高一物理力学例题经典

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第一章力例题1把一个大小为10N的力沿相互垂直的两个方向分解，两个分力的大小可能为1N,9N(B)6N,8N(C)1/2N，(D)11N，11N解:两个分力的平方和应等于102,等于100.选项⑻((正确.例题2—个大小为1N的力可以分解为多大的两个力，(B)1N，1N(C)100N，100N(D)1N，1000N解:大小为和的两个力方向相反时合力为1N,选项(A)正确；大小均为1N的两个力互成120角时,合力为1N,选项(B正确；大小均为100N的两个力互成适当小的角度时，合力可为1N,选项(C正确；大小为1N和1000N的两个力的合力大小在999N与1001N之间，不可能为1N,选项(D)不对.总之选项(A)(B)(正确.例题3作用于同一质点的三个力大小均为10N.如果每两个力之间的夹角都是120°角,那么合力多大如果两两垂直,那么合力多大<解:合力为零.(2根据题意，可以设F］向东,F向南,F向上・F、F2的合力F12,沿东南方向,大小为Q与f12相垂直，所以三个力的合力大小为F=(1@+(10.：7)2)1/2=10N例题4(1大小为5N、7N、8N的三个共点力，合力最小值为—；大小为5N、7N、12N的三个共点力，合力最小值为—；大小为5N、7N、13N的三个共点力，合力最小值为—；大小为5N、7N、40N的三个共点力，合力最小值为—.|答：(1)0;(2)0;(3)1N;(4)28N.例题5如图1-2所示，六个力在同一平面内相邻的两个力夹角都等于60°耳=11叫&=12N,F3=13N,F4=14N,F5=15N,F6=16N.六个力合力的大小为—N.

解:F］与F4的合力F14沿F4方向,大小为3N,F2与F5的合力F25沿F5方向,大小为3N,F3与F6的合力F36沿F6方向,大小为3N.所以六个力的合力等于图1-3中三个力的合力.F14与F36的合力F1436沿F25方向，大小为与F25的合力，沿F25方向,大小为6N.总之六个力的合力大小为6N,沿F5方向.例题6质点受到五个力:F］、F2、F3、F4、F5,图1-4中作出了五个力的图示，两条实线和四条虚线正好构成一个正六边形•已知F3=10牛，求五个力的合力多大.

解:容易看出片和F2的合力等于F3(大小和方向等于F3的大小和方向),F2和F5的合力等于f3,所以五个力的合力为F=3F3=30牛.例题7图1-5(a)中三个力为共点力，平移后构成三角形，图1-5(b)也是这样.图1-5(a)中三个力的合力大小为N;图1-5(b)中三个力的合力大小为N.10N3(b)10N3(b)解:根据三角形定则，图(a)中，F2与F3的合力等于F],所以三个力的合力等于2^=40N(向左).根据三角形定则图(b)中,F2与F3的合力向右，大小等于F],所以三个力的合力等于零.从多边形定则可以直接得出这个结论.例题8如图1-6所示，十三个力在同一平面内，大小均为1N,相邻的两个力夹角都是15°,求十三个力的合力.http；〃int巳IligEnce-5「nEt解:F]与F13的合力为零；F2与F12互成150°角,合力沿F7方向，利用余弦定理可算出合力大小为(12+12+2x1x1cos150°)1/2N=（12+12-2x1x1cos30°）i/2N=（2-匕）i/2N;F3与F］］互成120°角,合力沿F7方向，合力大小为1N;F4与F10互成90°角,合力沿F7方向，合力大小为O'N;F5与F9互成60°角,合力沿F7方向,合力大小为叮巴N;F6与F8互成30°角,合力沿F7方向,利用余弦定理，可算出合力大小为（12+12+2x1x1cos30°）i/2N=（2^-）i/2N;所以十三个力的合力沿f7方向,大小为F=（2人巴）1/2N+1N+J7N+J3N+（2+.巴）1/2N+1N=（2+（2+*、〔）1/2+（2-=二）1/2+叮，+*）N.例题9如图1-7，有同一平面内5个共点力，相邻的两个力之间的夹角都是72度©大小为90N,其余各力大小均为100N.求5个力的合力.解:F］可以分解为沿F1方向的大小为100N的分力F1a,和沿F1反方向的大小为10N的分力F1b.这样原题转化为求解F1a、F1b和F2、F3、F4、F5等6个力的合力.易知，其中F1a和F2、F3、F4、F5等5个力的合力为零•所以F1、F2、F3、F4、F5的合力等于F1b:大小为10N,沿F］的反方向.例题10有n个大小为F的共点力，沿着顶角为120°的圆锥体的母线方向，如图1-8所示•相邻两个力的夹角都是相等的•这n个力的合力大小为•解:将每个力沿圆锥体的对称线方向和平行于底面的方向分解,得到n个沿着对称线方向的分力,和n个平行于底面方向的分力.每个沿着对称线方向的分力大小都等于F/2，所以n个沿着对称线方向的分力的合力,大小为nF/2•另一方面,n个平行于底面方向的分力的合力为零.所以本题所求n个力的合力大小等于nF/2.例题11下面每组共点力,大小是确定的•试分别判断各组力之合力是否可能为零如不可能为零,最小值多大.1N,2N,3N,4N,15N1N,2N,3N,4N,10N1N,2N,3N,4N,5N1N,2N,10N,100N,100N1N,2N,......98N,99N,100N1N,2N,......98N,99N,10000N解:(A)1+2+3+4=10，而10V15，这五个力不可能组成五边形，谈不上组成如图1-1(c)所示的五边形,因此合力不可能为零,最小值为:F.=15N-10N=5N.min1+2+3+4=10，所以五个力的合力可能为零.1+2+3+4>5，这五个力可以组成图8所示的五边形，合力可能为零.1+2+10+100>100,所以五个力的合力可能为零.1+2+3+..+98+99>100,所以一百个力的合力可能为零.1+2+3+……+98+99=(1+99)x99/2=4950<10000所以,一百个力的合力不可能为零,最小值为F.=10000N-4950N=5050N.min第二章直线运动例题1有一小孩掉进河里后抱住了一根圆木随水向下飘流有三条船A、B、C在正对河岸P点的地方同时与圆木相遇，但三条船上的船员都没有注意到圆木上的小孩.A、B两船逆水上行,C船顺水下行•相对水的速度,B船是A船的倍,C船是B船的倍.当三条船离开P点行驶30分钟的时候，船员们从收音机里听到圆木上有小孩需要救助的消息,三条船都立即调转船头，驶向圆木•在离P点6千米的地方川、孩被船员救起.试回答三条船到达小孩和圆木的先后次序如何.解：以流水为参照物•小孩和原木是静止的•船A上行时速度和下行时速度大小相等,船B也是这样，船C也是这样•船A、B、C同时从小孩所处的位置向上游和下游行驶速度不同，在30分钟内行驶了不同的路程S]、S2、S3；在接下去的30分钟内，三条船分别沿反方向行驶路程％、s2、s3,回到小孩所处的位置.答:三条船同时到达小孩和原木.例题2一列一字形队伍长120m，匀速前进.通讯员以恒定的速率由队尾跑到队首，又跑回队尾，在此期间，队伍前进了288m.求通讯员跑动的速率v是队伍前进的速率u的多少倍.分析:顺利解答本题的关键是，找出通讯员的运动跟队首或队尾的运动的联系.