第二部分相关分析功率谱白噪声

第二部分相关分析功率谱白噪声第1页，共66页，2023年，2月20日，星期一3.周期过程

，则

非周期过程

4.:整个相关成分

:总功率:交流相关成分:交流功率:直流功率2023/4/152第2页，共66页，2023年，2月20日，星期一2023/4/153第3页，共66页，2023年，2月20日，星期一例:求和解:2023/4/154第4页，共66页，2023年，2月20日，星期一例:是否可能为相关函数?(1)(2)2023/4/155第5页，共66页，2023年，2月20日，星期一自相关系数也有类似性质:1.2.2023/4/156第6页，共66页，2023年，2月20日，星期一定义自相关时间：1.2.(等效矩形)相关系数函数下降越快，越小，随机过程的起伏越快

2023/4/157第7页，共66页，2023年，2月20日，星期一2023/4/158第8页，共66页，2023年，2月20日，星期一过程Ｘ比过程Ｙ起伏快2023/4/159第9页，共66页，2023年，2月20日，星期一联合平稳过程的互相关函数的性质1.注意不是偶函数2.（小于几何平均）

3.（小于算术平均）

2023/4/1510第10页，共66页，2023年，2月20日，星期一2:证明3:证明2023/4/1511第11页，共66页，2023年，2月20日，星期一例1:噪声为零均值与不相关求:的～2023/4/1512第12页，共66页，2023年，2月20日，星期一例2:为常数,

证明联合平稳性.

和平稳2023/4/1513第13页，共66页，2023年，2月20日，星期一2023/4/1514第14页，共66页，2023年，2月20日，星期一§2.3平稳随机过程的功率谱从这里开始都讲平稳过程。且进行频域分析.采用变换的方法使其信息在频域显露出来。2023/4/1515第15页，共66页，2023年，2月20日，星期一本小节要解决的问题

随机信号是否也可以应用频域分析方法?傅里叶变换能否应用于随机信号？相关函数与功率谱的关系功率谱的应用白噪声的定义2023/4/1516第16页，共66页，2023年，2月20日，星期一2.1随机过程的谱分析

一预备知识1付氏变换设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t)

满足

在范围内满足狄利赫利条件

绝对可积，即

信号的总能量有限，即有限个极值有限个断点断点为有限值2023/4/1517第17页，共66页，2023年，2月20日，星期一则的傅里叶变换为：

其反变换为：

称为的频谱密度，也简称为频谱。包含：振幅谱相位谱2023/4/1518第18页，共66页，2023年，2月20日，星期一2帕塞瓦等式即能量谱密度功率2023/4/1519第19页，共66页，2023年，2月20日，星期一二随机过程的功率谱密度随机过程频谱分析的特殊性1.随机过程为非能量有限信号，不满足狄氏条件，不能直接对随机信号的表达式求傅里叶变换；2.随机信号频域特性也要求统计平均。办法：借用傅里叶变换理论，按随机信号性质进行修正，使之符合随机信号的特性2023/4/1520第20页，共66页，2023年，2月20日，星期一二随机过程的功率谱密度

应用截取函数

1.对随机信号的任一个样本取截断函数（特点：确定性，可进行傅里叶变换）2023/4/1521第21页，共66页，2023年，2月20日，星期一当为有限值时，的傅里叶变换存在

应用帕塞瓦等式

除以2T取集合平均2023/4/1522第22页，共66页，2023年，2月20日，星期一令，再取极限，交换求数学期望和积分的次序

功率Q

非负存在（1）Q为确定性值，不是随机变量（2）为确定性实函数。注意：功率谱密度哟！！！2023/4/1523第23页，共66页，2023年，2月20日，星期一两个结论：

1表示时间平均

若平稳22023/4/1524第24页，共66页，2023年，2月20日，星期一功率谱密度：描述了随机过程X(t)的功率在各个不同频率上的分布——

称为随机过程X(t)的功率谱密度。对在X(t)的整个频率范围内积分，便可得到X(t)的功率。对于平稳随机过程，有：功率谱的物理意义2023/4/1525第25页，共66页，2023年，2月20日，星期一例：设随机过程，其中皆是实常数，是服从上均匀分布的随机变量，求随机过程的平均功率。

解：不是宽平稳的2023/4/1526第26页，共66页，2023年，2月20日，星期一2023/4/1527第27页，共66页，2023年，2月20日，星期一三功率谱密度与自相关函数之间的关系

确定信号：1维纳—辛钦定理

若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：平稳随机过程：自相关函数功率谱密度傅立叶变换对2023/4/1528第28页，共66页，2023年，2月20日，星期一2.证明：

2023/4/1529第29页，共66页，2023年，2月20日，星期一设则所以：2023/4/1530第30页，共66页，2023年，2月20日，星期一则

(注意，且，。因此，通常情况下，第二项为0)

