第十七章定量分析的误差和分析结果的数据处理

第十七章定量分析的误差和分析结果的数据处理第1页，共58页，2023年，2月20日，星期一第十七章定量分析的误差和分析结果的数据处理

学习要求★

掌握有效数字的意义及其运算规则，可疑值的取舍方法。★

理解定量分析误差产生的原因及表示方法。★

了解提高分析结果准确度的方法。★掌握分析结果有限实验数据的处理方法。★*

了解实验数据统计处理的意义。第2页，共58页，2023年，2月20日，星期一§17-1有效数字一、有效数字有效数字是实际能测量得到的数字。它由一个数据中所有的确定数字再加一位不确定数字组成。数字的保留位数由测量仪器的准确度决定。实验数据应包含两个内容：

1、反映所测定的量是多少；

2、反映数据的准确度。第3页，共58页，2023年，2月20日，星期一例1：滴定管读数，甲读为23.43ml乙读为23.42ml丙读为23.44ml

前三位数字是准确的，第四位是不确定的数值，有±0.01的误差。有效数字中只允许保留一位不确定的数字。例2：指出下列各数字的有效位数。

1.22580.22580.00220.2200第4页，共58页，2023年，2月20日，星期一有效数字的记位规则记录的仪器能测定的数据都记位关于数据中“0”的规定分析化学计算中的分数倍数关系、对数值第5页，共58页，2023年，2月20日，星期一有效数字的保留原则：必须与所用的分析方法和使用仪器的准确度相适应。例：分析天平称准0.5g记为：0.5000g台秤称取0.5g记为：0.5g量筒量取20mL溶液记为：

20mL滴定管放出20mL溶液记为：20.00mL例：0.4252g1.4832g0.1005g0.0104g15.40mL0.001L4位5位4位3位4位1位第6页，共58页，2023年，2月20日，星期一

数据中的“0”有以下规定：1、有效数字中间的“0”是有效数字。2、有效数字前面的“0”不是有效数字。

（只起定位作用）3、有效数字后面的“0”是有效数字。

改变单位并不改变有效数字的位数。当需要在数的末尾加“0”作定位时，最好采用指数形式表示，否则有效数字的位数含混不清。第7页，共58页，2023年，2月20日，星期一如重量为25.0mg（3位），若以微克为单位，应表示为2.50×104（3位）。若表示为25000，就易误解为5位有效数字。改变单位并不改变有效数字的位数。第8页，共58页，2023年，2月20日，星期一注意：pH,pM,lgK等有效数字取决于小数部分的位数，因整数部分只说明该数的方次。例如：pH=12.68[H+]=2.1×10-13mol/L还有一点要注意：对于整数参与运算，如：6，它可看作为1位有效数字；又可看作为无限多个有效数字：6.000……。一般以其它数字来参考。第9页，共58页，2023年，2月20日，星期一有效数字的修约和计算规则修约规则在运算中除应保留的有效数字外，如果有效数字后面的数小于5（不包括5）就舍去，如果大于5（不包括5）就进位，若等于5：5后没有数字（或有0），看前位数：奇进1，偶（包括“0”）舍，不进位；5后面有不为0的任何数，不管5前面是奇数还是偶数都进。

“四舍六入五成双”

（5后面没有不为0的数字）第10页，共58页，2023年，2月20日，星期一

例如：0.24684→0.24680.57218→0.5722101.25

→101.2101.15→101.20.0550

→0.06（5后面数字为0，看前面）7.06253→7.063(5后面数字不为零时，不管5前面是奇是偶都进)总之：采用小于5舍，大于5进，等于5则按单双的原则来处理。第11页，共58页，2023年，2月20日，星期一

数据运算规则1、加减法以各数中小数点后位数最少者为准。即以绝对误差最大的数字的位数为准。（向离小数点最近者看齐）例：

50.1+1.45+0.5812=?

