于_________.

如图，已知EG⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠3.求证：AD平分∠BAC．

抓住题中给出的条件的目的，细心分析条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论的条件，要确凿把握住这些条件的意图.（题目中的：∠1＝∠3）

证明：∵EG⊥BC，AD⊥BC∴∠EGC＝∠ADC＝90

（垂直定义）∴EG∥AD（同位角相等，两条直线平行）B∵∠1＝∠3∴∠3＝∠BAD（两条直线平行，内错角相等）

3．已知如图，AB∥CD，∠B＝40，CN是∠BCE的平分线.CM⊥CN，求：∠BCM的度数.A

N

M

EDC

已知，如图，AB∥EF，求证：∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360从考虑360这个特别角入手展开联想，分析类比，联想周角.构造两个“平角〞或构造两组“互补〞的角.

B过点C作CD∥AB即把已知条件AB∥EF联系起来，这是A

D

1E

F

C

GD

关键.

C：过点C作CD∥AB∵CD∥AB∴∠1＋∠ABC＝180

(两直线平行，同旁内角互补)又∵AB∥EF，∴CD∥EF（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＋∠CFE＝180(两直线平行，同旁内角互补)∴∠ABC＋∠1＋∠2＋∠CFE＝180＋180＝360即∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360

01．如图，已知，AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，请

你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.

结论：⑴____________________________⑵____________________________

⑶____________________________⑷____________________________

02．如图，已知，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝140，求∠BFD

的度数.

D

////

如图，平移三角形ABC，设点A移动到点A，画出平移后的三角形ABC.抓住平移作图的“四部曲〞——定，找，移，连.′P

ABA⑴定：确定平移的方向和距离.AB

⑵找：找出图形的关键点.A⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点.PPPB′⑷连:按原图形顺次连接对应点.D

////

①连接AA②过点B作AA的平行线l③在l截取BB＝AA,则

C⑴DC⑷C///C⑶D⑵D点B就是的B对应点，用同样的方法作出点C的对应点C/.连接AB，

///////如图，已知，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是BC，CA就得到平移后的三角形ABC.

C

∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180BA

基本图形01．如图，把四边形ABCD按箭头所指的方向平移21cm，作出平移后的图形.

BAαβEP∠P＝α＋β

F

CD

CD

擅长从繁杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律开启思路.过点E作EH∥AB．过点F作FG∥AB．∵AB∥EH∴∠α＝∠1（两直线平行，内02．如图,已知三角形ABC中，∠C＝90,BC＝4，AC＝4，现将△ABC沿CB方向平移到△

//////

错角相等）又∵FG∥AB∴EH∥FG（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3又∵ABABC的位置，若平移距离为3,求△ABC与△ABC的重叠部分的面∥CD∴FG∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180（两直线平行，同旁

A/A

内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180

A

01．如图，AB∥EF，∠C＝90，则∠α、∠β、∠γ的关系是（）B

A．∠β＝∠α＋∠γB．∠β＋∠α＋∠γ＝180

C

C．∠α＋∠β－∠γ＝90D．∠β＋∠γ－∠α＝90BCCB

积.

γD

E

F

C′

03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移BE的距离，就得到

此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）

演练稳定反馈提高

A

北

01．如图，由A测B得方向是（）

A．南偏东30B．南偏东60西B东C．北偏西30D．北偏西60

02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平

南行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个

03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向一致，两次拐

弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30，其次次向右拐30B．第一次向右拐50，其次次向左拐130C．第一次向左拐50，其次次向右拐130D．第一次向左拐60，其次次向左拐12004．以下命题中，正确的是（）

A．对顶角相等B．同位角相等C．内错角相等D．同旁内角互补

05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张

半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]

从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；

④内错角相等，两直线平行.A．①②B．②③C．③④D．①④

06．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的马路，从A地测得B地的走向是南偏东52.

现A、B两地要同时开工，若干天后，马路确凿对接，则B地所修马路的走向应当是（）A．北偏东52B．南偏东52C．西偏北52D．北偏西3807．以下几种运动中属于平移的有（）

①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉马路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种B．2种C．3种D．4种

08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上

角的位置（不能出格）

09．观测图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）

10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移.平移方向为射线AD的方向.

平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.

11．判断以下命题是真命题还是假命题，假使是假命题，举出一个反例.

⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.

12．把以下命题改写成“假使那么〞的形式，并指出命题的真假.

⑴互补的角是邻补角；

⑵两个锐角的和是锐角；15．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，试说明∠E和∠F的关系.

⑶直角都相等.

C

13．如图，在湖边修一条马路.假使第一个拐弯处∠A＝120，其次个拐弯处∠B＝150，第

三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.

湖

E

150120B

14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64角.

