第十三讲统计学讲义

第十三讲统计学讲义第1页，共30页，2023年，2月20日，星期二一、假设检验问题什么是假设检验问题？我们先看几个简单的例子。例6.1.1在超市上出售的某种品牌方便面，按规定每袋净重少于100克的比例不得超过1%。技术监督部门从某超市的货架上任意抽取200袋该种品牌的方便面，经检验发现有3袋重量少于100克，试问：该超市出售的这种方便面是否符合质量标准。在本例中，在超市上出售的这种方便面的不合格率是未知的，我们关心的问题是，如何根据样本的不合格率p=1.5%,来判断：在超市上出售的这种方便面的不合格率P≤1%是否成立。

第2页，共30页，2023年，2月20日，星期二例6.1.2

按照质量标准，某种导线的平均拉力强度为1200公斤，一批导线在出厂时抽取了100根进行检验，测得的平均拉力强度为1150公斤，试问：这批导线的平均拉力强度是否符合质量标准。

在本例中，即将出厂的这批导线的平均拉力强度是未知的，我们关心的问题是，如何根据样本的平均拉力强度公斤来判断：这批导线的平均拉力强度是否成立。第3页，共30页，2023年，2月20日，星期二例6.1.3

某大型综合商场通过随机调查200名顾客，欲研究顾客的性别与顾客的购物金额之间是否存在一定的相关性。

在本例中，假设用随机变量X表示顾客的性别，用随机变量Y

表示顾客的购物金额，他们之间可能有关系，也可能没有关系。我们关心的问题是，如何根据200名顾客的性别与购物金额的样本数据来判断：随机变量X与Y是否相关。从上面3个例子可以看出，假设检验问题是先要对总体的参数、总体的分布或总体的特征作出某种假设，然后利用样本数据去检验这个假设是否成立。第4页，共30页，2023年，2月20日，星期二二、原假设和备择假设对于假设检验问题，首先需要提出一个统计假设，记为H0，称为原假设，也称零假设或基本假设，另一个记为H1，称为备择假设，也称备选假设或对立假设。例如上面3个例子的统计假设分别为:H0:P≤0.01;H1：P＞0.01H0:;H1：H0:随机变量X与Y独立；H1：随机变量X与Y不独立。第5页，共30页，2023年，2月20日，星期二关于总体参数的假设称为参数假设，否则，称为非参数假设。例如，例6.1.1、例6.2.2是参数假设，例6.1.3是非参数假设。完全决定总体分布的假设称为简单假设，否则，称为复合假设。例如，“H：总体服从标准正态分布”和“H：p=0.05”是简单假设；“H

：总体服从正态分布”和“H

：

p≠0.05”是复合假设。第6页，共30页，2023年，2月20日，星期二三、假设检验的基本原理进行假设检验的基本原理就是小概率原理。小概率原理是说概率很小的事件（称为“小概率事件”）在一次试验中几乎是不可能发生的。根据小概率原理进行假设检验的方法就是概率意义下的反证法，其思想是：为了检验原假设H0是否正确，我们首先假定“H0正确”，然后来看在H0是正确的假定下能导出什么结果。如果导出一个与小概率原理相矛盾的结果，则说明“H0正确”的假定是错误的，即原假设H0不正确，于是我们应作出否定原假设H0的决策；如果没有导出与小概率原理相矛盾的结果，则说明“H0正确”的假定没有错误，即不能认为原假设H0是不正确的，于是我们应作出不否定原假设H0的决策。第7页，共30页，2023年，2月20日，星期二基本原理图示小概率原理：如果对总体的某种假设是真实的，那么不利于或不能支持这一假设的事件A（小概率事件）在一次试验中几乎不可能发生的；要是在一次试验中A竟然发生了，就有理由怀疑该假设的真实性，拒绝这一假设。总体（某种假设）抽样样本（观察结果）检验（接受）（拒绝）小概率事件未发生小概率事件发生第8页，共30页，2023年，2月20日，星期二例如，有一个厂商声称其产品的合格率高达99%，那么从100件产品中随机抽取1件，经检验它恰好是次品的可能性就很小，因为抽中次品的概率仅为1%，是一个小概率事件。但如果在一次抽取中抽到了次品，那么我们就有理由怀疑该厂商的声称，认为合格率高达99%是不真实的，就可以作出厂商的声称是假的推断。当然，我们也可能推断错了，即产品的合格率确实是99%，100件产品中确实仅有1件次品，而在这次抽取中恰好被抽到了。第9页，共30页，2023年，2月20日，星期二事件的概率小到什么程度才算小概率事件，没有一个绝对的标准，要根据具体问题而定，一般概率为0.10、0.05或0.01的事件，就可以认为是小概率事件。第10页，共30页，2023年，2月20日，星期二四、否定域和接受域第11页，共30页，2023年，2月20日，星期二图6.1.1第12页，共30页，2023年，2月20日，星期二五、假设检验的两类错误在进行假设检验时，可能出现4种情况：