2023/4/1531第31页，共66页，2023年，2月20日，星期一推论：对于一般的随机过程X(t)，有：

平均功率为：

利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳—辛钦定理表示成：

2023/4/1532第32页，共66页，2023年，2月20日，星期一3．单边功率谱

由于实平稳过程x(t)的自相关函数是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。有时我们经常利用只有正频率部分的单边功率谱。

2023/4/1533第33页，共66页，2023年，2月20日，星期一例：平稳随机过程的自相关函数为，A>0，，求过程的功率谱密度。

解：应将积分按＋和－分成两部分进行

2023/4/1534第34页，共66页，2023年，2月20日，星期一例：设为随机相位随机过程其中，为实常数为随机相位，在均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随机过程，自相关函数为求的功率谱密度。2023/4/1535第35页，共66页，2023年，2月20日，星期一解：注意此时不是有限值，即不可积，因此的付氏变换不存在，需要引入函数。2023/4/1536第36页，共66页，2023年，2月20日，星期一例：设随机过程，其中皆为常数，为具有功率谱密度的平稳随机过程。求过程的功率谱密度。

解：

2023/4/1537第37页，共66页，2023年，2月20日，星期一四平稳随机过程功率谱密度的性质

一功率谱密度的性质

1功率谱密度为非负的,即

证明：2功率谱密度是的实函数

2023/4/1538第38页，共66页，2023年，2月20日，星期一3

对于实随机过程来说，功率谱密度是的偶函数，即证明：是实函数又2023/4/1539第39页，共66页，2023年，2月20日，星期一4

功率谱密度可积，即

证明：对于平稳随机过程，有：

平稳随机过程的均方值有限2023/4/1540第40页，共66页，2023年，2月20日，星期一二谱分解定理

1谱分解

在平稳随机过程中有一大类过程，它们的功率谱密度为的有理函数。在实际中，许多随机过程的功率谱密度都满足这一条件。即使不满足，也常常可以用有理函数来逼近。这时可以表示为两个多项式之比，即

2023/4/1541第41页，共66页，2023年，2月20日，星期一

（1）

为实数。(2)分母不能进行因式分解，分母不能有实根。

（3）M＜N。

2023/4/1542第42页，共66页，2023年，2月20日，星期一2.2联合平稳随机过程的互谱密度一、互谱密度

考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)，它们的样本函数分别为和，定义两个截取函数、为：2023/4/1543第43页，共66页，2023年，2月20日，星期一

因为、都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。在时间范围(-T，T)内，两个随机过程的互功率为:（注意、为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均）

由于、的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即:2023/4/1544第44页，共66页，2023年，2月20日，星期一

注意到上式中，和是任一样本函数，因此具有随机性，取数学期望，并令得：

2023/4/1545第45页，共66页，2023年，2月20日，星期一

定义互功率谱密度为：则2023/4/1546第46页，共66页，2023年，2月20日，星期一同理，有：且2023/4/1547第47页，共66页，2023年，2月20日，星期一二、互谱密度和互相关函数的关系自相关函数功率谱密度

F互相关函数互谱密度

F

定义：对于两个实随机过程X(t)、Y(t)，其互谱密度与互相关函数之间的关系为

即2023/4/1548第48页，共66页，2023年，2月20日，星期一若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有即结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。2023/4/1549第49页，共66页，2023年，2月20日，星期一三、互谱密度的性质性质1：证明：

＝

（令）2023/4/1550第50页，共66页，2023年，2月20日，星期一性质2：

证明：

（令）

同理可证2023/4/1551第51页，共66页，2023年，2月20日，星期一性质3：

证明：类似性质2证明。性质4：

若X(t)与Y(t)正交，则有

证明：若X(t)与Y(t)正交，则所以2023/4/1552第52页，共66页，2023年，2月20日，星期一性质5：

若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分别具有常数均值和，则

证明：

因为X(t)与Y(t)不相关，所以（）2023/4/1553第53页，共66页，2023年，2月20日，星期一性质6：

例：设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数为:

求互谱密度，。2023/4/1554第54页，共66页，2023年，2月20日，星期一解：

2023/4/1555第55页，共66页，2023年，2月20日，星期一2.4高斯过程和白噪声2.4.1高斯过程（正态过程）定义：若随机过程X(t)的任意n维（n=1,2,…）概率分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。一维高斯：2023/4/1556第56页，共66页，2023年，2月20日，星期一二维高斯分布例：P902.102023/4/1557第57页，共66页，2023年，2月20日，星期一N维高斯分布2023/4/1558第58页，共66页，2023年，2月20日，星期一高斯分布随机信号性质广义平稳和严格平稳等价；不相关和独立等价；高斯过程通过线性变换后仍然是高斯分布；相互独立的高斯随机过程（变量）之和仍为高斯分布。2023/4/1559第59页，共66页，2023年，2月20日，星期一2.4白噪声一、理想白噪声定义：若N(t)为一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度均匀分布在的整个频率区间，即

其中为一正实常