陕西省咸阳市武功县普集高中高二数学下学期3月第一次月考试题理

PAGEPAGE5陕西省咸阳市武功县普集高中2020-2021学年高二数学下学期3月第一次月考试题理第一卷选择题（共48分）选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，把正确的选项填在答题卡上)1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，……，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123 2．下面使用类比推理恰当的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”D．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”3．用反证法证明命题时，对结论：“自然数中至少有一个是偶数”正确的假设为()A．都是奇数 B．都是偶数C．中至少有两个偶数 D．中至少有两个偶数或都是奇数4．下列求导正确的是()A． B．C． D．5．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则=()A．2B．12C．8D．46．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()A．甲B．乙C．丙D．丁7．用数学归纳法证明1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()A．eq\f(1,2k＋2) B．－eq\f(1,2k＋2)C．eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)D．eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2)8．若函数，则的值是()A．B．C．D．9．函数f(x)＝x2＋eq\f(1,x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．x－y＋1＝0B．3x－y－1＝0C．x－y－1＝0 D．3x－10．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小值为()A．B．C．D．11．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2021(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx12．下列图像中，有一个是函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图像，则f(－1)＝()A．eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．eq\f(7,3)D．－eq\f(1,3)或eq\f(5,3)填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)求函数的单调递增区间是．14．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋eq\f(b,x)(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b＝．15．，计算得，，，，．由此推测，当时，有．16．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为．三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a，b，c∈R且不全相等，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca．18．(本小题满分12分)曲线C：在点(0,1)处的切线为：，在点(3,4)处的切线为：，求曲线C的方程．19．(本小题满分12分)观察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝eq\f(3,4)，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝eq\f(3,4)，sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝eq\f(3,4).分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝alnx＋eq\f(2a2,x)＋x(a>0)．若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直．(1)求实数a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．21．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝eq\f(Sn,n2n－1)且a1＝eq\f(1,3)(n∈N*)．试求：a2，a3的值；由此猜想数列{an}的通项公式an；用数学归纳法加以证明．22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax－eq\f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．普集高中2020—2021学年度第二学期高二年级第1次月考（理科数学）参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，把正确的选项填在答题卡上)1．C2．D3．A4．B5．A6．C7．D8．B9．A10．B11．C12．B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13．；14．；15．f(2n)＞；16．．三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)【证明】法一：(分析法)要证a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca，只需证2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，因为a，b，c∈R，所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.又因为a，b，c不全相等，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0成立.所以原不等式a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca成立.法二：(综合法)因为a，b，c∈R，所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.又因为a，b，c不全相等，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，所以(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.(本小题满分12分)【解析】由已知得两点均在曲线C上，∴∵y′＝3ax2＋2bx＋c，∴f′(0)＝c，f′(3)＝27a＋6b＋c，∴解得d＝1，c＝1，a＝－，b＝1.∴曲线C的方程为y＝－x3＋x2＋x＋1.19．(本小题满分12分)【解析】猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝.证明如下：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝sin2α＋＋sinα＝sin2α＋cos2α－sinαcosα＋sin2α＋sinα·cosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.20．(本小题满分12分)【解析】(1)f′(x)＝－＋1，∵f′(1)＝－2，∴2a2－a∵a>0，∴a＝.(2)f′(x)＝－＋1＝＝，∵当x∈(0，)时，f′(x)<0；当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞)．21．(本小题满分12分)【解析】(1)a2＝()＝，a1＝，则a2＝，类似地求得a3＝.(2)由a1＝，a2＝，a3＝，…，猜想：an＝()().(3)证明：①当n＝1时，a1＝，等式成立；②假设当n＝k时猜想成立，即ak＝()()那么，当n＝k＋1时，由题设an＝()，得ak＝()，ak＋1＝()()，所以Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1)()()＝，Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－.因此，k(2k＋3)ak＋1＝，所以ak＋1＝()()＝()().这就证明了当n＝k＋1时命题成立．由①②可知命题对任何n∈N＋都成立．22．(本小题满分12分)【解析】(1)由7x－4y－12＝0得y＝x－3.当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②由①②得解之得故f(x)＝x－.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知，曲线在