1.当H0为真时，检验统计量的值落在接受域里，这时应作出接受H0的决策；

2.当H0为真时，检验统计量的值没有落在接受域而落在否定域里，这时应作出否定H0的决策；

3.当H0为非真时，检验统计量的值落在接受域里，这时应作出接受H0的决策；

4.当H0为非真时，检验统计量的值没有落在接受域而落在否定域里，这时应作出否定H0的决策。显然，在第1、4两种情况下，作出的决策是正确的，在第2、3两种情况下，作出的决策是错误的。第13页，共30页，2023年，2月20日，星期二第14页，共30页，2023年，2月20日，星期二第15页，共30页，2023年，2月20日，星期二第16页，共30页，2023年，2月20日，星期二第17页，共30页，2023年，2月20日，星期二六、假设检验一般步骤根据具体问题的要求，建立总体假设H0，H112选择统计量确定H0为真时的抽样分布3给定显著性水平α，当原假设H0为真时，求出临界值。计算检验统计量的数值与临界值比较4第18页，共30页，2023年，2月20日，星期二假设检验的一般步骤：（一）根据所研究问题的要求，提出原假设H0和备择假设H1

。第19页，共30页，2023年，2月20日，星期二原假设和备择假设的选取说明假设检验是控制犯第一类错误的概率，所以检验本身对原假设起保护的作用，决不轻易拒绝原假设，因此原假设与备择假设的地位是不相等的，正因为如此，常常把那些保守的、历史的、经验的取为原假设，而把那些猜测的、可能的、预期的取为备择假设。比如：对于双侧检验，这选择问题应该比较简单，一般都是“是不是”、“等不等于”和“变没变”这一类的问题，一般我们期待的结果多为“不是”、“不等于”和“变了”这样的结果，所以把不等号的设为备择假设的。对于单侧检验，一般都是“增加了”、“提高了”或“减少了”、“降低了”这一类问题，比如某产品的在使用了新技术生产后，问产品质量是否提高了，我们期待的结果是提高了，这样就把大于号定为备择假设，相反的小于等于号定为原假设。第20页，共30页，2023年，2月20日，星期二（二）选择统计量确定H0为真时的抽样分布第21页，共30页，2023年，2月20日，星期二(三)给定显著性水平α，当原假设H0为真时，求出临界值。第22页，共30页，2023年，2月20日，星期二第23页，共30页，2023年，2月20日，星期二（四）计算检验统计量的数值与临界值比较第24页，共30页，2023年，2月20日，星期二几种常见的假设检验总体均值的检验条件检验统计量Z拒绝域H0、H1(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0

z(2)H0：μ=μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ=μ0H1：μ＜μz0z01.大样本σ2已知或未知；2.小样本正态总体σ2已知或第25页，共30页，2023年，2月20日，星期二总体均值的检验条件检验统计量t拒绝域H0、H1(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0

t(2)H0：μ=μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ=μ0H1：μ＜μt0t00正态总体σ2未知(n＜30)第26页，共30页，2023年，2月20日，星期二【例6－1】上次普查资料显示某市人均居住面积为7.6平方米,现从该市中随机抽取500人,调查并计算得平均居住面积为7.8平方米,标准差为1.5平方米,问在0.01的显著性水平下,能否认为该市人均居住面积有所增大?第27页，共30页，2023年，2月20日，星期二解：第28页，共30页，2023年，2月20日，星期二【例6－2】某贸易公司用自动装