第五节合情推理与演绎推理

第五节合情推理与演绎推理第1页，共14页，2023年，2月20日，星期一基础梳理部分全部个别一般结论

部分整体个别一般1.合情推理（1）归纳推理：由某类事物的对象具有某些特征，推出该类事物的对象都具有这些特征的推理，或者由事实概括出的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由到、由到的推理.某些类似特征已知特征特殊特殊（2）类比推理：由两类对象具有和其中一类对象的某些，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之，类比推理是由到的推理.类比观察分析比较联想归纳（3）合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过、、、,再进行、,然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.第2页，共14页，2023年，2月20日，星期一一般性的原理一般特殊2.演绎推理（1）演绎推理：从出发，推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由到的推理.（2）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——;②小前提——;③结论——.已知的一般原理所研究的特殊情况根据一般原理，对特殊情况做出的判断基础达标1.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖块.（用含n的代数式表示）第3页，共14页，2023年，2月20日，星期一解析：第（1）、（2）、（3）、…个图案黑色瓷砖数依次为：15-3＝12，24-8＝16，35－15＝20，…，由此可猜测第n个图案黑色瓷砖数为：12＋(n－1)×4＝4n+8.2.观察下列式子：1+＜，1++＜，1+++＜，…，则可归纳出.解析：归纳为3.数列1,1,2,3,5,8,x,21,…中的x等于.解析：该数列从第3项起，每一项等于前两项之和，∴x=5+8=13.第4页，共14页，2023年，2月20日，星期一4.（教材改编题）在数列{an}中，a1=1，an+1=an+n(n∈N*)，该数列的前5项依次为；由此猜想an=解析：∵a1=1,an+1=an+n,∴a2=a1+1=2，a3=a2+2=4,a4=a3+3=7,a5=a4+4=11.又a1=+1，a2=+1，a3=+1，a4=+1，a5=+1，由此猜想an=+1.经典例题题型一归纳推理第5页，共14页，2023年，2月20日，星期一【例1】（2010·福建改编）观察下列等式：①cos2a=2cos2a-1;②cos4a=8cos4a-8cos2a+1;③cos6a=32cos6a-48cos4a+18cos2a-1;④cos8a=128cos8a-256cos6a+160cos4a-32cos2a+1;⑤cos10a=mcos10a-1280cos8a+1120cos6a+ncos4a+pcos2a+q.（1）右式各个因式系数的和有什么规律?根据你观察到的规律求m+n+p+q的值；（2）推测m=，p=，q=.分析：写出其通项.（1）分别求一下右式各个因式系数的和，然后总结归纳其中的规律即可，（2）根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，从中发现规律，根据归纳推理可得.第6页，共14页，2023年，2月20日，星期一解：（1）观察得：式子中所有项的系数和为1，由m-1280+1120+n+p+q=1，得m+n+p+q=161.（2）m、n、p、q所在位置系数的规律如下：等式序号左式a的系数m所在位置的系数p所在位置的系数q所在位置的系数1222-1248-81363218-148128-321510mpq由上表可得m=128×4=512，p=10×5=50,q=-1.第7页，共14页，2023年，2月20日，星期一变式1-1题型二类比推理【例2】半径为r的圆的面积S(r)＝πr2,周长C(r)=2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr.①①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为r的球，若将r看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子②.在数列{an}中，a1=1，an+1=n∈N*)，试猜想这个数列的通项公式.解：在数列{an}中，∵a1=1，an+1=(n∈N*)，∴，

…，∴可以猜想，这个数列的通项公式是第8页，共14页，2023年，2月20日，星期一变式2-1分析：根据平面与空间的类比点进行解答：圆的面积←→球的体积；圆的周长←→球的表面积.解：由平面知识类比空间的方法技巧可得：半径为r的球的体积V(r)＝,表面积S(r)=4πr2，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则,球的体积函数的导数等于球的表面积函数.设函数f(x)=，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为（）A.B.2C.3D.6第9页，共14页，2023年，2月20日，星期一题型三演绎推理解析：因为课本中推导等差数列前n项和公式的方法为倒序相加法，观察倒序相加每一对因式的特点，尝试着计算：f(x)+f(1-x).∵f(x)=,∴f(1-x)=∴f(x)+f(1-x)=即f(x)+f(1-x)正好是一个定值，∴原式=[f(-5)+f(6)+f(-4)+f(5)+…+f(0)+f(1)]=【例3】（2010·福建改编）设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S.（1）若m=1，求集合S；（2）若m=-，求证：≤l≤1.第10页，共14页，2023年，2月20日，星期一分析：读懂新定义，按照定义验证答案，注意分类讨论应该不重不漏.变式3-1解：（1）当m=1时，S={x|1≤x≤l}，∴1≤x2≤l2，又∵x2∈S，∴l2≤l，∴0≤l≤1，又∵l≥1,∴l=1，所以S={1}.(2)当m=-时，S={x|-≤x≤l},①当-≤l≤0时，则l2

≤x2≤，不满足x2∈S；②当0＜l≤时，则0≤x2≤，又∵x2∈S,∴≤l,∴≤l≤;③当l＞时，则0≤x2≤l2，又∵x2∈S,∴l2≤l,∴0≤l≤1，∴＜l≤1.综上所述,≤l≤1已知函数f(x)=为奇函数，则a=.第11页，共14页，2023年，2月20日，星期一链接高考1.（2010·山东）观察(x2)′=2x，(x4)′=4x3，(cosx)′=-sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(-x)=（）A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)知识准备：会判断函数为奇函数还是偶函数.解析：通过观察所给的结论可知，若f(x)是偶函数，则导函数g(x)是奇函数，故选D.解析：可用特殊值法.因为函数f(x)=为奇函数，所以f(-x)=-f(x)对于定义域中的任意x都成立，因为1在定义域中，所以f(-1)=-f(1)，可求得a=-1.第12页，共14页，2023年，2月20日，星期一知识准备：1.知道等差数列的概念和通项公式；2.理解归纳推理、演绎推理.解析：第n行第一列的数为n，观察得，第n行的公差为n，所以第n0行的通项公式为an=n0+(n-1)n0，又因为是第n+1列，故可得答案为n2+n.2.（2010·浙江）在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是.……………963第3行…642第2行…321第1行…第3列第2列第1列第13页