【挑战高考极限】系列之数学6年高考真题2年模拟16第八章第三节空间向量在立体几何中的应用

第三节空间向量在立体几何中的应用

第一部分六年高考荟萃

2010年高考题

一、选择题

1.(2010全国卷2理)(11)与正方体A6CO—A|8IGA的三条棱A3、CQ、片鼻所在

直线的距离相等的点

(A)有且只有1个(B)有且只有2个

(C)有且只有3个(D)有无数个

【答案】D

【解析】直线B：D上取一点，分别作P。：，P。：，P。：垂直于氏D：,B：C,B：A于0：,0；,0：,则

PO：_L平面AC，PO：_L平面B：C,PO：_L平面A：B,0：,0：,0：分别

作。讣一440：一"-CG：Q2一.S,垂足分别为%N,Q,连PM,PN,PQ,由三垂线

定理可得，PN±J1P1=PM1CC1；PQ±AB,由于正方体中各个表面、对等角全等，所以

PO：=PO；=PO：，=，.•.PM=PN=PQ,即P到三条棱AB、CC、AD.所在直线的距

离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.

2.(2010辽宁理)(12)(12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使

这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是

(A)(0,V6+V2)(B)(1,272)

(0(V6-V2,V6+V2)(D)(0,2⑸

【答案】A

【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。

【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有

以下两种情况：(1)地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2,a,a,如图，此时a可

以取最大值，可知AD=百，SD=恭_],则有“2一1<2+百,即

/<8+46=（遥+扬2,即有a<V^+/

(2)构成三棱锥的两条对角线长为a,其他各边长为2,如图所示，此时a>0;

综上分析可知ad(0,V6+V2)

3.(2010全国卷2文)(11)与正方体ABCD—ABCD的三条棱AB、C3、AD所在直线的距

离相等的点

(A)有且只有1个(B)有且只有2个

(C)有且只有3个(D)有无数个

【答案】D

【解析】：本题考查了空间想象能力

•.•到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上,

三个圆柱面有无数个交点，

4.(2010全国卷2文)(8)已知三棱锥S-A8C中，底面ABC为边长等于2的等边三角

形，S4垂直于底面ABC,S4=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为

(A)3(B)旦

44

(0—(D)-

44

【答案】D

【解析】：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。

过A作AE垂直于BC交BC于E,连结SE,过A作AF垂直于SE交S&

SE于F,连BF,.正三角形ABC,E为BC中点，：BC±AE,SA

_LBC,:.8。_1面$皿，二BC±AF,AF±SE,:.AFJ_面SBC,VZ

「屋区

ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3,，AE=73,:一

33

H—sinZABF=—

AS=3,二SE=243,AF=2,/.4

5.(2010全国卷1文)(9)正方体ABCD-AeGQ中，8月与平面AC，所成角的余弦

值为

(A)—(B)—(C)-(D)—

3333

【答案】D

【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，

利用等体积转化求出D到平面AC，的距离是解决本题的关键所在，这也是转殄思想的具体

体现.左

口子\、'、®

【解析1】因为1^/伽|,所以8月与平面人(：2所成角和口口与平面，‘：'、''

由等体积法得匕

IZ

4B

即~Sgs•DO=；SMCD-Z)Z)1.设DD尸a,

2x252

则S0CD=~ACAD.sin60=-x&a)-y-=~'«>AACO=^ADCD=^a.

2i2、，

所以DO=S~\CDDD、==旦

，记DDi与平面AC2所成角为e,则

SMCD[\J3ci~3

_DO_V3、0

sin0——,所以cos3—.

DD,33

【解析2】设上下底面的中心分别为。।,0：。0与平面ACD,所成角就是8片与平面ACDX

所成角，cos/002=需1=1/宗=坐

6.(2010全国卷1理)(12)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则

四面体ABCD的体积的最大值为

(A)迪⑻迪(C)26(D)巡

333

分析：本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，

通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.

解：当异面直线与CD间距离最大，且月BJ.CD时，四面体ABCD的体枳

最大。分别取为B与CD的中点E、F,连结EF,此时球心。在线段E尸上，

且EF=2®（\V..BCD/）H^l&X=3-AB-2k（J2z£=3--2--22-2yl3=—3

7.（2010全国卷1理）（7）正方体ABCD-4gGA中，8g与平面〃、鼻所成角的余弦值为

(B)百

(A)也kD7----©|<0)半

33

分析：本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法.突出转化思想的运用.

