第六讲初等变换与初等矩阵

第六讲初等变换与初等矩阵1第1页，共36页，2023年，2月20日，星期一第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵本次课讲：第三章第一节和第二节下次课讲：第三章第三节第四节下次上课时交作业第17页到第18页2第2页，共36页，2023年，2月20日，星期一一、分块矩阵——1.分块矩阵的概念将矩阵用若干条纵线和横线分成许多小矩阵，每一个小矩阵称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵如第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵3第3页，共36页，2023年，2月20日，星期一2.分块矩阵的运算规则

分块矩阵运算把握2点，第一，子块当元素看可运算，第二，子块当矩阵看也可运算。如：设矩阵A与B为同型矩阵，采用相同的分块法，有其中与为同型矩阵，那么第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵4第4页，共36页，2023年，2月20日，星期一4.分块对角矩阵：设A

为n阶矩阵，如果A的对角线分块矩阵为方阵，且只在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，即其中都是方阵，那么称为分块对角矩阵。分块对角矩阵有下列性质：（b）若则并有（a)OO第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵5第5页，共36页，2023年，2月20日，星期一若且子块均可逆，则B可逆，且同理，容易验证如下结论第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵6第6页，共36页，2023年，2月20日，星期一3.分块运算的作用1.分块运算使得矩阵结构简单，利于诠释一些问题和概念记如按分块矩阵的记法或利用矩阵乘法，此方程组可记作将B按列分块第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵7第7页，共36页，2023年，2月20日，星期一若将系数矩阵A

按行分成m

块，则线性方程组可记作这就相当于把每个方程记作若将系数矩阵A

按列分成n

块，则线性方程组可记作即第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵8第8页，共36页，2023年，2月20日，星期一例1（2004、4）第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵9第9页，共36页，2023年，2月20日，星期一第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵10第10页，共36页，2023年，2月20日，星期一第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵11第11页，共36页，2023年，2月20日，星期一第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵12第12页，共36页，2023年，2月20日，星期一（1）行阶梯形矩阵及其特点（i）可画出一条阶梯线，每个台阶只有一行，（ii）阶梯的首元非零，阶梯下全为零。二、几类特殊矩阵——行阶梯、行最简与标准型矩阵（2）行最简形矩阵及其特点（i）是一个行阶梯形矩阵；（ii）非零行的第一个非零元为1，该元素所在的列的其它元素都为0，如：为行最简形矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵13第13页，共36页，2023年，2月20日，星期一（3）矩阵的标准型形如其中为

r

阶单位矩阵。的矩阵称为标准形矩阵，如：就是一个标准形矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵14第14页，共36页，2023年，2月20日，星期一简要概括特点：1.行阶梯的3个特点：1.画成阶梯，且每阶梯首元不为0；2.每阶梯1行；3.阶梯下全为0。

2.行最简3个特征：1.是行阶梯；2.首元为1，3.1所在列余元为0变换的逆变换就是本身；变换的逆变换是（或记作）；2.初等变换性质1）可逆性：即矩阵的三种初等变换都是可逆的变换的逆变换是或记作）。三、初等变换1.定义第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵15第15页，共36页，2023年，2月20日，星期一2）等价性：矩阵之间的等价关系具有下列特征：（i）反身性A~A；（ii）对称性若A~B，则B~A；（iii）传递性若A~B，B~C，则A~C.如果矩阵A

经有限次初等变换变成矩阵

B，就称矩阵A

与矩阵B等价，记作A~B.3.初等变换的作用：（1）一个矩阵的行最简形矩阵是唯一确定的；（2）一个矩阵的行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。矩阵A行阶梯形矩阵和行最简形矩阵；有限次初等行变换1.2.对行最简形矩阵施以初等列变换，可以变成标准形。即第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵16第16页，共36页，2023年，2月20日，星期一例如：第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵17第17页，共36页，2023年，2月20日，星期一3.如果把线性方程组的系数与常数看成一个线性方程组的增广矩阵，则初等变换与方程组的代数消元法完全一致。就是说，经过初等行变换，增广矩阵表示的线性方程与原方程组同解。如方程组：这一方程组与原方程组同解第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵18第18页，共36页，2023年，2月20日，星期一例1:化成行最简形.设把解:第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵19第19页，共36页，2023年，2月20日，星期一四、初等矩阵的概念定义4由单位矩阵

E

经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。（1）对调两行或对调两列：注意记法：E(i,j)把单位矩阵中第i,j两行对调(),得初等矩阵第i

行第j

行初等矩阵分3类1.初等矩阵的概念第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵20第20页，共36页，2023年，2月20日，星期一（2）以数k≠0

乘某行或某列以数k≠0乘单位矩阵的第

i

行（），得初等矩阵第i

行第i

行第j

行（3）以数k

乘某行（列）加到另一行（列）上去第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵21第21页，共36页，2023年，2月20日，星期一（1）变换的逆变换就是其本身，则（2）变换的逆变换是，则（3）变换的逆变换是，则初等变换对应着初等矩阵，由初等变换可逆知初等矩阵可逆，且初等变换的逆变换对应着相应初等矩阵的逆矩阵：2.初等矩阵的可逆性第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵22第22页，共36页，2023年，2月20日，星期一1.A的1次初等行变换是A的左边乘一个初等矩阵五、初等变换与初等矩阵，初等矩阵与逆矩阵（这里仅就第一类两行互换与第三类行初等变换的情形给出证明）第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵23第23页，共36页，2023年，2月20日，星期一证明：设A经过一次第3类行初等变换rij（k）后变成B，记作：A~B，这B也是m*n阵，将A、B按行分块，则有第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵24第24页，共36页，2023年，2月20日，星期一第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵25第25页，共36页，2023年，2月20日，星期一定理：方阵

A

可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵2.任一可逆矩阵均是k个初等矩阵之积1)充分性：若存在有限个初等矩阵证:第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵26第26页，共36页，2023年，2月20日，星期一2)必要性：设A可逆，因任何矩阵经初等变换均可变成初等矩阵，设其标准形矩阵为F,则F经有限次初等变换可以变成A,由定理1，即存在有限个初等矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵27第27页，共36页，2023年，2月20日，星期一由该定理，显然可推出如下重要结论：推论：系列初等行变换恒等于一可逆矩阵五、系列初等行变换等同于A左边乘一可逆矩阵第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵28第28页，共36页，2023年，2月20日，星期一第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵29第29页，共36页，2023年，2月20日，星期一同样讨论列的情况：可得到如下结论：初等列变换第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵30第30页，共36页，2023年，2月20日，星期一例2设求解第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵31第31页，共36页，2023年，2月20日，星期一所以5.用初等变换求解方程组我们采用利用初等变换求逆矩阵同样的办法求解线性方程组AX=b,这里，假定A是方阵且可逆第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵32第32页，共36页，2023年，2月20日，星期一第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵33第33页，共36页，2023年，2月20日，星期一例3求矩阵X，使AX=b1，AX＝b2其中第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵34第34页，共36页，2023年，2月20日，星期一可对矩阵作初等列变换，使初等列变换如果要解形如的方程组，且A可逆，则或对矩阵初等行变换，使初等行变换即