原数绝对误差

50.1±0.11.45±0.010.5812±0.0001修约为

50.11.40.6+)52.1312±0.152.1第12页，共58页，2023年，2月20日，星期一2、乘除法是以有效数字最少的作为保留依据。即以相对误差最大者的位数为准。（向有效位数最少者看齐）。例：

0.0121×25.64×1.05782=?第13页，共58页，2023年，2月20日，星期一0.0121×25.6×1.06=0.328实际运算中可多保留一位“完全数字”。如

5864÷4.7=?修约后5.9×103÷4.7=1.255×103

=1.3×103

若仍以4.7为准多保留一位，则为：

5.86×103÷4.7=1.246×103

=1.2×103

显然，后者更合理。第14页，共58页，2023年，2月20日，星期一3、对于高含量组分（如>10%）的测定，一般要求分析结果有4位有效数字；对于中含量组分（1%～10%），一般要求3位有效数字；对于微量组分（<1%），一般只要求2位有效数字。第15页，共58页，2023年，2月20日，星期一§17-2定量分析误差产生及表示方法17.2.1绝对误差和相对误差

分析结果与真实值之间的差值称为误差。误差可以分为绝对误差和相对误差。分析过程中误差是客观存在的。绝对误差：测定值（x）与真实值（xT）之差，用E表示：E=x–xTE=–xT第16页，共58页，2023年，2月20日，星期一

误差越小，准确度就越高，所以误差的大小是衡量准确度高低的尺度，表示测量结果的准确性。例：用分析天平称取两物体的重量分别为2.1750克和0.2175克，假定二者的真实重量各为2.1751克和0.2176克，则两者的绝对误差分别为：第17页，共58页，2023年，2月20日，星期一E1=x1–xT

=2.1750–2.1751=–0.0001（克）E2=x2–xT

=0.2175–0.2176=–0.0001（克）

分析结果的准确度用相对误差（ER）表示：相对误差是绝对误差占真值xT

的百分率，即ER=E/xT×100%=（x–xT）/xT×100%上述例子绝对误差脱离了重量关系，而相对误差可以用来比较不同情况下测定结果的准确度，更具有实际意义。第18页，共58页，2023年，2月20日，星期一

上述例子两者的相对误差为：ER1=E1/xT1×100%=-0.0001/2.1751×100%=-0.005%ER2=E2/xT2×100%=-0.0001/0.2176×100%=-0.05%相对误差越小，准确度越高；绝对误差相等不等于相对误差也相等；往往用相对误差来比较各种情况下测定结果的准确度。第19页，共58页，2023年，2月20日，星期一正误差：x>xT

负误差：x<xT③、绝对误差和相对误差都有正和负之分。从上例看出：①、被测物质越重（或被测物质含量越大），ER

越小,准确度高，越可靠；反之，准确度低，不可靠。②、要求的相对误差相同时，测量值越大，允许的绝对误差越大第20页，共58页，2023年，2月20日，星期一一、系统误差

系统误差也叫可测误差，它是定量分析误差的主要来源，对测定结果的准确度有较大影响。它是由于分析过程中某些确定的、经常的因素造成的，对分析结果的影响比较固定。特点:

重现性、单向性、可测性。可通过适当的校正来减小或消除。

根据误差的性质与产生的原因，可将误差分为系统误差和随机误差（偶然误差）两类。17.2.2系统误差和随机误差第21页，共58页，2023年，2月20日，星期一

产生原因和消除方法：1、方法误差：（比较严重）原因：分析方法本身不够完善造成的。例：重量分析中的沉淀溶解或吸附杂质。在滴定分析中反应不完全，副反应等。消除方法：作对照试验，用已知组分的标准试样进行多次测定。通过校正系数校正试样的分析结果。标准试样测定值标准试样标准值校正系数=第22页，共58页，2023年，2月20日，星期一2、仪器和试剂误差：

原因：仪器不准、试剂不纯引起的误差。如：分析天平砝码重量不准，滴定管、移液管刻度不准、试剂（包括纯水）纯度较差，721分光光度计没有预热就工作等。（纯度：工业纯<化学纯<分析纯<优级纯）第23页，共58页，2023年，2月20日，星期一消除方法：校正仪器和作空白试验。在不加被测试样的情况下，按对试样的分析步骤和测量条件进行测定，所得结果称为空白值。分析结果=测定值

-

空白值第24页，共58页，2023年，2月20日，星期一

3、操作(个人)误差

原因：在正常操作条件下，由操作人员的主观原因造成的误差。消除方法：安排不同的分析人员互相进行对照试验，此法称为“内检”。也可将部分试样送交其他单位进行对照分析，此法称为“外检”。例:习惯性的试样分解不完全、沉淀洗涤不完全或洗涤过分;观察终点颜色偏深或偏浅。

