太原五中2020届高三第一次模拟（4月）数学（文）试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精山西省太原五中2020届高三第一次模拟（4月）数学（文）试题含解析2020年高考数学（4月份）模拟试卷(文科)一、选择题（共12小题)。1。已知集合，，则()A. B. C. D。【答案】B【解析】【分析】首先求出集合，再根据补集的定义计算可得;【详解】解：因为，，所以，故选：B。【点睛】本题考查集合的运算,属于基础题。2。若，则()A。 B。 C. D。【答案】D【解析】【详解】由题意可得：，且：，据此有：.本题选择D选项.3.已知非零向量满足，且，则与的夹角为（)A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，求得与的夹角的值．【详解】，即。，.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量垂直的性质，属于基础题．4。若，则（)A。 B。 C。1 D。【答案】A【解析】试题分析：由，得或，所以，故选A．【考点】同角三角函数间的基本关系,倍角公式．【方法点拨】三角函数求值:①“给角求值"将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角,进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．5。已知双曲线的左右焦点为,,点为双曲线上任意一点，则的最小值为（)A.1 B. C。2 D.3【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义,设点在双曲线右支上,则，设,再根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：由题意知,，，不妨设点在双曲线右支上，则，设，所以，所以当时，的值最小，最小为1,故选:A。【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，二次函数的性质，考查转化思想，属于基础题。6.以下四个命题中,真命题的个数是（）①若，则，中至少有一个不小于；②是的充要条件；③；④函数是奇函数，则的图像关于对称.A.0 B.1 C。2 D。3【答案】D【解析】【分析】利用逆否命题的真假判断①的正误；由可得,反之不成立,取即可判断；利用全称命题直接判断③的正误即可；利用函数的奇偶性以及对称性说明④的正误。【详解】解：对于①，逆否命题为：，都小于1,则是真命题所以原命题是真命题对于②,，反之不成立，取，不能说,所以②是假命题；对于③，，,；显然是真命题;对于④,函数是奇函数,函数的对称中心为，则的图象是的图象向右平移1个单位得到的，所以关于对称．是真命题；故选:．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查向量的数量积与垂直的关系,函数的对称性,充要条件，是基础题．7。执行如图所示的程序框图。则输出的所有点（）A.都在函数的图象上 B.都在函数的图象上C。都在函数的图象上 D.都在函数的图象上【答案】C【解析】【分析】列出循环的每一步，根据输出的点的坐标可判断出点符合哪一个函数的解析式.【详解】开始：,，进行循环：输出，，，输出，,，输出,，，输出，，，因为，退出循环，则输出的所有点、、、都在函数的图象上。故选：C。【点睛】本题主要考查了直到型循环结构,根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型,处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模.8.已知函数满足:且．（)A.若，则 B.若，则C.若，则 D。若，则【答案】B【解析】【详解】可设，则f（x）满足题意.易知但1＞−5，排除A。但2＜3,排除C。排除D。故选B。9。函数（）的图象大致形状是（）A。 B。 C. D.【答案】C【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x＞0时，f(x)＝logax（0＜a＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f（﹣x）＝﹣f（x）,所以函数是奇函数,图象关于原点对称，排除B、D；x＞0时，f(x）＝logax(0＜a＜1）是单调减函数，排除A．故选C．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．10。已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是(）A。 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列和等比数列的性质求出，的值，代入得答案。【详解】在等差数列中，由,得，，，在等比数列中，由，得，，，则.故选：D。【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合应用,考查等差数列与等比数列的性质，训练了三角函数值的求法，是中档题。11.抛物线的焦点为，点是抛物线上的点，为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切,则该圆面积为(）A。 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意可得的外接圆的圆心一定在抛物线上，且圆心在的垂直平分线上，所以，从而求出外接圆的半径以及圆的面积；【详解】解：因为的外接圆与抛物线的准线相切，所以的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，则的外接圆的圆心一定在抛物线上.