解:设通讯员从队尾跑到队首所用的时间为J从队首跑到队尾所用的时间为t2,那么TOC\o"1-5"\h\zu(t]+t2)=288(1)在t1时间内，通讯员跑动的路程比队首移动的路程多120m:vt]-ut]=120(2)在t2时间内，通讯员跑动的路程加上队尾移动的路程等于120m:vt2+ut2=120(3)从(2)式中得出J的表达式,从⑶式中得出t2的表达式，代入(1)式，可算出：v=例题3一物体作匀变速直线运动,某时刻速度的大小为4m/s,1s后速度的大小变为10m/s.在这1s内位移的大小可能小于4m\位移的大小可能大于10m加速度的大小可能小于4m/s2加速度的大小可能小于10m/s2(1996年高考全国卷试题)解:取初速度方向为正方向,则v0=4m/s,vt=10m/s或-10m/s.由s=vt=(v0+vt)t/2,得s=7m或-3m所以位移的大小为7m或3m.选项(A)正确,(B)错误.[由a=(vt-v0)/t得a=6m/s2或-14m/s2所以加速度的大小为6m/s2或14m/s2，选项(C)错误,(D)正确.总之,本题选(A)(D).例题4在三楼的阳台上,一人伸出阳台的手上拿着一只小球,小球下面由细绳挂着另一个小球•放手，让两小球自由下落，两小球相继落地的时间差为t.又站在四层楼的阳台上同样放手让小球自由下落，两小球相继落地的时间差为t',则tVt'(B)t=t'(C)t>t'解:从三楼阳台外自由下落，下面的小球着地时，两球具有的速度为v,从四楼阳台外自由下落，下面的小球着地时，两球具有的速度为v',显然vVv'•下面的小球着地后，上面的小球以较小的初速度v和较大的初速度v',继续作加速度为g的匀加速运动，发生一定的位移(等于绳长)，所需的时间显然是不同的:t>t'.选项(C)正确.例题5一质点由静止从A点出发，先作匀加速直线运动,加速度大小为a,后做匀减速直线运动,加速度大小为3a,速度为零时到达B点.A、B间距离为s.求质点运动过程中的最大速度.解:设质点第一阶段做匀加速运动的的时间为末速度为v,这就是运动过程中的最大速度;设第二阶段做匀减速运动的时间为t2.TOC\o"1-5"\h\z那么第一阶段的位移为vt1/2，第二阶段的位移为vt2/2,两者之和应为全程位移：vt/2+vt2=s(1)又根据加速度的定义式,有t1=v/a(2)t2=v/(3a)(3)将(2)(3)两式代入(1)式:v2/(2a)+v2/(6a)=s所以v=(3as/2)1/2例题6两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶速度均为v0,若前车突然以恒定的加速度刹车,在它刚停住时,后车以前车刹车时的加速度开始刹车.已知前车在刹车过程中所行驶的路程为s,若要保证两车在上述情况下不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为s(B)2s(C)3s(D)4s(1992年高考全国卷试题)解:汽车从开始刹车到停下这个期间，平均速度为v0/2.在前车开始刹车到停下这段时间内，后车以速度v0匀速行驶，行驶的距离应为s的两倍，即为2s.\从前车开始刹车到两车都停下,前车的位移为s;后车的位移为(2s+s)=3s•设前车刹车前(匀速行驶期间)两车的距离为I,为使两车不相撞，应满足：l+s>3s所以l>2s本题选(B)例题7某人离公共汽车尾部20m,以速度v向汽车匀速跑过去，与此同时汽车以1m/s2的加速度启动，作匀加速直线运动.试问，此人的速度v分别为下列数值时，能否追上汽车如果能,要用多长时间如果不能,则他与汽车之间的最小距离是多少v=4m/s;(2)v=6m/s;(3)v=7m/s.思路:假设人不管是否在某一时刻追上了汽车，一直以速度V朝前跑，得出汽车跟人的距离y随时间t变化的函数式.然后考察对于正值t,y是否可能取零，如果是的,那么能追上，如果不能,那么不能追上.?解:假设人不管是否在某一时刻追上了汽车，一直以速度v朝前跑•在时间t内,人的位移等于vt;汽车的位移等于(1/2)at2=.经过时间t时,汽车尾部跟人之间,距离为y=20+即y=20+(t2-2vt+v2)即y=(t-v)2+(*)上式中,y取正值时，表示汽车尾部在人前方y米,y取负值时,表示汽车的尾部在人后面丨y|米(前面已假设人即使追上了汽车,也一直朝前跑).(甲)把v=4代入(*)式得(TOC\o"1-5"\h\zy=(t-4)2+12(1)y恒大于零,y最小值为12.(乙)把v=6代入(*)式得y=(t-6)2+2(2)y恒大于零,y最小值为2.(丙)把v=7代入(*)式得y=(t-7)(3)容易得出，当t=4,10时,y=0,这表示，如果人一直朝前跑，那么经过4s时,人与汽车尾部平齐,经过10s时,人又一次与汽车的尾部平齐.|结论:(1)如v=4m/s，则人追不上汽车，人跟汽车之间的最小距离为12m.(2)如v=6m/s，则人追不上汽车，人跟汽车之间的最小距离为2m.⑶如v=7m/s，则人经过4s追上汽车.例题8杂技演员表演一手抛接三球的游戏时,三个球都抛过一次后,每一时刻手中最多只有一个球.如果每只球上升的最大高度都为，那么每隔多长时间抛出一个球g取10m/s2.(B)到(C)(D)解:每个球做一次竖直上抛运动的时间是@t=2(2h/g)i/2=2(2x10)1/2=球从这一次被抛出到下一次被抛出，完成一个周期性运动，设周期为T.如果每个球在手中停留的时间趋于零,那么T=t=;如果手中总停留着一个球,一个球停留的时间是t',那么T=t+t'，且t'=(1/3)T那么T=(3/2)t=.<以上考虑的是两个极端情况.实际上VTV在T时间内抛出三个球，每隔T/3的时间抛出一个球：VT/3V,选项(B)正确.请读者考虑：如果每秒钟抛出三个球,那么应使每个球上升多高(答案：到例题9小球A从地面上方H高处自由下落，同时在A的正下方川、球B从地面以初速度v竖直上抛•不计空气阻力•要使A、B发生下述碰撞，v、H应满足什么条件@(甲)在B上升到最高点时相碰;(乙)在B上升的过程中相碰;(丙)在时间T内在空中相碰；(丁)经过时间T时在空中相碰.解:设经过时间t在地面上方h高处相碰.则从开始运动到相碰，小球A发生的位移大小为(H-h),小球B发生的位移大小为h,则：(H-h)=(1/2)gt2h=vt-(1/2)gt2TOC\o"1-5"\h\z由以上两式得t=H/v(1)#时间t应小于B球在空中运动的时间：tV2v/g⑵由(1)(2)得2v2>gH(3)(甲)在最高点相碰：t=v/g(4)由(1)(4)得V2=gH(5)所以v、H应满足(5)式.(乙)时间t应小于B球上升时间：tVv/g(6)由(1)(6)得v2>gH(7)所以v、H应满足(7)式.(丙)t<T(8)由⑴⑻得H<vT⑼所以v、H应满足(3)(9)两式.(丁)t=T(10)由(1)(10)得H=vT(11)所以v、H应同时满足(3)(11)两式.讨论：(11)代入(3)：v>gT/2(12)问题(丁)又可这样回答:v、H应满足(11)(12)两式.从(11)得出v=H/T，代入⑶或(12)可得H>gT2/2(13)问题(丁)还可这样回答:v、H应满足(11)(13)两式.