察法一：DI\,即求£＞口与面月所成角，易知NDQO即为所求，cosZZ）qO=^=y.

解法二：也可利用等体积转化，求出D到平面4困的距离d=ga求解.故选D.

8.（2010四川文）（12）半径为R的球。的直径AB垂直于平面。，垂足为8,ABC。是

平面a内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与

球面交于点M、N,那么M、N两点间的球面距离

是

(1)Rarccos——(B)Rarccos—

2525

4

(C)-7TR(〃)一7lR

315

【答案】A

2

【解析】由已知，AB=2R,BC=R，故tan/BAC=

2

cosZBAC—2占

5

连结0M,则△如"为等腰三角形

4J54.J5

A^2A0cosABAC=R,同理力及=二一R,旦CD

55

而AC=亚&CD-R

故就MCgAN:AC

4八

nMN=-R,

5

连结。M、ON,有0M=0N=R

OM2+ON2-MN217

于是cos/MON=

20MON25

~17

所以M、N两点间的球面距离是Rarccos—

25

二、填空题

1.（2010江西理）16.如图，在三棱锥0—A6C中，三条棱04,OB,

。。两两垂直，且0A>03>0C,分别经过三条棱。A,OB,。。作

一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为St,S2,S.,则S,,S2,j

S3的大小关系为

【答案】S3<S2<S,

【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体睑证结论,

特殊化，令边长为1,2,3得S3<S2<S］。

2.（2010北京文）（14）如图放置的边长为1的正方形PABC

沿x轴滚动。

设顶点p（x,y）的纵坐标与横坐标的函数关系是C------

y=/（x）,则/（x）的最小正周期为；

直P/X

y=f（x）在其两个相邻零点间的图像与x轴

所围区域的面积为。

【答案】4乃+1

说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚

动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转,

如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。

3.（2010北京理）（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x

轴滚动。设顶点p（X,y）的轨迹方程是y=/（x）,则/（X）的

最小正周期为；y=f（x）在其两个相邻零点间的图

像与X轴所围区域的面积为

【答案】47+1

说明：“正方形必回沿力轴滚动”包括沿力轴正方向和沿力轴负方向滚动。沿力轴正方向

滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点6落在力轴上时，再以顶点B为中心顺

时针旋转，如此继续。类似地，正方形为8c可以沿力轴负方向滚动。

4.（2010四川文）（15）如图，二面角0-/—£的大小是60°,线段ABue.Bel,

AB与/所成的角为30°.则A3与平面夕所成的角的正弦值是.

【答案】—

4

【解析】过点/作平面£的垂线，垂足为G在£内过6•作/的垂线.垂足为。

连结4。，有三垂线定理可知力〃，/,故为二面角a-/-夕的平面角，为60°

又由已知，ZABD=30°连结能则况为A8与平面力所成的角

设42=2,贝IJ4C=6，CD=\

正得=4

ACV3

sinZABC=——=—

AB4

5.（2010湖北文数）14.圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个相同

的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所

示），则球的半径是——cm.

【答案】4

【解析】设球半径为r,则由3%+1/水田V可得3xg7rr+7rr2x8=Ttr1x6r,

解得r=4.

6.（2010湖南理数）13.图3中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图,

则h-cm.

【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，此三棱锥的底面为直角三角形，直角边长分别为

5cm、6cm：三棱锥的高为hcm〃

则三棱锥的体积为V=±.：5・6坊=20,解得h=4（cw）p

【命题意图】本题考查简土几何体的三视图，三棱锥的体积，考察空间想象能力:属中档题，

7.（2010湖北理数）13.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个

相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如

图所示），则球的半径是cm。

【答案】4

A

【解析】设球半径为r,贝曲3%；+V■水后V可得3X］乃/*8=万,*6厂，

解得r=4.

8.（2010福建理数）

12.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于

第12题图

【答案】6+273

【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2,高为1的正三棱柱，所以底面积为

2x—X4=2V3,侧面积为3x2x1=6,所以其表面积为6+26。

4

【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本

能力。

三、解答题

1.（2010辽宁文）（19）（本小题满分12分）

如图，棱柱ABC-AgG的侧面BCG用是菱形，

（I）证明：平面AB.C1,平面AIG:

（II）设。是4G上的点，且A、BH平面B,CD,求

AtD:0G的值.

解：（I）因为侧面BCCB是菱形，所以BCJ.BG

又已知51C_LG5,且AI3cBC|=B

所又B|Cd.平面ABC,又B|Cu平面ABE,

所以平面AB/J_平面NBG.

