太原市第二十一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精山西省太原市第二十一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题含解析期中数学（理科）考试题(90分钟满分100）一、选择题（本题有12小题,每小题3分,共36分.每题只有一个正确选项，不选、多选、错选都不得分）1。在复平面内，复数所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C。第三象限 D。第四象限【答案】A【解析】,在复平面内对应的点为，在第一象限,故选.2。若复数满足，则复数等于（）A B。 C. D.2【答案】A【解析】【分析】直接利用复数的除法运算化简即可。【详解】由，得.故选：A。【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，属于基础题.3。已知，则等于(）A。 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的求导法则，求出，再令求出.【详解】由，得,所以，。故选：B。【点睛】本题考查了函数求导法则,函数值的运算,属于基础题.4.（)A。4 B。2 C。-2 D。0【答案】D【解析】【分析】根据积分公式直接计算即可【详解】。故选：D.【点睛】本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，属于基础题。5。曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x，则点P0的坐标是（）A.（0，1） B.（1,0) C.（—1，-4）或（1,0) D。（-1，—4）【答案】B【解析】解：因为曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x所以y'=3x2+1,在x=x0处的斜率为4，即3x02+1=4，x0=其坐标为(-1，-4）或(1,0）6。用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是（）A。假设三内角都不大于60° B。假设三内角都大于60°C.假设三内角至多有一个大于60° D.假设三内角至多有两个大于60°【答案】B【解析】【分析】“至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论.【详解】“三角形内角中至少有一个不大于60°"时，反设是假设三内角都大于。故选：B。【点睛】本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题.7.“∵四边形是矩形，∴四边形的对角线相等。”补充以上演绎推理的大前提是（)A.四边形是矩形 B。矩形是对角线相等的四边形C。四边形的对角线相等 D.矩形是对边平行且相等的四边形【答案】B【解析】【分析】根据题意，用三段论的形式分析，即可得到结论。【详解】由题意,用演绎推理的三段论形式推导一个结论成立,大前提应该是结论成立的依据，∵由四边形为矩形，得到四边形的对角线相等的结论，∴大前提一定是矩形的对角线相等.故选：B.【点睛】本题考查演绎推理的定义,关键是掌握演绎推理的形式，属于基础题。8。可表示为（）A。 B。 C。 D.【答案】B【解析】，故选．9.设为虚数单位，若复数满足，其中为复数的共轭复数，则（）A。1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】设复数，则共轭复数，利用复数代数形式的乘除运算化简即可。【详解】由题意，设复数，则共轭复数，由，得，所以，,即，故。故选：B。【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的共轭复数,考查复数的摸，属于基础题.10.函数在定义域内可导,其图象如图所示,记的导函数为,则不等式的解集为（）A. B.C. D。【答案】A【解析】【分析】根据导数大于0时函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减，确定函数的单调性【详解】解：由图象可知，即求函数的单调减区间，从而有解集为，故选：．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系,解题的关键是识图，属于基础题．11。设，那么等于(）A。 B。C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意,写出,作差即可。【详解】由题意，，则，所以，即.故选：C。【点睛】本题考查数学归纳法，正确弄清由到时增加和减少的项是解题的关键，属于基础题。12.已知对任意实数，有,且时，则时（）A. B。C. D.【答案】B【解析】试题分析：，所以是奇函数,关于原点对称,是偶函数，关于y轴对称，时则都是增函数，由对称性可知时递增，递减,所以考点：函数奇偶性单调性二、填空题：（本大题共4小题；每小题3分，共12分。）