由于粗心马虎导致的工作过失不能算是操作误差，发现的错误结果不得使用。第25页，共58页，2023年，2月20日，星期一

二、随机误差（偶然误差）定义：或称不可测误差或偶然误差，由一些偶然因素引起，影响测定结果的准确度和精密度。

此类误差不能用校正的方法减小和消除，只能通过增加测定次数，采用数理统计方法对测定结果作出正确表达。原因：由难以控制、无法避免的因素（环境的温度，湿度，气压的微小波动，仪器性能的微小变化）所引起的。故又称不可测误差。第26页，共58页，2023年，2月20日，星期一二、随机误差（偶然误差）

特点：其大小、正负具有随机性，所以称为不可测误差。但多次重复测定时，它符合正态分布规律。绝对值相等的正负误差出现概率相等，小误差出现的次数占绝大多数，个别特大误差出现的次数极少。可用正态分布曲线来表示：第27页，共58页，2023年，2月20日，星期一纵坐标：测定次数横坐标：误差

-0+

由图可看出其规律性：1、对称性，正负误差出现的几率相等。2、单峰性，小误差出现的机率大，大误差出现的机率小。3、抵偿性，平行测定次数n→∞时，偶然误差的算术平均值E→0。第28页，共58页，2023年，2月20日，星期一

通常平行测定3～4次。要求高时，测定10次左右。根据曲线表明：分析结果偶然误差的大小是随着测定次数的增加而减少。第29页，共58页，2023年，2月20日，星期一17.2.3准确度和精密度准确度表示测定值与“真值T

”接近的程度。测定值越接近真实值，准确度越高，误差也就越小。反之准确度越低。准确度就是以误差大小来衡量的。相对误差Er

=绝对误差Ea

=

-Tx以相对误差的大小判断测定的准确度的高低。a100%ET×第30页，共58页，2023年，2月20日，星期一精密度在相同条件下用同样方法对同一试样多次平行测定所得数据之间相互接近的程度，表现了测定结果的重现性。精密度用“偏差”来表示。偏差越小说明分析结果的精密度越高。所以偏差的大小是衡量精密度高低的尺度。１、算术平均值

对同一种试样，在同样条件下重复测定n次，结果分别为：x1,x2,xn。nxnxxxxin21å=+++=第31页，共58页，2023年，2月20日，星期一

偏差

以偏差大小衡量精密度的高低。

绝对偏差和相对偏差

单次测量值与算术平均值之差绝对偏差某次测量的绝对偏差占算术平均值的百分比相对偏差xxdii-=第32页，共58页，2023年，2月20日，星期一

平均偏差相对平均偏差(relativemeandeviation)

注意：

不计正负号，di则有正负之分。通常以单次测量偏差的绝对值的算术平均值即平均偏差以及相对平均偏差来表示精密度。

第33页，共58页，2023年，2月20日，星期一

用表示精密度比较简单。该法的不足之处是不能充分反映大偏差对精密度的影响。（比如下图的“丁”）第34页，共58页，2023年，2月20日，星期一标准偏差（standarddeviation,SD）用数理统计方法处理数据时，常用标准偏差（SD，又称均方根偏差）来衡量测定结果的精密度。而不是用平均偏差来衡量数据的精密度。标准偏差：总体标准偏差σ

样本标准偏差S(标准差，均方差)第35页，共58页，2023年，2月20日，星期一

若样本容量为n，平行测定次数分别为x1，x2，x3，…，xn，则其样本平均值为：

当测定次数无限增多，既n→∞时，样本平均值即为总体平均值μ：

若没有系统误差，且测定次数无限多（或实用上n＞30次）时，则总体平均值μ就是真实值T。此时，用σ代表总体标准偏差，其数学表示式为：

å=ixnx1m=¥®xnlimnxiå-=2)(ms第36页，共58页，2023年，2月20日，星期一

由于在定量分析的实验中，测定次数一般较少（n<20次），故此时的平均值并不等于真实值T

。

在实际分析工作中测定次数一般不多(n<20)，而总体平均值又不知道，故只好用样本的标准偏差S来衡量该组数据的分散程度。样本标准偏差的数学表达式为：

Txnxi¹=å1第37页，共58页，2023年，2月20日，星期一

样本标准偏差(standarddeviation)f=n-1，自由度：n个测定数据能相互独立比较的是n-1个。

引入n-1是为了校正以样本平均值代替总体平均值引起的误差。第38页，共58页，2023年，2月20日，星期一相对标准偏差

(relativestandarddeviation-RSD)又称变异系数(coefficientofvariation-CV)%100xS×=CV第39页，共58页，2023年，2月20日，星期一