第三章牛顿运动定律例题1某人在地面上最多能举起32Kg的重物，那么在以2m/s匀加速下降的电梯中，他最多能举起多少Kg的重物g取10m/s2.解:此人能施加的向上的举力大小为F=mig=32x10N=320N在匀加速下降的电梯中,设某人用举力F举起了质量为m2的物体•物体的加速度向下,所以合外力也向下.对这个物体应用牛顿第二定律:m2g-F=m2a【即m2=F/(g-a)把举力大小F=320N,重力加速度大小g=10m/s2，物体加速度大小a=2m/s2代入上式，得m2=40Kg他最多能举起40Kg的物体.例题2一个质量为200g的物体，以初速度v0=20m/s竖直上抛，上升的最大高度为16m.没有风，且假设物体所受空气阻力的大小始&终不变，求物体落回抛出点时的速度大小.g取10m/s2.解:物体受到的空气阻力跟物体相对空气的运动方向相反.因此,在没有风的情况下,物体受到的空气阻力跟物体相对地面的运动方向相反.物体上升时,受到的空气阻力向下;下降时,受到的空气阻力向上•设空气阻力的大小始终为f.物体减速上升时,加速度向下,合外力也向下;加速下降时,加速度向下,合外力也向下.由牛顿第二定律,物体减速上升时,加速度的大小为a1=(mg+f)/mTOC\o"1-5"\h\z即a1=g+f/m(1)加速下降时,加速度的大小为a2=(mg-f)/m即a2=g-f/m(2)由匀变速直线运动公式,上升阶段满足v02=2a1h(3)其中h=16m.下降阶段满足$V2=2a2h(4)+(2):a1+a2=2g(5)+(4):v02+v2=2(a1+a2)h(6)(5)代入(6)得v02+v2=4gh(7)】】代入数据得v=(240)i/2m/s=s例题3木块静止在光滑水平面上,子弹以较大的水平速度v从木块左面射入,从右面射出,木块获得速度u.设子弹对木块的作用力与速度无关•如v增大，则u(A)增大(B)减小(C)不变.思路:首先通过考察子弹相对木块的运动,判断子弹穿行于木块的时间，与子弹的入射速度v有怎样的关系.解:子弹对木块的作用力向前,木块对子弹的作用力向后,这一对作用力是恒定的,在它们的作用下,子弹向前作匀减速直线运动,木块向前作初速度为零的匀加速直线运动.子弹相对木块作匀加速运动.在子弹对木块的作用力与速度无关这个前提下，增大v以后，子弹匀减速运动的加速度仍为原来的值,木块作匀加速运动的加速度也仍为原来的值,从而子弹相对木块的加速度仍为原来的值.增大v以后，子弹穿行于木块期间,子弹相对木块运动的位移仍等于木块的长度.子弹相对木块运动的初速度等于V,增大v,意味着增大子弹相对木块运动的初速度.]所以增大v以后，子弹穿行于木块的时间减少.在较少的时间内,木块作初速度为零的匀加速运动,获得的末速度u就较小.选项(B)正确.例题4如图3-2所示,斜面的倾角为a.质量分别为m】、m2的两木块A、B,用细绳连接•它们与斜面之间的动摩擦因数相同•现在A#上施加一个沿斜面向上的拉力F,使A、B一起向上作匀加速运动.求证细绳上的拉力与卩和a无关.解:设A、B一起运动的加速度为a,对A、B组成的整体应用牛顿第二定律可得:F-(m1+m2)gsina-^(m1+m2)gcosa=(m1+m2)a即F=(m】+m2)gsina+Mm^m/gcosa+^+mJa(1)设细绳上的拉力大小为T,对B应用牛顿第二定律可得：T-m2gsina-^m2gcosa=m2a即T=m2gsina+^m2gcosa+m2a(2)式除以(2)式得F/T=(m1+m2)/m2(3)由(3)式可见,细绳上的拉力决定于拉力F以及两个木块的质量,与动摩擦因数卩以及斜面的倾角a无关.$弹簧开始,到弹簧被压缩到最短的过程中,合力逐渐变小合力先变小后变大速度逐渐变小速度先变小后变大解:小球刚接触到弹簧时,弹簧处于自然状态,弹簧对小球的作用力为零,小球受到的合力等于它受到的重力.在最初一段时间内,小球以自由落体运动的末速度为初速度,继续向下做加速运动.小球向下运动一段适当的位移时(弹簧被压缩适当的长度时),小球弹簧对小球的向上的支持力大小正好等于重力,这时小球的合外力为零.由于小球已经具有了一定的速度,所以还要向下运动.弹簧被压缩的长度增加时,支持力也增大,支持力超过重力,合力向上,所以从合外力为零的时刻以后向下的运动是减速运动.向下的减速运动进行到速度减为零为止.速度减为零时,弹簧被压缩到最短.再以后,小球向上运动,弹簧的长度增加.综上所述,小球从接触到弹簧开始,到弹簧被压缩到最短的过《程中,小球的合外力先是向下,逐渐减小,然后向上,逐渐增大;小球先作加速运动，然后作减速运动•选项(B)正确.例题6如图3-4所示，在水平拉力F的作用下，物体A向右运动，同时物体B匀速上升.可以判断物体A的运动是匀速运动绳子对物体A的拉力逐渐减小水平地面对物体A的支持力逐渐增大(D)水平地面对物体A的摩擦力逐渐减小解:物体A的速度u跟物体B的速度v满足：v=ucos0在V保持不变的情况下,u随着0的变化而变化:物体A的运动不是匀速运动.由物体B匀速运动，可知绳子对物体B的拉力保持不变.绳子对物体A的拉力T的大小总等于绳子对B的拉力，也是不变的.！物体A的受力情况如图3-5所示，将T沿水平方向和竖直方向分解为Tx、Ty,随着0的减小,Tx逐渐增大,Ty逐渐减小.作用于物体A的Ty、支持力N、重力G,三者满足：VT+N=GyN随着Ty的减小而增大.根据f=^N水平地面对物体A的滑动摩擦力f随着N的增大而增大综上所述，选项(C)正确.例题7一质点自倾角为a的斜面上方P点沿光滑的斜槽PB从静止开始下滑，如图3-6所示,为使质点在最短的时间内从P点到达斜面，则斜槽与竖直方向的夹角B应等于.解:如图3-6作PC垂直于斜面,垂足为C.则/CPA=a,ZCPB=a-B•应用牛顿第二定律可得,质点从斜面上下滑时，加速度为a=gcosB应用匀变速直线运动公式可得PB=(1/2)at2即t2=2PB/a=2[PC/cos(a-B)]/(gcosB)即t2=2PC/[gcos(a-B)cosB]当a-B=B,即B=a/2时，t2取最小值,t取最小值，质点在最短的时间内从P点到达斜面.例题8图3-7中A为电磁铁,C为胶木秤盘,A和C(包括支架)的总质量为M,B为铁片，质量为m,整个装置用轻绳悬挂于O点.当电磁铁通电，铁片被吸引上升的过程中，轻绳上拉力F的大小为().F=Mg(B)MgVFV(M+m)gF=(M+m)g(D)F>(M+m)g(1992年高考上海卷试题)解:铁片离开秤盘时,电磁铁对它的向上的拉力一定大于地球对它的重力mg.铁片在上升中，逐渐靠近电磁铁，电磁铁对它向上的(吸引力逐渐增加,仍大于mg.根据牛顿牛顿第三定律,铁片对电磁铁向下的吸引力,电磁铁对铁片的吸引力大小相等，大于mg.A和C组成的系统,受力平衡:绳子施加的拉力，等于系统的重力,与铁片对电磁铁向下的吸引力之和，大于(Mg+mg).选项(D)正确.例题9把一个质量m=4Kg的长方体木块，分割成两个三棱柱形木块A和B,角a=30°，然后再对到一起，放在光滑的水平面上，如【图3-8所示.用大小为8N的水平力F沿图示方向推A,A、B组成的长方体保持原来的形状,沿力的作用方向平动.⑴求A对B的作用力.求A对B的静摩擦力.