当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4

的关系.你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的度数吗？

E

C

D

培优升级奥赛检测

01．如图，等边△ABC各边都被分成五等分，这样在△ABC

内能与△DEF完成重合的小三角形共有25个，那么在

△ABC内由△DEF平移得到的三角形共有（）个

02．如图，一足球运动员在球场上点A处看到足球从B点沿

着BO方向匀速滚来，运动员马上从A处以匀速直线奔

跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的

动视为点的平移）

OB

03．如图，长方体的长AB＝4cm，宽BC＝3cm，高AAAC平移到AC

1＝2cm.将1C1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是

___________.A

B04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向

1C1

的边长均为a，竖直方向的边长为b）；将线

段A1A2向右平移1个单位得到B1B2，得到封

闭图形AA1

1A2B2B1[即阴影部分如图⑴];将折

1

现A1A2A3向右平移1个单位得到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1[即阴影部分如图⑵];

⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.

⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1＝________,S2＝________,S3＝________.⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？

⑶

⑷

05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，从前进一半，然后原地逆时针旋转α（0＜α＜180），

被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α角为（）A．720B．108或144C．144D．720或144

06．两条直线a、b相互平行，直线a上顺次有10个点A1、A2、、A10，直线b上顺次有

10个点B1、B2、、B9，将a上每一点与b上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（）A．90B．1620C．6480D．2023

07．如图，已知AB∥CD，∠B＝100，EF平分∠BEC，EG⊥EF.求∠BEG和∠DEG.

BA

G

F

DE

08．如图，AB∥CD，∠BAE＝30，∠DCE＝60，EF、EG三等分∠AEC．问：EF与EG中

有没有与AB平行的直线？为什么？

EGCD09．如图，已知直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，

OE平分∠COF.

⑴求∠EOB的度数；

⑵若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.

⑶在平行移动AB的过程中，是否存在某种状况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.

CE

OA

10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，

至少有一个角不超过36,请说明理由.

11．如图，正方形ABCD的边长为5,把它的对角线AC分成n段，以每一小段为对角线作小

正方形，这n个小正方形的周长之和为多少？AB

D

12．如图将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部

分面积？

第06讲实数

考点方法破译

1．平方根与立方根：

若x2

＝a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：

a的平方根为x＝a的平方根为x

a的算术平方根．

若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x

2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数p

q

（p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式．3非负数：

实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根

（或偶次方根）都是非负数．即a0，a2n≥0（n为正整数）

0(a≥0)．

经典考题赏析

若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．

一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m4与3ml是同一个数的平方根，∴2m4＋3ml＝0，5m＝5，m＝l．

01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____．02．已知m

m的平方根是____．

03

____．

04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____．

（全国竞赛）已知非零实数a、b满足

2a4b242a，

则a＋b等于()

A．－1B．0C．1D．2

有意义，∵a、b为非零实数，∴b20∴a－3≥0a≥3

∵2a4b242a

∴2a4b2

4

2a，∴b20．

∴b20a3

a3b2

0，∴b2，应选C．

0l

b3＝0成立，则ab＝____．

02b32

0，则

a

b

的平方根是____．03．（天津）若x、y

为实数，且x20，则x

2023

的值为（）

y

A．1B．－1C．2D．－204

．已知x

x1

的值是()

A．1

1

1

B．1

C．

1

1D．无法确定

若a

、b

都为有理效，且满足ab1a＋b的平方根．任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无

理数的和、差、积、商（除数不为0

）不一定是无理数．∵ab1

∴ab1a13

ab1，∴b12，

a＋b＝12＋13＝25．

∴a

＋b

的平方根为：5．

01．（XX市竞赛题）已知m

、n2）m＋

(3－n＋7＝0求m、n．

02．（希望杯试题）设x、y都是有理数，且满足方程（

112

3

）x＋（32）y4＝0，

则xy＝____．

若a2的整数部分，b1是9的平方根，且abba，求a＋b的值．

2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分

22

4．∵a＝2，b1＝3，∴b＝－2或4

∵abba．∴ab，∴a＝2，b＝4，即a＋b＝6．

01．若3

a，3

b，则a＋b的值为____．02

a，小数部分为b

a）b＝____．

演练稳定反馈提高

0l．以下说法正确的是()

A．－2是(－2)2的算术平方根B．3是－9的算术平方根C．16的平方根是4D．27的立方根是302

．设ab＝－2

，c，则a、b、c的大小关系是()A．abcB．acbC．bacD．cab03．以下各组数中，互为相反数的是()

A．－9与81的平方根B．4

．4

．3

04．在实数1.414

，0.15

，5

，3.14

()A．2个B．3个C．4个D．5个

05．实数a、b在数轴上表示的位置如下图，则()

A．baB．abC．－a＜bD．－ba

06

＋1

＋1之间的有()