用标准偏差表示精密度的优点：S比更灵敏地反映出较大偏差的存在，能更确切地评价出一组数据的精密度。（见P318的举例）第40页，共58页，2023年，2月20日，星期一

准确度和精密度的关系

从以上的讨论可知：

系统误差是定量分析中误差的主要来源，它影响分析结果的准确度。

偶然误差影响分析结果的精密度。获得良好的精密度并不能说明准确度就高(只有在消除了系统误差之后，精密度好，准确度才高)。第41页，共58页，2023年，2月20日，星期一

根据以上分折，我们可以知道：准确度高一定需要精密度好，但精密度好不一定准确度高。若精密度很差，说明所测结果不可靠，虽然由于测定的次数多可能使正负偏差相互抵消，但已失去衡量准确度的前提。因此，我们在评价分析结果的时候，还必须将系统误差和偶然误差的影响结合起来考虑，以提高分析结果的准确度。

从图17-1来理解，在今后的实验中体会！第42页，共58页，2023年，2月20日，星期一实验数据的统计处理17.3.1随机误差的正态分布

例：在相同条件下对某样品中镍的质量分数（%）进行重复测定，得到90个测定值如下：

1.601.671.671.641.581.641.671.621.571.601.591.641.741.651.641.611.651.691.641.631.651.701.631.621.701.651.681.661.691.701.701.631.671.701.701.631.571.591.621.601.531.561.581.601.581.591.611.621.551.521.491.561.571.611.611.611.501.531.531.591.661.631.541.661.641.641.641.621.621.651.601.631.621.611.651.611.641.631.541.611.601.641.651.591.581.591.601.671.681.69§17-3有限实验数据的统计处理第43页，共58页，2023年，2月20日，星期一

分组（%）频数频率

1.485-1.51520.0221.515-1.54560.0671.545-1.57560.0671.575-1.605170.1891.605-1.635220.2441.635-1.665200.2221.665-1.695100.1111.695-1.72560.0671.725-1.75510.011∑901.00第44页，共58页，2023年，2月20日，星期一图3-3频率分布的值方图第45页，共58页，2023年，2月20日，星期一

测定数据的分布并非杂乱无章，而是呈现出某些规律性。在全部数据中，平均值1.62%所在的组（第五组）具有最大的频率值，处于它两侧的数据组，其频率值仅次之。统计结果表明：测定值出现在平均值附近的频率相当高，具有明显的集中趋势；而与平均值相差越大的数据出现的频率越小。一、正态分布正态分布，又称高斯分布，它的数学表达式即正态分布函数式为：

第46页，共58页，2023年，2月20日，星期一随机误差的出现符合的规律正误差和负误差出现的概率相等；小误差出现的次数占绝大多数，大误差出现的次数少，特大误差出现的次数极少；随机误差的分布符合高斯正态分布曲线。第47页，共58页，2023年，2月20日，星期一见图17-2测定结果落在±1范围内的概率是68.3%；测定结果落在±2范围内的概率是95.5%；测定结果落在±3范围内的概率是99.7%；此概率称置信度或置信水平（P）。第48页，共58页，2023年，2月20日，星期一

由于平均值较单次测定值的精密度更高，因此常用样本平均值来估计真值所在的范围。

表示在一定的置信度(可信程度）时，以单次测定值x或以平均值为中心的包含真值的取值范围，即μ的置信区间。在置信区间内包含μ的概率称为置信度或置信水平，它表明了人们对所作的判断有把握的程度，用P表示。

二、平均值的置信区间第49页，共58页，2023年，2月20日，星期一

当测定次数较少时，σ未知，故只能以S来代替σ，如按正态分布去处理实际问题，是不合理的，甚至会出现严重错误，故英国化学家高赛特提出以t代替z。第50页，共58页，2023年，2月20日，星期一

随着自由度的增加，t值逐渐减小并与u值接近。当f=20时，t与u已经比较接近。当f→∞时，t→u，S→σ。在引用t值时，一般取0.95的置信度。根据样本的单次测定值x或平均值分别表示μ的置信区间时，根据t分布则可以得出以下的关系：

第51页，共58页，2023年，2月20日，星期一上式表明真实值与平均值的关系，说明平均值的可靠性；平均值的置信区间取决于测定的精密度、测定的次数和置信水平；若固定置信水平，测定次数越多，测定精密度越高、置信区间越小，即平均值越准确；但仅在一定测定次数范围内分析数据的可靠性才随n增多而增加；置信水平高，置信区间必然大。第52页，共58页，2023年，2月20日，星期一