http;"in怕lli初Eriu&51,n启t■解:(1)A和B的加速度a,都是沿F方向.B的加速度是A对B的作用$力Q产生的•所以,Q的方向跟F的方向相同，如图3-9所示.对A、B组成的系统应用牛顿第二定律:a=F/m=(8/4)m/s2=2m/s2对B应用牛顿第二定律：Q=(m/2)a=2x2N=4N(2)A对B的作用力Q是A对B的压力N和静摩擦力f的合力(也可以说,Q可以分解为N和f),如图3-10(俯视图)所示.静摩擦力的大小为f=Q/2=2N]例题10如图3-11所示,A和B质量相等均为m,A与B之间的动摩擦因数为片，静摩擦因数为"B与地面之间的动摩擦因数为U3.原来在水平拉力F的作用下,A和B彼此相对静止，相对地面匀速运动(图3-11(a).撤消F后,A和B彼此保持相对静止,相对地面匀减速运动(图3-11(b).则A、B相对地面匀减速运动的过程中,A、B之间的摩擦力的大小为(A^mg(B)|i2mg(C^mg(D)F/2解：B与地面之间的压力支持力大小始终等于A、B两个物体的}}总重力,因此地面对B的滑动摩擦力的大小始终为f=|i3(2mg)A、B匀速运动时,受力平衡:F=fA、B一起以加速度a做减速运动时，对于A、B组成的系统来说，地面对B的滑动摩擦力f就是合外力，等于(2ma);对于A来说,B对A的静摩?擦力J就是合力，等于(ma).于是f1=f/2综合以上三式得:f1=^3mg和f1=F/2本题选(C)(D).说明:因为A、B没有相对运动，所以A、B之间的动摩擦因数人用不到;因为B对A的静摩擦力不一定是最大静摩擦力，所以A、B之间的静摩擦因数匕用不到.例题11如图3-12所示,质量为mA、mB的两个物体A和B用跨过光滑滑轮的细绳相连.A沿倾角为0的斜面向下加速下滑.A、B两物体加速度的大小相同，等于a.楔形物体C的下表面是光滑的•求台阶对C水平方向的作用力的大小.aBcaBc解：如图3-13，将物体A的加速度a沿水平方向和竖直方向分解,水平分加速度为ax=acos0；物体B的加速度是向上的,没有水平分量；滑轮质心的加速度为零.在水平方向上，对由A、B、C以及滑轮，组成的系统，应用质点组牛顿第二定律,有F=mAax.由以上两式得F=mAacos0.例题12如图3-14所示,三个质量相同,形状相同的楔形物体,放在水平地面上.另有三个质量相同的小物体,分别从斜面顶端沿斜面下滑.由于小物体跟斜面间的动摩擦因数不同,第一个小物体匀加速下滑;第二个物体匀速下滑;第三个小物体以一定的初速度匀减速下滑.三个楔形物体都保持静止,水平面对它们的支持力分别为叫、％、N3,则N]=N2=N3(B)N1<N2<N3(C)N1>N2>N3解:楔形物体和小物体组成的系统受到的外力是:水面地面对楔形物体的支持力,地球对楔形物体和小物体的重力,以及水平地面施加于楔形物体的沿着接触面的静摩擦力.小物体匀加速下滑时,加速度沿斜面向下,将加速度向水平方向和竖直方向分解时,竖直方向的分加速度是向下的.根据质点组牛顿第二定律，竖直方向的作用力的合力向下，所以支持力N]小于两者的重力之和.小物体匀速下滑时,加速度为零.支持力N2等于两者的重力之和.小物体减速下滑时,加速度沿斜面向上,将加速度沿水平方向和竖直方向分解时,竖直方向的分加速度向上.根据质点组牛顿第二定律，竖直方向作用力的合力向上，支持力n3大于两者的重力之和.本题选(B).@例题13如图3-15，光滑水平面上有一块木板，质量为M=4Kg,长为L=•木板右端放着一个小滑块，小滑块质量为m=1Kg,尺寸远小于L,与木板之间的动摩擦因数为•原来它们都静止，现在大小为F=28N的水平力向右拉木板，使滑块从木板左端掉下，此力作用时间至少为多长解:根据题意,水平力作用一段时间后,滑块会从左端掉下.这暗示我们,水平力开始作用期间,木板向右的加速度较大,速度较大,¥滑块向右的加速度较小,速度较小.在滑块尚未滑到木板左端时,如水平力停止作用,那么在一段时间内,木板向右的速度仍大于滑块,那么此后经一段时间滑块有可能从左端掉下,那时,木板向右的速度应大于等于木板向右的速度.由此可知,水平力作用适当的一段时间t1后，木板向右的速度比滑块向右的速度大,大适当的数值,然后撤去水平力,当两者的速度正好相等时，滑块从木板左端掉下.t1就是水平力作用的最短时间.向右的水平力F开始作用后，木板除受到这个力外还受到向左的滑块施加的滑动摩擦力f=ymg=4N木板的加速度向右,大小为(F-f)/M=6m/s2滑块受到向右的滑动摩擦力,加速度向右,大小为f/m=4m/s2经时间t1时，撤去水平力F.此后滑块的加速度仍向右，大小仍为《f/m=4m/s2.木板在向左的滑动摩擦力作用下,加速度向左,大小为f/M=1m/s2木板相对于滑块始终向右运动,滑块相对于木板始终向左运动.L0V0下面以木板为参照物,考察滑块在木板上的运动(图3-16).滑块第一阶段作初速度为零的匀加速运动，末速度的大小记为V,第二阶段作匀减速运动,末速度为零.#第一阶段,加速度的大小为a1=6-4=2m/s第二阶段,加速度的大小为a2=4+1=5m/s2根据匀变速直线运动公式,有TOC\o"1-5"\h\zV=a1t1即V=2t1(1)V=a2t2=5t2即V=5t2(2)L=(V/2)(t1+t2)即=V(t1+t2)(3)?由(1)(2(3)得t1=1s使滑块从木板左端掉下,水平力F作用时间至少为1s.例题14如图3-17所示AB两个光滑的梯形木块质量均为m,紧挨着并排放在光滑水平面上•倾角0=60°•欲使A、B在水平推力F作用下，一起加速运动(两者无相对滑动),F不能超过多少解:A受力情况如图3-18所示.A、B之间没有相对滑动，意味着两者的加速度相同，都是沿水平方向，设大小为a.对A应用牛顿第二定律:TOC\o"1-5"\h\zNcos0+P=mg⑴F-NsinB=ma(2)对A、B组成的系统应用牛顿第二定律：F=(m+m)a(3)又N>0(4)\P>0(5)a>0(6)由(2)(3)两式得2F-2Nsin0=F即N=F/(2sin8)(7)将(7)代入(1)得P=mg-(Fctg0)/2(8)mg-Fcos0/(2sin0)>O<F<2mgtg60°F<2x3i/2mg欲使A、B在水平推力F作用下，一起加速运动(两者无相对滑动),F不能超过2x31/2mg.例题15如图3-19所示,楔形物体静止在水平面上,左右斜面都是光滑的,a>B•跨过定滑轮的细绳，系住两个物块，物块保持静止.将细绳切断后,两个滑块运动,楔形物体仍保持静止,此时地面对楔形物体的支持力大小与原来相同地面对楔形物体的支持力比原来小地面对楔形物体有静摩擦力，向左地面对楔形物体有静摩擦力，向右&&解:两个物块的加速度都是沿斜面向下,都有竖直向下的分量,对两个物块和楔形物体组成的系统应用牛顿第二定律可知:对面对#楔形物体的支持力小于三者的重力比原来小.选项(B)正确,(A)错误.原来左边滑块处于静止状态,外力之和为零,所以绳子对左边物块的拉力大小等于m1gsina•原来右边滑块处于静止状态外力之和为零，所以绳子对右边物块的拉力大小等于m2gsinp.而绳子对左边滑块的拉力,大小等于绳子对右边滑块的拉力.所以m1gsina=m2gsinP(1)NN2x图3-20中,左边滑块对楔形物体的压力叫=mucosa这个力的水平向右的分量为Nix=Nisina即N1x=m]gcosasina(2)类似地，右边滑块对楔形物体的压力n2的水平向左的分量为N2x=m2gcosBsinB(3)(7)(7)由a>B可知cosaVcosB(4)将(1)乘以(4)得m]gsinacosaVm2gsinBcosB(5)(6)由(2)(3)(5)可知(6)Nlx<N2x楔形物体保持静止,外力之矢量和应为零:地面对楔形物体的静摩擦力跟N1x、N2x三者之矢量和应为零.所以地面对楔形物体的静摩擦力向右.选项(D)正确,(C)错误.】总之，本题选项(B)(D)正确.