空气动力学翼型低速气动特性

空气动力学翼型低速气动特性第1页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展一、翼型的定义

在飞机的各种飞行状态下，机翼是飞机承受升力的主要部件，而立尾和平尾是飞机保持安定性和操纵性的气动部件。

一般飞机都有对称面，如果平行于对称面在机翼展向任意位置切一刀，切下来的机翼剖面称作为翼剖面或翼型。

翼型是机翼和尾翼成形重要组成部分，其直接影响到飞机的气动性能和飞行品质。第2页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展翼型按速度分类有低速翼型亚声速翼型超声速翼型第3页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展翼型按形状分类有圆头尖尾形尖头尖尾形圆头钝尾形第4页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展二、翼型的几何参数NACA4415前缘厚度中弧线后缘弯度弦线弦长b

后缘角第5页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展1、弦长

前后缘点的连线称为翼型的几何弦。但对某些下表面大部分为直线的翼型，也将此直线定义为几何弦。翼型前、后缘点之间的距离，称为翼型的弦长，用b表示，或者前、后缘在弦线上投影之间的距离。

第6页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展2、翼型表面的无量纲坐标翼型上、下表面曲线用弦线长度的相对坐标的函数表示：第7页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展通常翼型的坐标由离散的数据表格给出：第8页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展3、弯度

弯度的大小用中弧线上最高点的y向坐标来表示。此值通常也是相对弦长表示的。翼型上下表面y向高度中点的连线称为翼型中弧线。

如果中弧线是一条直线（与弦线合一），这个翼型是对称翼型。如果中弧线是曲线，就说此翼型有弯度。第9页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展中弧线y向坐标（弯度函数）为：相对弯度最大弯度位置第10页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展厚度分布函数为：相对厚度最大厚度位置4、厚度第11页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展5、前缘半径，后缘角

翼型的前缘是圆的，要很精确地画出前缘附近的翼型曲线，通常得给出前缘半径。这个与前缘相切的圆，其圆心在处中弧线的切线上。翼型上下表面在后缘处切线间的夹角称为后缘角。第12页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展三、翼型的发展

对于不同的飞行速度，机翼的翼型形状是不同的。如对于低亚声速飞机，为了提高升力系数，翼型形状为圆头尖尾形；而对于高亚声速飞机，为了提高阻力发散Ma数，采用超临界翼型，其特点是前缘丰满、上翼面平坦、后缘向下凹；对于超声速飞机，为了减小激波阻力，采用尖头、尖尾形翼型。

通常飞机设计要求，机翼和尾翼的尽可能升力大、阻力小。第13页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展

对翼型的研究最早可追溯到19世纪后期，那时的人们已经知道带有一定安装角的平板能够产生升力，有人研究了鸟类的飞行之后提出，弯曲的更接近于鸟翼的形状能够产生更大的升力和效率。鸟翼具有弯度和大展弦比的特征平板翼型效率较低，失速迎角很小将头部弄弯以后的平板翼型，失速迎角有所增加第14页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展

1884年，H.F.菲利普使用早期的风洞测试了一系列翼型，后来他为这些翼型申请了专利。早期的风洞第15页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展

与此同时，德国人奥托·利林塔尔设计并测试了许多曲线翼的滑翔机，他仔细测量了鸟翼的外形，认为试飞成功的关键是机翼的曲率或者说是弯度，他还试验了不同的翼尖半径和厚度分布。第16页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展

美国的赖特兄弟所使用的翼型与利林塔尔的非常相似，薄而且弯度很大。这可能是因为早期的翼型试验都在极低的雷诺数下进行，薄翼型的表现要比厚翼型好。第17页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展

随后的十多年里，在反复试验的基础上研制出了大量翼型，有的很有名，如RAF-6，Gottingen387，ClarkY。这些翼型成为NACA翼型家族的鼻祖。第18页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展

在上世纪三十年代初期，美国国家航空咨询委员会（NationalAdvisoryCommitteeforAeronautics，缩写为NACA，后来为NASA，NationalAeronauticsandSpaceAdministration）对低速翼型进行了系统的实验研究。他们发现当时的几种优秀翼型的折算成相同厚度时，厚度分布规律几乎完全一样。于是他们把厚度分布就用这个经过实践证明，在当时认为是最佳的翼型厚度分布作为NACA翼型族的厚度分布。厚度分布函数为：

最大厚度为。第19页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展1932年，确定了NACA四位数翼型族。式中，为相对弯度，为最大弯度位置。例:NACA

②④①②中弧线取两段抛物线，在中弧线最高点二者相切。第20页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展1935年，NACA又确定了五位数翼型族。

五位数翼族的厚度分布与四位数翼型相同。不同的是中弧线。它的中弧线前段是三次代数式，后段是一次代数式。例:

NACA：来流与前缘中弧线平行时的理论升力系数中弧线0：简单型1：有拐点第21页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展1939年，发展了NACA1系列层流翼型族。其后又相继发展了NACA2系列，3系列直到6系列，7系列的层流翼型族。