（II）设BG交BQ于点E,连结DE,

则DE是平面A.BCi与平面B.CD的交线，

因为AJB〃平面B£D,所以AB〃DE.

又E是BG的中点，所以D为AC的中点.

BPA>D：DC（=1.

2.（2010辽宁理）（19）（本小题满分12分）

已知三棱锥P-ABC中，PA1ABC,AB±AC,PA=AC=^B,

为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.

（I）证明：CM±SN；

（II）求SN与平面CMN所成角的大小.

证明：

设PA=1,以A为原点，射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如

4分

——1—11

(I)=

222

—­—■11

因为CM・SN=——+—+0=0,

22

所以CM_LSN……6分

—.1

(II)?7C=(--,l,0),

设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量，

x-y+-z=0,

贝M2令X笔a=(2,1,-2).9分

x+y=0.

12■

因为cos《,SN|=4=2

3x--

2

所以SN与片面CMN所成角为

45°o-・・・•12分

3.（2010全国卷2文）（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC-A|B|C|中，AC=BC,AA,=AB,D为BB1的中点，E为AB】上的一

点,AE=3EB]

（I）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线：

（II）设异面直线AB】与CD的夹角为45。，求二面角A।-AC「B]的大小

【解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基

础知识。

（1）要证明DE为AB1与CD的公垂线，即证明DE与它们都垂直，由AE=3EB1,有DE与BA1

平行，由A1ABB1为正方形，可证得，证明CD与DE垂直，取AB中点F。连结DF、FC,证

明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直。

（2）由条件将异面直线ABI,CD所成角找出即为/FDC,设出AB连长，求出所有能求出的

边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。

4.（2010江西理）20.（本小题满分12分）

如图ABCD与AMCD都是边长为2的正三角形，平面MCD_L‘卜、

平面BCD,AB,平面BCD,A8=\

（1）求点A到平面MBC的距离；'

（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。火”]

【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形:V，

的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考

查了空间想象能力和推理能力

解法一：（1）取切中点0,连阳OM,则如LG9,

。匕切.又平面MCOJ_平面BCD,则加平面BCD,所以加A

//AB,4、B、0、材共面.延长4V、加相交于反贝1叱4必就是4"/\\\

与平面比®所成的角.龙〃板M0〃面ABC,M、0到/\

平面ABC的距离相等，作0H_LBC于H,连MH,则MUBC,求得：，…卜二二库

F

0Hg侬邛•半利用体积相等得：V……"号

(2)以是平面ACM与平面BCD的交线.

由(1)知，。是储的中点，则反右9是菱形.

作应UEC于凡连〃则"'，/N//就是二面角｛-£06的平面角，设为仇

因为N8C层120°,所以N5C户60°.

BF=BC-sin60°=V3,

tan^=—=2,sin0=-

BF5

n[c

所以，所求二面角的正弦值是王

5

【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊

位置的元素解决

解法二：取切中点。，连/，0M,则0BA.CD,0MLCD,又平面MCO_L平面BCO,

则加工平面BCD.

以。为原点，直线0C、BO、QV为x轴，y轴，z轴，建立空间直

角坐标系如图.

0斤。后6，则各点坐标分别为0(0,0,0),<7(1,0,0),M

(0,0,6),B(0,-也,0),A(0,-6，26)，

(1)设Z=(x,y,z)是平面MBC的法向量，则氏=(1,6,0)，

丽=(0,6,6),由前得x+6y=0；由3,丽得

Qy+Gz=0；取7=(行,—1,1),丽=(0,0,2月)，则距离

,\BA-n\2>/15

a==-----

HI5

(2)GW=(-1,0,73),C4=(-l,-73,273).

—[n.LCM[-x+V3z-0

设平面然力的法向量为〃।=(x,y,z)，由_得〈厂l.解得

[4_LCA-%-J3y+2j3z=0

z

x=JJz,y=z>取勺=(^,1,1).又平面BCD的法向量为〃=(0,0,1),则

---n,-n1

cos<n,,n>=,।|_7=

N-HVs

设所求二面角为。，则sin6=

【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于

建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计

算必须慎之又慎

5.(2010重庆文)(20)(本小题满分12分，(I)小问5分，(H)小问7分.)

如题(20)图，四棱锥P—ABCO中，底面ABCO为矩形，PA_L底面A8CO,

尸4=48=7份，点£：是棱/>8的中点.

(I)证明：AE_L平面PBC；

(H)若AO=1,求二面角6—EC-。的平面角的余弦值.