例题16如图3-21所示，物体A、B质量分别为m】、m2,叠放在倾角为a的斜面上,A、B之间的静摩擦因数为曲B与斜面之间的动摩擦因数为卩、B保持相对静止，一起加速下滑.人、口2、a相互之间一定满足：^1>^2,tga>^2|i占|i2，tga>|i2？tga>^1>^2tga>^2=^1a解:由物体A和物体B组成的系统,加速度a沿斜面向下，根据牛顿第二定律有：TOC\o"1-5"\h\z(m1+m2)gsina-^2(m1+m2)gcosa=(m1+m2)a即gsina-y2gcosa=a(1)其中a>0(2)由(1)(2)得|i2Vtga(3)物体A受到的静摩擦力f沿斜面向上,对物体A应用牛顿第二定律:m1gsina-f=m1a(4)将(1)代入(4):m1gsina-f=m1gsina-^2m1gcosa即fhi^m^gcosa(5)根据静摩擦因数的定义，物体A受到的最大静摩擦力为frnax=^1m1gcOsa(6)(根据最大静摩擦力的定义有f<fmax由(5)(6)(7)得^2m1gcosa<^1m1gcosa即U2<U1(8)⑶⑻两式是人、禺、a相互之间一定满足的关系式.只有选项正确.>例题17如图3-22所示，物块A的质量为mA,物块B的质量为与小车前表面之间的静摩擦因数为•小车上表面是光滑的.当使用适当的推力使小车以“适当的加速度”向左作加速运动时,A、B都相对小车静止,跟小车一起运动.小车的“适当的加速度”应在什么范围内解：绳子对B的拉力跟绳子对A的拉力大小相等，设为T.小车的适当的加速度，其大小设为a.对物体B应用牛顿第二定律：T=mBa(1)|Fn物体A受力情况如图3-23所示•小车对A的静摩擦力f可以向上，也可以向下，图中表示静摩擦力矢量的字母f可以取正值，也可以取负值，其绝对值不能超过最大静摩擦力：TOC\o"1-5"\h\z-^N<f<^N⑵为以后演算的方便,可把(2)式写为两个不等式：f<|iN⑶)-yN<f(4)对物体A应用牛顿第二定律：N=mAa(5)f+T=mAg(6)将(1)代入(6)可得f=mAg-mBa(7)将(5)(7)代入(3)得mAg-mBa<^mAa即mAg<umAa+mBa于是a>mAg/(^mA+mB)(8)将(5)(7)代入(4)得TOC\o"1-5"\h\z-^mAa<mAg-mBa即mBa-ymAa<mAg即a(mB-|imA)<mAg(9)(甲)若叫-|imA>0则(9)式可化为a<mAg/(mB-^mA)(9a)(乙)若叫-^mA<0则(9)式可化为a>mAg/(mB-^mA)(9b)⑻被满足时,(9b)自然满足.(丙)若(mB-|imA)=0则(9)式自然满足.结论：(一)在叫-ymA>0情况下,a的取值由⑻和(9a)的交集确定,即mAg/(^mA+mB)<a<mAg/(mB-^mA)在叫-ymA<0情况下,a的取值由⑻和(9b)的交集确定，即a>mAg/(^mA+mB)在叫-ymA=0情况下,a的取值由⑻确定，即a>mAg/(^mA+mB)以上(二)(三)两条可以合并.%例题18如图3-24所示,两斜面高都是h,倾角分别为a、B,a<B.滑块1,与左边斜面之间的动摩擦因数为人,从顶端由静止而下滑，经过时间J滑到底端，滑到底端时速度大小为％滑块2,与右边的斜面之间的动摩擦因数为匕,从顶端由静止而下滑，经过时间t2滑到底端，滑到底端时速度大小为v2.若已知V]=v2，那么可知t]>t2若已知人=14，那么可知V]=v2若已知t]=t2，那么可知屮禺若已知人<14，那么可知t]=t2解:作一般化考虑:斜面高为h,倾角为x,滑块与斜面之间的动摩擦因数为匕从顶端由静止而下滑，经过时间t滑到底端，滑到底端时速度大小为v.在分析受力情况的基础上,根据牛顿第二定律,不难得出,滑块的加速度为a=gsinx-ygcosx(1)由匀变速直线运动的公式得TOC\o"1-5"\h\zh/sinx=(1/2)vt(2)h/sinx=(1/2)at2(3)V2=2ah/sinx(4)(甲)由(2)可知，在v相同的情况下，倾角x越大，时间t越短.(乙)将(1)代入(4)得V2=2gh(1-|ictgx)⑸由⑸可知，在U相同的情况下，对于不同的倾角X,速度V不同.选项|⑻不对.(丙)由(1)(3)得h/sinx=(1/2)(gsinx-^gcosx)t2(6)即2h/(t2sinx)=gsinx-ygcosx即2h/(gt2sinxcosx)=sinx/cosx-y即|i=tgx[1-2h/(gt2sin2x)]⑺由⑺式可知，在t相同的情况下，锐角x越大，动摩擦因数卩越大.选项(C)正确.(丁)由(6)可知，时间t跟倾角x和动摩擦因数卩有关，当x分别取a和B时，不可能对于满足人<卩2的所有的人、口2,时间t总相同.选项(D)不对.总之，选项(A)(C)正确.例题19在光滑的水平面上，放着两块长度相同、质量分别为M]和m2的木板，在两木板的左端各放一个大小形状质量完全相同的物块,如图3-25所示.开始时各物皆静止.今在两物块上分别作用水平#恒力F]和F2,当物块与木板分离时，两木板的速度分别为V]和v2.物块与两木板之间的动摩擦因数相同.下列说法中正确的是()若F1=F2,M1>M2,^V]>v2若F1=F2,M1<M2,^v1>v2若F1>F2,M1=M2,^v1>v2若F1<F2,M1=M2,^v1>v2(1991高考上海卷试题)解:对某一木板和上面的木块作一般化考虑.木块在向右的水\平恒力和向左的滑动摩擦力的作用下,向右做初速度为零的匀加速运动(加速度记为a).木板在向右的滑动摩擦力作用下，向右做初速度为零的匀加速运动(加速度记为A).设木板长度为I,木块从开始运动到离开木板所用的时间为t:

(1/2)at2-(1/2)At2=l即t2=2l/(a-A)(1)从(1)式可知,a—定的情况下,A越小，则t越小;A—定的情况下,a越大,则t越小.木块离开木板时速度为v:v=At(2)对木板应用牛顿第二定律可知，木板质量M影响A:M越大,A越小.对木块应用牛顿第二定律可知,F影响a,F越大,a越大.在F—定的前提下,M比较大，则A比较小,t比较小，从而v比较小.所以(A)是错误的,(B)是正确的.在M—定的前提下,F比较大，则a比较大,t比较小，从而v比较小.所以(C)是错误的,(D)是正确的.例题20如图3-26所示，两块木块A和B,质量分别为mA和mB,紧挨着并排放在水平桌面上,A、B间的接触面垂直于图中纸面且与水平成9角.A、B之间的接触面是光滑的,A、B与水平桌面间有摩擦，静摩擦因数和动摩擦因数均为开始时A、B都静止，现施一水平推力F于A.要使A、B向右加速运动且A、B之间不发生相对滑动，则卩和F之间应满足什么关系(不要求考虑为避免转动而需要满足的关系.)(第八届全国中学生物理竞赛预赛试题,提问部分有改动.)Ym阳Ym阳(a)吆十％g(c){{解:A受力情况,B受力情况,A和B组成的系统的受力情况，如图3-27所示.A、B之间没有相对滑动，意味着两者的加速度相同，都是沿水平方向，设大小为a.对A应用牛顿第二定律：TOC\o"1-5"\h\zNcos0+P=mAg⑴F-^(mAg-Ncos0)-Nsin0=mAa(2)对B应用牛顿第二定律：Nsin0-u(mg+Ncos0)=mDa(3)BB$对A、B组成的系统应用牛顿第二定律：F-u(mA+mB)g=(mA+mB)a(4)又N>0(5)P>0(6)a>0(7)此外还有F>0,曲0等等,为简洁起见,后面利用它们时不加说明.TOC\o"1-5"\h\z由(2)(3)(4)式中的任意两式可得N(m+m)(sin0-^cos0)=mF(8)ABB于是Ncose=mBF/[(mA+mB)(tge-|i)](9)⑴式减⑼式:P=mAg-mBF/[(mA+mB)(tge-|i)](10)由(5)(9)两式得iiVtgB(11)由(6)(10)两式得mBF/[(mA+mB)(tg0-^)]<mAg(12)在(11)式所表达的条件下,[(mA+mB)(tge-|i)]/mB是正值，在(12)式等号两边同乘以这个正值,得F<(mA/mB)(mA+mB)g(tge-|i)(13)\由(4)(7)两式可得F>|i(mA+mB)g(14)综合(13)(14)两式:|i(mA+mB)gVF<(mA/mB)(mA+mB)g(tge-|i)(15)(15)式就是u和F应满足的关系•对于不同的F,u可以取的数值的范围不同;对于不同的u,F可以取的数值的范围不同.