又因为圆心在的垂直平分线上，，,则此外接圆的半径,故此外接圆的面积，故选：C。【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质,直线与圆的位置关系，属于中档题.12。如图,网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(）A.14 B. C. D.【答案】D【解析】【详解】还原三视图如下：其表面积为故选二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分）13。若样本数据、、、的平均数为，则数据、、、,的平均数为_____。【答案】【解析】【分析】利用平均数公式可求得结果.【详解】因为样本数据、、、的平均数为，则，所以数据、、、的平均数为，故答案为：。【点睛】本题考查平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.14.已知,满足约束条件,若的最大值为，则__________．【答案】【解析】分析】画出可行域，当直线的截距最大时，取得最大值，若，则目标函数在点取得最大值，若，则目标函数在点取得最大值，分别求解即可得到答案．【详解】画出，满足的可行域（见下图阴影部分),目标函数可化为，若，则目标函数在点取得最大值,解方程，得，则，解得,不满足题意；若,则目标函数在点取得最大值，解方程,得，则,解得,满足题意．故答案为2。【点睛】本题考查了目标函数含参的线性规划问题，属于中档题．15。函数的图象向右平移个单位后与原函数的图象关于轴对称，则的最小正值是_____.【答案】【解析】【分析】求出图象变换后的函数解析式，结合所得函数图象关于轴对称，可得出关于的等式，即可求得的最小正值。【详解】函数的图象向右平移个单位后与原函数的图象关于轴对称,则平移后函数的解析式为,，,当时，取得最小正值，此时，因此，的最小正值为。故答案:.【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换以及函数图象的对称性,考查推理能力，属于中等题。16.已知，若满足有四个，则的取值范围为_____.【答案】【解析】【分析】满足的有个，等价于方程有个根,设,利用导数得到函数的单调性和极值,画出函数的大致图象，再利用函数图象的变换得到函数的大致图象,要使方程有个根，则方程应有两个不等的实根,根据图象得出这两根的范围,设，再利用二次函数根的分布列出不等式,即可解出的取值范围.【详解】满足的有个,方程有4个根,设,则，令，得.当时,，函数单调递减；当时,，函数单调递增，，画出函数的大致图象，如图所示：，保留函数的轴上方的图象,把轴下方的图象关于轴翻折到轴上方，即可得到函数的图象如下图所示：

令，则，所以要使方程有个根，则方程应有两个不等的实根，又由于两根之积为1，所以一个根在内,一个根在内，设,因为，则只需，解得：，因此,实数的取值范围是。故答案为：.【点睛】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及利用导数研究函数的单调性和极值，考查了二次函数的图象和性质,是中档题。三、解答题（共5小题，满分60分）17.已知数列是等比数列，,是和的等差中项.(1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）。【解析】【分析】（1）等比数列中,，是和的等差中项，由等比数列的公比表示出已知条件，解方程即可求得公比,代入等比数列的通项公式即可求得结果；（2）把(1）中求得的结果代入,求出,利用错位相减法求出。【详解】（1）设数列的公比为,因为，所以，。因为是和的等差中项,所以。即，化简得因为公比，所以.所以;（2)因为，所以，所以。则，①，，②，①②得，,所以.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，考查了等差、等比中项的概念的应用，以及错位相减法,考查运算能力，属中档题。18。如图,四棱柱中，平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形,，。（1)若，求证：//平面；（2)若，且三棱锥的体积为，求。【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接交于点,连接,根据四边形ABCD为平行四边形,可得//,然后根据线面平行的判定定理，可得结果。（2）利用正弦定理,可得,进一步可得,然后根据,可得，最后利用勾股定理，可得结果。【详解】（1）连接交于点，连接.如图由四棱柱的性质可知//,且，则//。∵四边形ABCD为平行四边形，∴。同理，∴，∴四边形为平行四边形，∴//。又平面，平面，∴//平面.（2）∵，∴。又,∴。由正弦定理可得，解得，∵,∴，∴,即。又平面ABCD,即平面ABCD，∴，CD，CA两两垂直.∴,∴，∴.【点睛】本题考查线面平行的判定以及线面垂直的判定，还考查了锥体体积公式，掌握线线、线面、面面之间的位置关系，考验分析能力，属中档题。19。年下半年以来,各地区陆续出台了“垃圾分类"的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用,改善垃圾资源环境,某部门在某小区年龄处于岁的人中随机地抽取人，进行了“垃圾分类"相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类"标准的人称为“环保族”，得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.