解法一：*

(1)证明:如若(20)图I,由P4J.底面.488,得/MJ,A8.又H\\

4=48,故A/M8为等3?直角三箱形,而点£此棱夕8的/\\

中点，所以4££PB.介\

由睡意知BC-48.乂48是P8在面ABCD内的射影.由三/:篡》。

垂线定理得BC±PB,从而BC±平面PAB,故HCLAE.

因1.尸B,4EJ.8C,所以/<EJ.平面P8C.H

答(20)图1

(11)解：由(])知8CJ■平面PAZt又4。〃8C.flM0_L平面AM8,故仙J.dE.

在Rt^PAB中心=AB=&"£=-J-PJB=；/PA1+AB1=I.

从而在《△加£中,DE=VAE2+AD1>".

在["△CbE中,CE=TSP+B«./L又CDaG,所以ACER为等边三角形.

取CE的中点已连接8.则DP±CE.

因3E=BC=I.旦8CJ.则△EBC为等腰直角三角形，连接8f•，则BF±CE.

所以48F。为所求的二面角的平面角.

融BD.tEAflFD中.DF=33吟*.BF=-1-C£吟.RD=，更+Ctf=>g.

所以《BFD=吟黑兽二_冬

2••nF3

故二面角B-EC-D的平面角的余弦值为-季.

解法二：

(I)证明:如答(20)图2.以4为坐标原点.射就八8HMp分别为,轴/轴/轴正半轮.建

立空间直角坐标系4-*yz.

设m0,明0).则氏&.0.0),C(7T,a,0),

40.0.6),月停,0,纾

于是掂-停,。.纵武

(O.a.O).

无=(点

则茂•就・0,谑•Pt・0,所以4£J.平面P8c.

(U)解:设平面BEC的法向最为名，由(I)知MEJ.平网

BEC,故可取叫=或・(-^,0,-塔.

设平面。£。的法向量%■(为,力,勺)，则%•就=0.

答(20)图2

n2•m=0.

m1x5I=i,得0(0.1.O),c(",I.O).

r*j00,

从而比=(^.0,0),这=(冬_I阴.故万历所以叼=0,马二岛.

号巧・%+圣2・°，

可取力=1,则，=(0,1.

从而cos〈S,，F>=1%：I=-g.

I«I!,|«1I3

所以二面角H-EC-D的平面角的余弦值为•

6.(2010浙江文)(20)(本题满分14分)如图，

在平行四边形ABCD中，AB=2BC,ZABC=120°。

出20。)

E为线段AB的中点，将4ADE沿直线DE翻折成AA'DE,使平面A'DE_L平面BCD,F为线

段A'C的中点。

（I）求证：BF〃平面A'DE；

（ID设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A'DE所成角的余弦值。

（|火妒T&C.iftACF.W：.由条件垮局

ECffTJi.FC-

..I1.

Rf.licn.iif.7m.

所以FS/RE.FG=HE.贝岭姿

故内功彬砥力四边形./峙

碑典启C+前4’"E."a+而祗哈爵,

.所以〃干卤*"£

（n；M：A门泗边形awe”中•武州：-明

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内力〃£2AVrW.

所以v/平由*"£.

则4>W为ft或FM*;fNDE所成你，

（（RiAA'.W,|'.'>>=sv«.W-Y--,e.F\1s«,

W.-«/TuWY-y.

“所VIff*4>.whfr*i所成角的余弦仇为

7.（2010重庆理）（19）（本小题满分12分（I）小问5分，（II）小问7分）

如题（19）图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PAJ_底面ABCD,PA=AB=C，点E

是棱PB的中点。

（I）求直线AD与平面PBC的距离；

（II）若AD=6,求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。

（I）如答（19）图1,在矩形A8C0中从而40〃平

面P8C,故直线与平面PBC的距离为点4到平面P8C

的距离.

因PAJ.底面4BC0,故P4J.48,由P4=48知4尸48为

等腰直角三角形，又点E是棱P8的中点，故4E1PB.又

在矩形48CD中,8CJ.48,而48是PB在底面4BCD内的

射影，由三垂线定理得8CJ.PB,从而8c1平面R4B,故

BC1AE.从而AE1平面PBC,故AE之长即为直线A0与

答(19)图1

平面PBC的距离.

在Rt△尸48中,PA=AB=历，所以AE=yPfi=y，PR：+4序=0

（口）过点。作OF_LC£,交CE于尸，过点F作FC_LCE,交4C于G,则4OFG为所求的

面角的平面角.