讨论:式也可表为u<tg0-mB/[mA(mA+mB)g](16)卩满足(16)式时自然满足(11).式也可表为U<F/[(mA+mB)g(17)所以,本题也可以这样回答:u和F应满足的关系是(16)(17)两式.为使(15)式合理,应有U(mA+mB)g<(mA/mB)(mA+mB)g(tg0-u)即U<[mA/(mA+mB)]tg0(18)为使(16)式合理,应有tg0-mBF/[mA(mA+mB)g]>O即F<(mA/mB)(mA+mB)gtge(19)(18)式只能说是的数值应满足必要条件；(19)式只能说是F的数值应满足的必要条件.第四章曲线运动例题1雨点以4m/s的速度竖直下落，人以3m/s的速度向东前进,那么雨点相对人的速度如何解：雨点相对地面的速度记为V雨地，人相对地面的速度记为(V，地面相对人的速度记为V，雨点相对人的速度记为V人地地人雨人.如图4-3所示,根据相对速度关系有雨人雨地地人三个速度的大小具有以下关系v=VV2+V2雨人雨地地人把V雨地=4m/s,v=v=3m/s代入，解得雨地地人人地v=5m/s雨地]另外,e=37°答:雨点相对人的速度，沿竖直向下偏西37°，大小为5m/s.雨点从前面斜向下打向人.例题2如图4-4所示，河宽l=100m,流速V]=5m/s.—只船在河的正中航行,行至图示位置(小圆圈表示船)，发现下游s=100m处有

瀑布•小船相对水的速度v2至少多大,才能安全靠岸(如图4-5,船相对河岸的速度与水流方向的夹角a必须大于等于e,才能安全靠岸：sina>sin0(1)其中sinB=50/V502+1002=1/V5(2)由正弦定理得v2/sina=V]/sinB即v2=V]Sina/sinB(3)}又sin^<1(4)由(1)(3)(4)得v2>V]Sine代入数据得v2>V5即v2>s小船相对水的速度应大于s,才能安全靠岸.例题3有两面垂直于地面的光滑墙A、B,两墙间隔为1=,！从h=高处A墙附近，以大小为5m/s的速度，水平向右抛出一小球，小球交替跟B墙和A墙碰撞，最后落地.设小球与墙壁的碰撞是完全弹性的,则小球落地前与墙壁碰撞多少次解:小球与墙壁作完全弹性碰撞,设碰撞时间极短,那么碰撞前后,速度的竖直分量不变水平分量方向反过来,大小不变.从抛出到落地,小球在竖直方向上的分运动是自由落体运动;在水平方向上的分运动是若干段向右的和向左的匀速运动,各段匀速运动的速度大小相等,等于5m/s.!由自由落体运动公式得运动时间为t=V2h/g=2s水平分运动的路程为s=vt=5x2=10m即s=9x+小球落地前与墙壁碰撞9次.例题4如图4-6所示，在高H处川、球A以速度V]水平抛出，与此同时,地面上,小球B以速度v2竖直上抛,两球在空中相遇.则从它们抛出到相遇所需的时间是H/v]从它们抛出到相遇所需的时间是H/v2两球抛出时的水平距离为Hv/v2两球抛出时的水平距离为Hv2/V]解:相遇时A球下降的距离跟B球上升的距离之和应等于H,设从¥抛出到相遇经历的时间为t,则(1/2)gt2+[v2t-(1/2)gt2]=H即v2t=H所以t=H/v2两球抛出时的水平距离X,等于从抛出到相遇甲球水平方向的分位移:X=v1t=Hv1/v2选项(B)(C)正确.|例题5一小球以初速度V。水平抛出，落地速度为v.不计空气阻力.求小球在此期间位移的大小.解:平抛运动中水平分速度保持不变始终等于v0.如图4-7,落地速度可分解为水平分速度V。和竖直分速度vy：TOC\o"1-5"\h\z▼2=乍+七2⑴竖直分运动是自由落体运动,运动时间为t=vy/g⑵竖直方向的分位移为Sy=Vy2/(2g)(3)水平分位移为sx=vot(4)小球的位移S满足：S2=Sx2+Sy2⑸将(3)(4)两式代入(5)式：(S2=V02t2+(Vy2)2/(4g2)(6)将(2)式代入(6)式：S2=V02Vy2/g2+(Vy2)2/(4g2)即S2=(4V02+Vy2)Vy2/(4g2)(7)从(1)式得Vy2=V2-V02(8)将(8)式代入(7)式:S2=(3V02+V2)(V2-V02)/(4g2)于是S=V(3V02+V2)(V2-V02)/(2g)例题6看电影时,常发现银幕上小轿车虽然在开动,但其车轮似乎并不转动.设车轮的正面形状如图4-8所示,请通过估算来判断此时小轿车行进的速度与你百米短跑的平均速度哪个大解:放映电影时,每1秒钟,银幕上依次出现24幅画面,即每隔1/24秒,更换一幅画面.车轮看起来不动,这意味着,各幅画面基本相同,意味着在1/24秒钟的时间内,轮子转动了1/3周,或2/3周,1周,4/3周••••••.在1/24秒的时间内，轮子至少转到了1/3周,也就是，在1/8秒的时间内,轮子至少转过了1周.轮子的周长可估计为2米.在1/8秒的时间内,小轿车至少行进了2米.所以小轿车的速度至少为V=2m/[(1/8)s]=16m/s国家级运动员百米短跑大约需要10s，平均速度大约为10m/s,中学生百米短跑的平均速度为8m/s左右.本题所述小轿车之速度,大于人们百米短跑的速度.例题7图4-9表示近似测量子弹速度的装置,在一个水平转轴的一端焊上薄壁圆筒，圆筒的半径为R,每分钟转n转•一颗子弹沿圆筒的水平直径方向由A点射入圆筒，在圆筒转过不到半圈时从圆筒上B点射出.可认为子弹在穿壁时、在飞行中保持匀速直线运动.已知圆弧AB所对的圆心角为8写出子弹速度的计算式.

解:观察图4-9和图4-10可知,子弹从一边射入,从另一边射出,在此期间，圆筒转过的角度为(n£).根据题意，在60s内，圆筒转/过的角度是2nn.由此可算出经历的时间为t=60(n£)/(2nn)子弹作匀速直线运动的速度为所以v所以v=2R/tv=nnR/[15(n-0)]例题8如图4-11，有三个质量均为m的小球A、B、C,固定在轻杆上,OA=AB=BC=L,杆以O为圆心，以角速度⑴在光滑水平面上匀速旋转.杆OA、AB、BC上的拉力大小之比如何解:小球A、B、C的向心加速度都是指向0,大小分别为aA=W2L,aB=W2(2L),aC=w2(3L).轻杆0A、AB、BC上的拉力分别记为J、T2、T3.对小球A、B、C组成的系统,应用质点组牛顿第二定律,T=mav+ma3+ma,=6m⑴2LABC对小球B、C组成的系统,应用质点组牛顿第二定律，T=ma+ma=5m⑴2LBC对小球C应用牛顿第二定律,T3=maC=3mw2L所以T］：T2：T3=6:5:3例题9质量为2Kg的小球沿竖直平面内的半径为2m的圆轨道做变速圆周运动，如图4-12所示，经过A点时速度为10m/s.求小球经过A点时向心加速度的大小切向加速度的大小加速度的大小合外力的大小解:应用向心加速度公式:a/心=v2/r=102/2=50m/s2如图4-13，将重力沿半径方向和切线方向分解为G］、G2:G]=mgcos30°G2=mgsin30°在切线方向应用牛顿第二定律:a=G“/m=5m/s2切2}⑶a=Va2+a2心切=V502+52=V2525=S2(4)应用牛顿第二定律:F合=ma=2x=例题10如图4-14所示,一物体m从曲面上的Q点自由滑下，滑至传送带时速度为v,然后沿着粗糙的传送带向右运动,最后落到地面上.已知在传送带不动的情况下,落地点是P点.若皮带轮带着传送带以大于v速度向右匀速运动，那么物体的落地点在P点右边若皮带轮带着传送带以等于v的速度向右匀速运动，那么物体的落地点在P点右边若皮带轮带着传送带以小于v的速度向右匀速运动，那么物体的落地点在P点左边(若皮带轮带着传送带向左匀速运动，那么物体的落地点在P点解:传送带不动时,对向右运动的物体的滑动摩擦力向左,物体做匀减速运动.