组数分组“环保族"人数占本组的频率第一组第二组第三组第四组第五组(1)求、、的值；（2）根据频率分布直方图,估计这人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）;（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取人进行专访，并在这人中选取人作为记录员，求选取的名记录员中至少有一人年龄在中的概率.【答案】（1）；(2）;（3).【解析】【分析】（1）由频率分布直方图和频数分布表能求出、、；(2）根据频率分布直方图，能估计这人年龄的平均值；(3）从年龄段在的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取人进行专访，中选人，分别记为、、、、，中选人，分别记为、、、，在这人中选取人作为记录员，利用列举法列举出所有的基本事件,然后利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）由题意得：；（2)根据频率分布直方图,估计这人年龄的平均值为：；(3）从年龄段在的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取人进行专访，从中选：人，分别记为、、、、,从中选：人，分别记为、、、，在这人中选取人作为记录员，所有的基本事件有:、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种,选取的名记录员中至少有一人年龄在包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种，因此,选取的名记录员中至少有一人年龄在中的概率。【点睛】本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频数分布表、频率分布直方图、分层抽样、古典概型的性质等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是基础题.20。已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．（1）求圆的圆心坐标；(2）求线段的中点的轨迹的方程;（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围;若不存在,说明理由．【答案】（1）；(2)；（3）存在,或．【解析】【分析】（1）通过将圆的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线的方程为y=kx，通过联立直线与圆的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化,计算即得结论；（3)通过联立直线与圆的方程,利用根的判别式△=0及轨迹的端点与点（4,0）决定的直线斜率，即得结论【详解】（1）由得，∴圆的圆心坐标为；（2)设，则∵点为弦中点即，

∴即，∴线段的中点的轨迹的方程为;(3）由（2)知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧(如下图所示,不包括两端点）,且，，又直线：过定点，当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点．考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程21。已知函数，，函数在点处的切线与函数相切.（1)求函数的值域；（2)求证：。【答案】（1）;(2）证明见解析。【解析】【分析】（1）利用导数求出曲线在点处的切线方程，与函数的解析式联立,由可求得的值,然后利用二次函数的基本性质可求得函数的值域；（2)要证明，即证,即证，求出函数的最小值，并利用导数求出函数的最大值，由此可得出结论.【详解】（1）切点，，则，。所以，函数在点处的切线方程为，即.函数在点处的切线与函数相切。联立，化为，，，解得.，所以，函数值域为；（2）要证，即证，即证。设，，则函数的定义域为.，.当时，,此时，函数单调递增；当时，，此时,函数单调递减。所以,函数的最大值为。所以,,但是函数的最小值和函数的最大值不在同一处取得，因此,.【点睛】本题考查了利用导数求函数的切线方程，二次函数值域的求解，同时也考查了函数不等式的证明，考查推理能力与计算能力,属于难题.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程］22.已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ－8cosθ＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy。在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2)设点Q与点G的极坐标分别为，(2，π)，若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A,B两点,求△GAB的面积．【答案】（1）y2＝8x,(t为参数）．（2)。【解析】【分析】（1)曲线C可化为ρ2sin2θ－8ρcosθ＝0，即得其直角坐标方程，根据已知写出直线l的参数方程；（2)先求出直线l的参数方程为，将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得到t2－8t－32＝0，利用韦达定理和直线参数方程t的几何意义求出｜AB｜=16,再求点G到直线l的距离，即得△GAB的面积．【详解】(1）曲线C可化为ρ2sin2θ－8ρcosθ＝0，其直角坐标方程为y2＝8x，直线l的参数方程为(t为参数）．（2)将点的极坐标化为直角坐标得(0,－2)，易知