13.复数的共轭复数是___________【答案】.【解析】，故该复数的共轭复数为。14。函数f（x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值又有极小值，则a的范围是．【答案】【解析】【分析】将原问题转化为二次函数有两个不相等的实数根的问题，然后求解的取值范围即可.【详解】由题意可得:，若函数有极大值又有极小值，则一元二次方程有两个不同的实数根，即：,整理可得：整理可得：，据此可知的取值范围是或.【点睛】(1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′（x)的符号不同．（2）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．15.安排5名歌手的演出顺序时,要求甲歌手不第一个出场，另一名歌手乙不最后一个出场，不同的排法种数是__________．(用数字作答）【答案】78。【解析】分析：分两种情况:甲在最后一个位置时，乙在剩下的位置中任意选择即可，当甲不在第一个和最后一个时,甲有3种选择，乙也有三种选择,剩下的人全排列。详解：当甲在最后一个位置时,乙在剩下的位置中任意选择即可,方法种数为种，当甲不在第一个和最后一个时，甲有3种选择，乙也有三种选择，剩下的人全排列即可,共有54+24=78种。故答案78。点睛:排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素,高考中常见的排列组合问题还有分组分配问题,即不同元素分到不同组内时，通常先分组后分配。16。给出下列不等式：………则按此规律可猜想第个不等式为____________【答案】【解析】观察各式左边为的和的形式，项数分别为3,7,15，…，∴可猜想第n个式子中左边应有2n＋1－1项，不等式右边分别写成，，,…,∴猜想第n个式子中右边应为，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：1＋＋＋…＋>（n∈N*)．三、解答题：（本大题共5小题,共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17。计算:（1）；(2）。【答案】（1）165（2）【解析】【分析】（1）直接根据组合数公式计算即可；(2）直接利用牛顿-莱布尼茨公式，定积分的几何意义计算即可.【详解】(1）.（2)，其中,表示的是半径为的圆的面积的，即,所以。【点睛】本题考查组合数公式的计算，定积分的计算,解题的关键是理解定积分的几何意义，考查学生的运算能力,属于基础题.18。已知曲线.（1)求曲线在点处的切线方程；(2)求与直线平行的曲线的切线方程。【答案】(1)（2）或。【解析】【分析】（1）由题意可得，切线的斜率为，据此可得切线方程为.(2)设与直线平行的切线的切点为，由导函数与切线的关系可得，则切线方程为或。【详解】（1）∵，∴，求导数得,∴切线的斜率为，∴所求切线方程为,即。（2）设与直线平行的切线的切点为，则切线的斜率为。又∵所求切线与直线平行,∴，解得,代入曲线方程得切点为或，∴所求切线方程为)或），即或。【点睛】本题主要考查导函数研究函数的切线方程及其应用,导数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力。19.设,复数，试求为何值时，分别为:(1）实数；(2）虚数；(3）纯虚数【答案】（1）1或2时;(2)且；(3）.【解析】【分析】(1）利用虚部等于零列方程求解即可；（2）利用虚部不等于零可得结果；（3)利用实部等于零且虚部不等于零求解即可.【详解】(1）当z为实数时，则有m2－3m＋2＝0，解得m＝1或2。即m为1或2时，z为实数．（2)当z为虚数时，则有m2－3m＋2≠0，解得m≠1且m≠2.即m≠1且m≠2时,z为虚数．(3）当z为纯虚数时,则有2m2－3m—2＝0且m2－3m＋2≠0，解得m＝。【点睛】复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念,复数的分类问题，一定要注意计算的准确性.20。已知数列中,，（Ⅰ）求;（Ⅱ）猜想表达式，并用数学归纳法证明．【答案】（I）；(II)见解析。【解析】试题分析：（1）由已知直接求出的值；（2）猜想，注意数学归纳法的步骤．试题解析：（1）;（2）猜想：证明：①当n=1时，，猜想成立。②假设n=k时成立，即，则当n=k+1时，由得所以n=k+1时,等式成立.所以由①②知猜想成立.21。已知函数，其中且为常数.（1)试判断当时函数在区间上的单调性，并说明理由;（2)设函数在处取得极值,求的值,并讨论函数的单调性.【答案】（1）当时函数在区间上为增函数.见解析（2），在上单调递减，在单调递增。【解析】【分析】（1）将代入函数得,求得导函数，再判断导函数的符号即可；(2)根据题意由得，从而可得，进而判断的单调区间，再由导函数零点可知其符号变化情况，从而可得的单调性.【详解】（1）当时，，则.∵当时，，，即，∴当时函