离开传送带时的速度记为u.如传送带向右运动的速度大于v,那么传送带相对物体向右运动,对物体施加向右的滑动摩擦力,使物体向右匀加速运动.匀加速运动进行到物体离开传送带为止,或者进行到物体的速度达到传送带的速度为止,物体接下去随传送带匀速运动.物体离开传送带时,[速度大于u,落地点在P点右边.选项(A)正确.如传送带向右的速度等于v,那么物体沿着传送带做匀速运动，落地点也在P点右边•选项(B)正确.如传送带向右的速度小于v,那么传送带相对物体向左运动，传送带对物体的滑动摩擦力向左,使物体做匀减速运动.匀减速运动进行到物体离开传送带为止,或者进行到物体的速度减至传送带的速度为止,物体接下去随传送带匀速运动.物体离开传送带时的速度等于u或者大于u,落地点在P点或者P点右边.选项(C)错误.如传送带向左运动,那么传送带相对物体向左运动,传送带对物体的滑动摩擦力向左,使物体向右作匀减速运动,直到离开传送带.物体离开传送带时的速度等于u,落地点在P点.选项(D)正确.总之，选项(A)(B)(D)正确.例题11一个质量m=20Kg的钢件，架在两根完全相同的、平行的长直圆柱上，如图4-15所示.钢件的重心与两柱等距.两柱的轴线在同一水平面内.圆柱的半径r=，钢件与圆柱间的(动摩擦因数卩=.两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的转动，角速度s=40rad/s.若沿平行于柱轴的方向施力，推着钢件作速度为v0=s的匀速运动，推力是多大设钢件左右受光滑导轨限制(图中未画出),不发生横向运动.(第二届全国中学生物理竞赛预赛试题第二部分第六题)

解:每根圆柱所受的压力等于mg/2,每根圆柱对钢件的滑动摩擦力为f=ymg/2=20N.f的方向,应该跟圆柱的和钢件接触的部分,相对钢件的速度的方向相同.以钢件为参照物,圆柱的与钢件接触的部分,一方面有向左的速度,大小为v严，另一方面有横向速度,大小为)V2=wr=1m/s,如图4-16，圆柱的与钢件接触的部分的速度与轴线方向的夹角e满足ctge=v1/v2=i=,从而cose=.f跟轴线的夹角也是e.所以f的沿轴线方向的分量为f«=fcose=1N.在地面坐标系中,钢件匀速运动,所以,[F=2f轴=2N・例题12图4-16中M、N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R，内筒半径比R小得多，可以忽略不计，筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空,两筒以相同的角速度⑴绕其中心轴线(图中垂直于纸面)作匀速转动•设从N筒内部可以通过窄缝s(与M筒的轴线平行)不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒•从s处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上，如果R、v1和v2都不变，而⑴取某一合适的值,则()•有可能使微粒落在N筒上的位置都在a处一条与s缝平行的窄条上有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如b处一条与s缝平行的窄条上有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如b处和c处与s缝平行的窄条上只要时间足够长,N筒上将到处有微粒(1987年高考全国卷试题)（设微粒的初速度如果足够大,以至微粒在两筒之间小范围的运动可以看成直线运动.引者加.）分析:微粒从M筒射到N筒的运动,在地面参考系中是直线运动,在圆筒参考系中不是直线运动,而且不是容易研究的曲线运动.所以适合采用地面参考系,考虑这个问题.解:微粒初速度是沿着半径方向的,如果内外两个圆筒都是静止的，那么微粒都落在N筒上a处窄条上.微粒初速度是沿着半径方向的,在某个微粒从M筒运动到N筒的时间内:如果N筒正好运动1周、2周、3周等等，那么这个微粒仍将落在a处，如果N筒运动整数圈加上0角，那么微粒在N筒上的落点，跟s点之间的圆弧的圆心角为0.速度大小相等的若干微粒,运动时间都相等,各微粒运动期间,圆筒转过的角度都相同,落点跟s点之间的圆弧的圆心角都相同，将落在同一窄条上.如果J适当,使得以V］射出的微粒运动期间，圆筒转过整数圈，如果v2适当,使得以v2射出的微粒运动期间，圆筒也转过整数圈（两个整数不相等）,那么所有微粒都落在a处•于是选项（A）正确.如果％适当,使得以％射出的微粒运动期间，圆筒转过整数圈加上角度e,如果v2适当,使得以v2射出的微粒运动期间，圆筒转过整数圈（两个整数不相等）加上角度0,那么所有微粒都落在同一窄条上，比如b处•于是选项（B）正确.如果J适当,使得以V］射出的微粒运动期间，圆筒转过整数圈加上角度e如果v2适当,使得以v2射出的微粒运动期间，圆筒转过整数圈（两个整数不相等）加上角度e2,e2^e1,那么所有微粒

都落在两个不重合的窄条上，比如b处和c处.于是选项(C)正确.总之,选项(A)(B)(C)正确，选项(D)错误.第五章万有引力定律例题1对于太阳的九大行星来说,轨道半径较大的,周期较大.冥王星绕太阳运动的轨道半径约为地球绕太阳运动轨道半径的40倍,它绕太阳运动一周需要年.解:设太阳质量为m,某行星(冥王星或地球)质量为m,绕太阳公转的轨道半径为r.转的轨道半径为r.根据万有引力定律、牛顿第二定律、向心加速度公式可得GMm/r2=m・4n2r/T2T2=4n2r3/(GM)所以所以T所以T冥2/12=403所以=40x(40)1/2年=40x=250年所以例题2.以下关于地球同步通信卫星的说法正确的是(采用地心-恒星参考系):(A)所有的同步卫星都在赤道平面内一个圆周上同步卫星的速度大于地面的速度同步卫星的速度大于第一宇宙速度(D)同步卫星的周期等于一个恒星日(D)同步卫星的周期等于一个恒星日[]解:同步卫星和地面作圆周运动的周期是相同的,角速度是相同的,由v=2nr/T或v=wr可知,同步卫星的速度大于地面的速度.本题选项(A)(B)(D)正确.例题3假设火星和地球都是球体,火星的质量M火和地球的质火量M地之比为p,火星的半径R火和地球的半径R地之比为q,那么火星表面处的引力加速度和地球表面处的引力加速度之比等于p/q2(B)pq2(C)p/q(D)pq(1981年高考全国卷试题)解:质量为m的物体放在质量为M半径为R的行星附近，受到的万有引力为F=GMm/R2《引力加速度等于引力跟物体质量的比值:g=F/m=GM/R2由此可见，引力加速度跟行星的质量M成正比，跟行星半径的平方R2成反比.所以g/ga=p/q2选项(A)正确例题4月球公转周期为匚,速度为vi;同步通信卫星的周期为T2，速度为v2;靠近地面运行的卫星的周期为T3,速度为v3•则V1：V2：V3=解:设地球质量为M,某卫星质量为m,绕地球公转的轨道半径为r.根据万有引力定律、牛顿第二定律、向心加速度公式可得GMm/r2=mv2/rTOC\o"1-5"\h\z即GM=V2r(1)又v=2nr/T即r=vT/(2n)(2)#将(2)式代入(1)式:2nGM=V3T所以v=(2nGM)1/3/Ti/3于是v1:v2:v3=T1-1/3:T2-1/3:T3-1/3v1:v2:v3=(T2T3)1/3:(T1T3)1/3:(T1T2)1/3例题5(1)已知地球质量为M,引力常量为G,在地心-恒星坐标系中，地球自转周期为T.求同步卫星离地心的距离.⑵已知地球半径为R,在地心-恒星坐标系中，地球自转周期为于是于是r=(T2/T02)i/3RT,贴近地球运行的卫星的周期为T0•求同步卫星离地心的距离.已知地球半径为R,地面附近引力场强度约等于地面附近重力加速度g,在地心-恒星坐标系中地球自转周期为T.