由（I）知8C_L平面PAB,又4。〃BC,得4。J.平面PAB,故AD上AE,从

DE=y/AE2+AD1=>/6.

在Rt^CBE中,CE=JB仃+BC2=而由CD=而，所以ACDE为等边三角形，故F

为CE的中点，且。尸=CD-sin=挈.

因为4E1平面P8C,故4E1CE,又FG1CE,知FC幺%：,从而FC=冬且C点

为AC的中点.

连接0C,则在RtZUOC中,0C=9c=-yVAD2+CD2=之.

而innirrDF2+FC1-DC2J6

所以COBDFC=2-DF-FG=3-

解法二：

（I）如答（19）图2,以4为坐标原点，射线48、40、4P分

别为了轴、y轴、z轴正半轴,建立空间直角坐标系4-

xyz.

设0（0,a,0）,则8（西,0,0）,C（A,a,0）,

P（0,0,笈），E（知，纵

因此荏=（知净，觉=（0,a,0）,

同=（而,%-府,答（19）图2

则於•麻=0,求•同=0,所以4E±平面PBC.

又由4。〃8c知40〃平面P8C,故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的

距离,即为|茂|=6.

（口）因为I力1=75■.则0（0,60）/（630）.

设平面4EC的法向量？=（工|,力，4）.则叫•比=0,nt•AJ=0.

又n=（隔6,0）,求=停0.纵故

所以力=一任1，Z1=_々.可取勺=_6,则"|=.

设平面OEC的法向量%=(町,力吊)，则%•或=0皿•应=0.

产2=0.

又成=(历,0,0),励=(疸,_6,故

，冬2-匹+冬2=0.

所以x2=0,Zj=Jly7.可取y2=1,则n2=(0,1,7?).

故M,……＞=而R\印•叫订=了屈.

所以二面角A-EC-0的平面角的余弦值为亨.

8.(2010北京文)(18)(本小题共14分)

设定函数/。)=1/+"2+以+火。＞0),且方程f(x)—9x=0的两个根分别为1,4。

(J)当a=3且曲线y=/(x)过原点时.，求/(x)的解析式；

(II)若“X)在(一8,+00)无极值点，求a的取值范围。

解：由/(x)+旅+cx+d得f'(x)=ax2+2bx+c

因为/'(x)—9x=aY+2bx+c—9x=0的两个根分别为1,4,所以《

16a+8b+c—36=0

2Z?+c-6=0

(I)当。=3时，又由(*)式得＜

8b+c+12=0

解得b=-3,c=12

又因为曲线y=/(x)过原点，所以4=0

故/(x)=x3-3x2+12x

(II)由于a>0,所以“/(X)=]x3+/jx2+cx+d在(-8,+oo)内无极值点”等价于

uf'(x)=ax2+2bx+c>0^&+°°)内恒成立

由(*)式得2/?=9-5〃,c=4。。

又A=(26)2_4a。=93_])(“_9)

a>0

解4得ae[1,9]

△二9(。-1)("9)(0

即a的取值范围[1,9]

9.(2010北京理)(16)(本小题共14分)

如图，正方形/腼和四边形4口所在的平面互相垂

直，CE±AC,EF//AC,AB=yll,CE=EF=1.

(I)求证：AF〃平面BDE；

(II)求证：皿平面切氏

(HI)求二面角跖-〃的大小。

证明：(I)设AC与BD交与点G。

因为EF//AG,且EF=1,AG=-AC=1.

2

所以四边形AGEF为平行四边形.

所以AF〃平面EG,

因为EGu平面BDE,AF<Z平面BDE,

所以AF〃平面BDE.

(II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面

相互垂直，且CE_LAC,

所以CEJ_平面ABC1).

如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-X”.

则C(0,0,0),A(V2,V2,0),B(0,V2,0).

——.x/2J2—■

所以"=(三万，D，BE

DE=(-72,0,1).

所

CF8E=0—1+1=0,CFOE=—1+0+1=0

所以CFLBE,CFVDE.

所以C/J.BDE.

（Ill）由（ID知，而=（当，孝

,1）是平面BDE的一个法向量.

设平面ABE的法向量n=(x,y,z)，则〃8A=0,nBE=O.

即J(x,y,z)(心,0,0)=0

'](x,y,z)。一@1)=0

所以x=0,且z=

令y=1,则z=yf2.

所以〃二（0,1,力）.