A．1个B．2个C．3个D．4个07．设m

n

＝

2

．则m，n的关系是()

A.m＝nB.m＝nC.m＝－nD.mn

08．（烟台）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为－1

点B关于点A的对称点C，

则点C所表示的数为()

A．－

2．－

1．－2

．l

09．点A

B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在点

A左边，则A、B之间的距离为____．

10．用计算器摸索：已知按一定规律排列的一组数：1

．假使从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b

，如3※2

12.※4＝____．

12．（长沙中考题）已知a、b为两个连续整数，且a

b，则a＋b＝____．

13．对实数a、b，定义运算“*〞，如下a*b＝a2

b

a≥b

ab2

ab

，已知3*m＝36，则实数m＝

____．

14．设a是大于1的实数．若a，

a22a1

3，3

在数轴上对应的点分别是A、B、C

，则三

点在数轴上从左自右的顺序是____．

15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．假使该圆沿数轴

正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．

16．已知整数x、y

x、y．

17．已知2a1的平方根是3，3a＋b1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．

18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60，半径为1个单位长的扇

形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．

19．若b

＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，

求（mn2）(3mn＋4)的平方根与立方根．

20．若x、y为实数，且（xy＋1）2

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01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a3，则a值为(A．2B．－1C．1D．002．

()

A．0B．1

C．1D．203

2的最小值为____．

)

04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋

21

a＋b＝____．05．若ab＝1，且3a＝4b，则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____．06．已知实数a

满足2023aa，则a20232＝_______．07．若m

，试确

定m的值．

08．（全国联赛）若a、b

满足5b＝7，S

＝3b，求S的取值范围．

09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0a1，并且

a

1230a30a330

a2830a293018，求[10a]的值[其中[x]表示不超过x的最大整数]．

10．（北京竞赛试题）已知实数a、b、x、y满足y

1a2，x3y1b2，

求2xy

2ab的值．

第14讲平面直角坐标系（一）

考点．方法．破译

1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．

2．了解点与坐标的对应关系．

3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．

经典．考题．赏析

在坐标平面内描出以下各点的位置．

A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)

从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．

01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，假使m.n＞０，那么（m,|n|）一定在____________象限.03．指出以下各点所在的象限或坐标轴．

A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，1

2

)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)

若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限

∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0,b－１＜0,应选C．

01．若点G(a，2－a)是其次象限的点，则a的取值范围是（）

A．a＜0B．a＜2C．0＜a＜2B．a＜0或a＞202．假使点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．

04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．

已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．

01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．

04．点A(－3，2m－１)关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．假使点Ｍ(a＋b，ab)在其次象限内，那么点N(a，b)关于y轴对称的点在第______象限．

P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．

P(x，y)到x轴的距离是|y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4

01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x轴的距离分别是_________，__________．P

到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．

02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．

03．假使点B(m＋1，3m－5)到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．

04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．

05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．

如图，平面直角坐标系中有A、B两点．(1)它们的坐标分别是___________，___________；

(2)以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为_________；(3)求正方形的其他两个顶点C、D的坐标．

平行x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行y轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB∥x轴，则|AB|＝|x1－x2|；若AB∥y，则|AB|＝|y1－y2|

，则(1)A(2，2)，B(2，－1)；(2)3；(3)C(5，2)，D(5，－1)或C(－1，2)，D(－1，－1)．

01．如图，四边形ACBD是平行四边形，且AD∥x轴，说明，A、D两点的___________坐标相等，请你依据图形写出A、B、C、D四点的坐标分别是_________、_________、____________、____________．

02．已知：A(0，4)，B(－3，0)，C(3，0)要画出平行

四边形ABCD，请根据A、B、C三点的坐标，写出第四个顶点D的坐标，你的答案是唯一的吗？

03．已知：A(0，4)，B(0，－1)，在坐标平面内求作一点，使△ABC的面积为5，请写出点C

的坐标规律．

平面直角坐标系，已知点A(－3，－2)，B(0，3)，C(－3，2)，求△ABC的面积．

(1)三角形的面积＝

1

2

底高．(2)通过三角形的顶点做平行于坐标轴的平行线将不规则的图形割补成规则图形，然后计算其面积．则Ｓ△ABC＝Ｓ△ABD＝Ｓ△BCD＝

1235－1

2

31＝6．

01．在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分

别为A(―3，―1)，B(1，3)，C(2，－3)，△ABC的面积．

02．如图，已知A(－4，0)，B(－2，2)，C,0，－1)，D(1，0)，求四边形ABDC的面积．

03．已知：A(－3，0)，B(3，0)，C(－2，2)，若D点在y

轴上，且点A、B、C、D四点所组成的四边形的面积为15，求D点的坐标．

如下图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观测图中正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2每个正方形四条边上的整点的个数，推算