求同步卫星离地心的距离.解：(1)设同步卫星离地心的距离为r.地球对同步卫星的万有]引力F产生向心加速度a:F=ma而F=GMm/r2a=sr=4n2r/T2所以GMm/r2=4n2mr/T2即GMT2=4n2r3于是r=[GMT2/(4n2)]i/3同步卫星的运行周期等于地球的自转周期T.设同步卫星离(地心的距离为r.由GMm/r2=4n2mr/T2可以得到GMT2=4n2r3类似地,贴近地球运行的卫星满足GMT02=4n2R3由以上两式可得T2/T02=r3/R3同步卫星的运行周期等于地球自转的周期T.设同步卫星离地球的距离为r.则GMm/r2=4n2mr/T2即r=[GMT2/(4n2)]i/3(1)又g=F/m1=(GMm1/R2)/m1即g=GM/R2即GM=gR2(2)将(2)式代入(1)式可得r=[gR2T2/(4n2)]1/3例题6若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内,且均为正圆,又知这两种转动同向,如图5-1所示.月相变化的周期为天(图1是相继两次满月时,月、地、日相对位置的示意图).求:月球绕地球一周所用的时间T(因月球总是一面朝向地球,故T恰是月球自转周期).(一九九八年普通高等学校招收保送生综合能力测试题)解:地球在i回归年即天内公转一周,所以图中角度e为0=2nx(1)在天中月球公转的角度是(2n+e)，所以T/=2n/(2n+e)(2)将(1)式代入(2)式,整理可得T=x+天=天第六章物体的平衡例题1有一密度为P],半径为r的半球体放在盛有密度为p2的液体的容器底部,它与容器底部紧密接触,如图6-1所示,若液体深度为h,液体上方大气压强为p0,则半球体对容器底部的压力大小为解:密度为P]的半球体，可以想象为密度为p2的半球体，与密/度为(P]-P2)的半球体重合于一体.半球体和它正上方的液体组成一个圆柱体.这个圆柱体的重力，等于密度为p2的圆柱体的重力，加上密度为(P]-P2)的半球体的重力：G=nr2hp2g+(2/3)nr3(p1-p2)g圆柱体在竖直方向除了受到重力G以外，还受到容器底部施加的向上的支持力N,和大气施加的向下的压力F,其中F=nr2p0这三个力平衡：\N=G+F根据牛顿第三定律，半球体对容器底部的压力N',大小等于容器底部对半球体的支持力N:N'=N由以上四式得,半球体对容器底部的压力等于N'=nr2(p0+p2gh)+(2/3)ngr3(p1-p2)例题2如图6-2,在水平路面上,用绳子拉一只箱子,箱子匀速向右!移动.箱子受到的四个力.TOC\o"1-5"\h\z重力和支持力的合力,方向为;拉力和滑动摩擦力的合力,方向为;重力、支持力、拉力的合力,方向为;重力、支持力、滑动摩擦力的合力,方向为.解:(1)重力大于支持力,二力的合力竖直向下;(2)拉力和滑动摩擦力的合力,应该跟重力和支持力的合力方向相反:竖直向上.(3)重力、支持力、拉力三力的合力,应该跟滑动摩擦力方向相反:水平向右.重力、支持力、滑动摩擦力三力的合力,应该跟拉力方向相反:向左下方,与水平方向成37°角.例题3如图6-3所示，两木块叠放在水平面上，甲受到力F］的作用,乙受到F2的作用,F］和F2大小相等,a=B•两木块都静止不动.？甲对乙有向右的静摩擦力乙对水平面有向左的静摩擦力乙对水平面有向右的静摩擦力乙对水平面没有静摩擦力解:甲处于静止状态，外力的矢量和应为零•作用于甲的F］的水平分量向右，所以，乙对甲一定有向左的静摩擦力•于是甲对乙一定有向右的静摩擦力.【对甲乙组成系统,处于静止状态，外力之和应为零.系统肯定受到的外力有:竖直向下的重力G,地面施加的竖直向上的支持力N,F1,F2•其中F］、F2之和为零,G和N之和可以为零.所以地面对乙的静摩擦力不存在.选项(A)(D)正确.例题4用细线把两个质量未知的小球悬挂起来P点是绳子的结点，如图6-4所示.今对小球a持续施加一个向左偏下30°的恒力，并对>

小球b持续施加一个向右偏上30°的同样大的恒力,最后达到平衡,表示平衡状态的可能是图6-5中的哪个图解:小球a、b静止时，两小球及它们之间的细线组成的系统，外力矢量和应为零.系统受到的向左偏下30°的恒力和向右偏上30°的恒力矢量和为零,因此其它外力矢量和应为零:两小球的重力是竖直向下的，所以上方的细线对a球的拉力应竖直向上.所以小球a上方的细线应沿竖直方向,表示平衡状态的图只可能是(A)图.例题5如图6-6所示,质量为M］和M2的两个物块处于静止状态,若不计绳子质量、滑轮质量,不计摩擦,那么下列描述正确的是(A)M1大于M2/2⑻M］等于M2/2当M1稍许增加时，角度a将增大，然后仍能处于静止状态当M2稍许减少时，角度a将增大，然后仍能处于静止状态()

%解:动滑轮和附近的绳子组成的系统受到三个力:向左上方的拉力，向右上方的拉力，向下的拉力•前两个力的大小都等于M^，第三个力等于M2g•系统静止时，三个力的合力应为零•选项(A)(C)(D)正确.例题6如图6-7a所示，曲杆AOB,右部BO的延长线跟左部OA的夹角为0,0小于45°，曲杆处于静止状态，其中右部BO水平，左边悬挂的重物的质量为m】.如图6-7b所示，把左边的重物换为质量为m2的重物后，*曲杆逆时针旋转某个角度a,a小于45°，重新达到静止状态.设曲杆所受重力对O点的力矩可以忽略，则解:在图6-7a中，重力m】g对O点的力矩大小等于重力mg对O点的力矩:m1gAOcos0=mgBO(1)在图6-7b中，重力m2g对O点的力矩大小等于重力mg对O点的力矩：m2gAOcos(e+a)=mgBOcosa(2)(1)除以(2)得m1/m2=cos(0+a)/(cos0cosa)即m】/m2=[cos8cosa-sinesina]/(cosecosa)<1所以m2>m1选项(C)正确.讨论:如果曲杆所受重力对O点的力矩不可以忽略，那么上面的等式不成立，但仍可得到选项(C)这个结果.杆秤的杆子是直的,但支点O、悬挂待称重物的绳子的悬挂点A、悬挂称砣的绳子的悬挂点三者不在一条直线上,而是跟本题情景相似,因此本题的考察在一定程度上适合于杆秤:秤梢翘得高,购物者得到便宜.例题7如图6-8所示，两个球由一根细线相连,悬浮在液体中.球1和球2的体积分别为V1和V2,密度分别为p1和p2,p1<p2•求绳中张力.解:球1受到的的重力为Gi=P]gVi球2受到的重力为G2=P2gV2设液体的密度为p,根据阿基米德定律，球1受到的浮力为F1=PgV1球2受到的浮力为F2=PgV2两个球和细线组成的系统受到的重力和浮力相平衡:P1gV1+P2gV2=PgV1+PgV2(1)球1受到的重力、浮力、细线施加的拉力T相平衡：TOC\o"1-5"\h\zP1gV1+T=PgV1(2)(2)除以(1)得P1gV1+TV1P1gV1+P2gV2V1+V2于是得出绳中张力大小为T=(P1gV1+P2gV2)V1/(V1+V2)-P1gV1例题8如图6-9，两支杆子AB和CD的长度分别为a、b,质量都是均匀分布的，每米长的杆子质量为m.杆子是光滑的，盒子内表面也是光滑的•两杆的下端与盒底可认为交于同一点，即B点和C点可认为重合•杆子在图示位置处于静止状态•试求角度a、B之间的关系.解:图6-10画出了杆子AB和CD组成的系统受到的全部外力.夕卜力的矢量和应为零,所以N=N'(1)杆子AB受到的各力对B点的顺时针的总力矩应等于逆时针的总力矩:Nasina=amg(a/2)cosa即tga=mga/(2N)(2)类似地，杆子CD受到的各力对C点的顺时针的总力矩应等于逆时针的总力矩.可得tgB=mgb/(2N')(3)由(1)(2)(3)式得tga/tgB=a/b例题9长度为L的砖叠放在地面上,上面一块相对下面一块伸出(1/10)L，如图6-11所示.求在水平地面上最多可以堆多少块而不翻倒

解:设底层砖上面可以放n块砖,0点是这n块砖的联合重心•则TOC