第三讲第二节凸函数与凹函数

第三讲第二节凸函数与凹函数第1页，共36页，2023年，2月20日，星期一第2页，共36页，2023年，2月20日，星期一第3页，共36页，2023年，2月20日，星期一第4页，共36页，2023年，2月20日，星期一凸函数严格凸函数设是非空凸集，若对任意的及任意的都有：则称函数为上的严格凸函数。注：将上述定义中的不等式反向，可以得到严格凹函数的定义．第5页，共36页，2023年，2月20日，星期一凸函数

对一元函数在几何上表示连接的线段．所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段总是位于曲线弧的上方．几何性质表示在点处的函数值．

第6页，共36页，2023年，2月20日，星期一f(X)Xf(X1)f(X2)

X1X2第7页，共36页，2023年，2月20日，星期一f(X)Xf(X1)f(X2)

X1X2αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)第8页，共36页，2023年，2月20日，星期一f(X)Xαf(x1)

+(1-α)f(x2)f(X1)f(X2)

X1X2αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)第9页，共36页，2023年，2月20日，星期一f(X)Xf(X1)f(X2)

X1X2任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)αf(x1)

+(1-α)f(x2)例4.2.1第10页，共36页，2023年，2月20日，星期一(a)凸函数(b)凹函数第11页，共36页，2023年，2月20日，星期一例：设试证明在上是严格凸函数．证明:设且都有：因此,在上是严格凸函数．凸函数第12页，共36页，2023年，2月20日，星期一例：试证线性函数是上的凸函数．证明:设则故,是凸函数．类似可以证明也是凹函数.凸函数第13页，共36页，2023年，2月20日，星期一凸函数定理1设是凸集上的凸函数充要条件性质詹生(Jensen)不等式第14页，共36页，2023年，2月20日，星期一第15页，共36页，2023年，2月20日，星期一第16页，共36页，2023年，2月20日，星期一凸函数定理2性质正线性组合第17页，共36页，2023年，2月20日，星期一下面的图形给出了凸函数的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.凸函数第18页，共36页，2023年，2月20日，星期一凸函数第19页，共36页，2023年，2月20日，星期一定理1:设是定义在凸集上，令则:(1)是定义在凸集是凸集上的凸函数的充要条件是对任意的一元函数为上的凸函数.(2)设若在上为严格凸函数，则在上为严格凸函数．凸函数凸函数的判别定理第20页，共36页，2023年，2月20日，星期一该定理的几何意义是：凸函数上任意两点之间的部分是一段向下凸的弧．凸函数第21页，共36页，2023年，2月20日，星期一定理4设在凸集上可微，则：在上为凸函数的充要条件是对任意的都有：严格凸函数(充要条件)??凸函数凸函数的判别定理---一阶条件注：定理4提供了一个判别可微函数是否为凸

函数的依据.第22页，共36页，2023年，2月20日，星期一凸函数定理4-----

几何

解释一个可微函数

是凸函数当且

仅当函数图形

上任一点处的

切平面位于曲

面的下方.第23页，共36页，2023年，2月20日，星期一凸函数定理4-----

几何

解释一个可微函数

是凸函数当且

仅当函数图形

上任一点处的

切平面位于曲

面的下方.第24页，共36页，2023年，2月20日，星期一定理5:设在开凸集内二阶可微,则是内的凸函数的充要条件为:对任意的Hesse矩阵半正定,其中：凸函数凸函数的判别定理---二阶条件第25页，共36页，2023年，2月20日，星期一例：凸函数凸函数的判别定理---二阶条件第26页，共36页，2023年，2月20日，星期一第27页，共36页，2023年，2月20日，星期一第28页，共36页，2023年，2月20日，星期一第29页，共36页，2023年，2月20日，星期一第30页，共36页，2023年，2月20日，星期一第31页，共36页，2023年，2月20日，星期一第32页，共36页，2023年，2月20日，星期一第33页，共36页，2023年，2月20日，星期一第34页，共36页，2023年，2月20日，星期一凹函数凸集的上等值集，或者直观