从而cos（n,CF）="上=—。

\n\\CF\2

因为二面角4—BE—。为锐角，

7T

所以二面角A-BE-。的大小为一.

6

10.（2010广东文）18.（本小题满分14分）

如图4,弧AEC是半径为。的半圆，AC为直

径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段

AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC1

平面BED,FB=V5tz

（1）证明：EB1FD

（2）求点B到平面FED的距离.

（1）证明：•.•点E为弧AC的中点

又「FC，平面BED,BEe平面BED

FC±BE

又•.•FC、ACe平面FBD,FCnAC=C

二平面

BE_LXFAABAA/SDAz

•.•FDe平面FBD

VWS/'

wEvBw.IFD

(2)解：FC=YBK-BC。=《5『-a2=2a

^sRtEBD=5BE,BD=—a-2a=a~

在RtSFBE中,FE=-JBE2+BF2=

由于：FD=ED=吗

所以S皿=g庄-%=?、须X3/-(隼)2=字标

由等体积法可知：

T^SRtEBD•FC=-S阪E'八

33

pn2、A/2122,4721

即a-la=-------a•h=h=-------a

21

即点B到平面FED的距离为当la

11.（2010福建文）20.（本小题满分12分）

如图,在长方体ABCD-ABCD中，E,H分别是棱AB,DC上的点（点E与口不重合）,

且EH〃AD。过EH的平面与棱BBi,CC相交,交点分别为F,G。

（I）证明:AD〃平面EFGH；

（H）设AB=2AAi=2a。在长方体ABCD-A,B,CiD,内随机选取一点，记该

点取自于几何体AiABFE-DQCGH内的概率为p。禁E,F分别在棱AB,

BB上运动且满足EF=a时，求p的最小值。

20.本小题主要考直直缕与直线・直线与平面的位置关系,以及几何体的体积.几何慨型等

一—知识,一一室间想象能力、推理论证为力、运算求解能力.学荏函数与方程思想、

,，：”.、化1厅与转化思想、必然与或然思想不♦分12优

解法一:

I)一叫：仆长与体ABCDA]B：CiDj«|'.ADA：Dt.

乂•.•EH'.'AiDi，AD：EH

•••.IDZTIHIEFGH，

EHUT讶EFGH.

，AD1EFGH.

.n>设BC=b,则

长疗伟ABCDA]B；C>Di的体机V=AB-AD•AA】=2/6.

儿何体EBiFHOC的体积匕=(y£5.B,F)4cl=^EB.B}F.

•:EB：-BF=/.

:.EB-B,FS鱼凸以上.

1122

-'ill仅＞EBX=只尸=上。时等号成立.

2,

从血，,

4

a-b

故p=1-->1--4—=--

V2a2b8

不

\I"'［工4=写尸=三。力

7

所以，p的最小值等J

12.（2010湖南理）

18.（本小题满分12分）~

如图5所示，在正方体ABCD-AiBiCiD：中，E是棱DDI的中点.“

（I）求直线BE与平面ABB；A：所成的角的正弦值；"

（»盛棱弓。上是否存在一点八使B：F平面A：BE?证明你的结论."

图5~

【解析】，

解法1设正方体的棱长为1，如图所示，以商，力,而为单位正交基底建立空间直角坐

标系."

(I)依题意，得B(1,0.0),E(0,(0,0.0),D(0,1.0),所以.

—1___

5£=(-1,1,-),.10=(0.1,0),在正方体ABCD-AiBiCQi中，因为AD_L平面ABB；A”~

所以AD是平面ABB：A：的一个法向量.，

设直线BE与平面ABB】A］所成的角为心则.

.&\BE^AD12

sina=—■一一--=-=—=—

2X13

2

即直线BE与平面ABB】A所成的角的正弦值为二•.

3

(II)依题意，得A】(0,0,1),=(-1,0,1),3E=(-LL」)~

2

设n=(x,y,z)是平面A：BE得一个法向室，则由1>,艮4=0,n»5£=0>得，

所以x=z，r=：z,取z=2,得n=(2J,2)―

设F是授CD1上的点,则F«1,1)gWl),又Bi(1,0,1),所Uh

—

后=(r-LLO),而4F<z平面A】BE,于是.

81「//平面43£=享・!1=00«-1,150>(2,1,2)=0=2«-1)+1=0,

=r=白=尸为GD的中点。这说明在在棱C】D：上是否存在一点F(CP1的中点),使

B-F平面A：BE~

解法2如图(a)所示，取AA