层流翼型是为了减小湍流摩擦阻力而设计的，尽量使上翼面的顺压梯度区增大，减小逆压梯度区，减小湍流范围。第22页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展第23页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.1翼型的几何参数及其发展1967年美国NASA兰利研究中心的Whitcomb主要为了提高亚声速运输机阻力发散Ma数而提出来超临界翼型的概念。第24页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.2翼型的空气动力系数1、翼型的迎角与空气动力

在翼型平面上，把来流V∞与翼弦线之间的夹角定义为翼型的几何迎角，简称迎角。对弦线而言，来流上偏为正，下偏为负。

翼型绕流视平面流动，翼型上的气动力视为无限翼展机翼在展向取单位展长所受的气动力。第25页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.2翼型的空气动力系数

当气流绕过翼型时，在翼型表面上每点都作用有压强p（垂直于翼面）和摩擦切应力（与翼面相切），它们将产生一个合力R，合力的作用点称为压力中心，合力在来流方向的分量为阻力X，在垂直于来流方向的分量为升力Y。第26页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.2翼型的空气动力系数翼型升力和阻力分别为

空气动力矩取决于力矩点的位置。如果取矩点位于压力中心，力矩为零。如果取矩点位于翼型前缘，前缘力矩；如果位于力矩不随迎角变化的点，叫做翼型的气动中心，为气动中心力矩。规定使翼型抬头为正、低头为负。薄翼型的气动中心为0.25b，大多数翼型在0.23b-0.24b之间，层流翼型在0.26b-0.27b之间。第27页，共111页，2023年，2月20日，星期一2、空气动力系数1.2翼型的空气动力系数翼型无量纲空气动力系数定义为升力系数阻力系数俯仰力矩系数第28页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.2翼型的空气动力系数

由空气动力实验表明，对于给定的翼型，升力是下列变量的函数：根据量纲分析，可得

对于低速翼型绕流，空气的压缩性可忽略不计，但必须考虑空气的粘性。因此，气动系数实际上是来流迎角和Re数的函数。至于函数的具体形式可通过实验或理论分析给出。

对于高速流动，压缩性的影响必须计入，因此Ma也是其中的主要影响变量。第29页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速气动特性概述1、低速翼型绕流图画低速圆头翼型在小迎角时，其绕流图画如下图示。总体流动特点是（1）整个绕翼型的流动是无分离的附着流动，在物面上的边界层和翼型后缘的尾迹区很薄；第30页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速气动特性概述（2）前驻点位于下翼面距前缘点不远处，流经驻点的流线分成两部分，一部分从驻点起绕过前缘点经上翼面顺壁面流去，另一部分从驻点起经下翼面顺壁面流去，在后缘处流动平滑地汇合后下向流去。（3）在上翼面近区的流体质点速度从前驻点的零值很快加速到最大值，然后逐渐减速。根据Bernoulli方程，压力分布是在驻点处压力最大，在最大速度点处压力最小，然后压力逐渐增大（过了最小压力点为逆压梯度区）。第31页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速气动特性概述（5）气流到后缘处，从上下翼面平顺流出，因此后缘点不一定是后驻点。（4）随着迎角的增大，驻点逐渐后移，最大速度点越靠近前缘，最大速度值越大，上下翼面的压差越大，因而升力越大。第32页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速气动特性概述2、翼型绕流气动力系数随迎角的变化曲线

一个翼型的气动特性，通常用曲线表示。有升力系数曲线，阻力系数曲线，力矩系数曲线。NACA23012的气动特性曲线第33页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速气动特性概述（1）在升力系数随迎角的变化曲线中，在迎角较小时是一条直线，这条直线的斜率称为升力线斜率，记为这个斜率，薄翼的理论值等于2/弧度，即0.10965/度，实验值略小。NACA23012的是0.105/度，NACA631-212的是0.106/度。实验值所以略小的原因在于实际气流的粘性作用。有正迎角时，上下翼面的边界层位移厚度不一样厚，其效果等于改变了翼型的中弧线及后缘位置，从而改小了有效的迎角。第34页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速气动特性概述（2）对于有弯度的翼型升力系数曲线是不通过原点的，通常把升力系数为零的迎角定义为零升迎角0

，而过后缘点与几何弦线成0

的直线称为零升力线。一般弯度越大，0越大。第35页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速气动特性概述（3）当迎角大过一定的值之后，就开始弯曲，再大一些，就达到了它的最大值，此值记为最大升力系数，这是翼型用增大迎角的办法所能获得的最大升力系数，相对应的迎角称为临界迎角。过此再增大迎角，升力系数反而开始下降，这一现象称为翼型的失速。这个临界迎角也称为失速迎角。第36页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速气动特性概述以及失速后的曲线受粘性影响较大，当时，。第37页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速气动特性概述时，。（4）阻力系数曲线，存在一个最小阻力系数。在小迎角时，翼型的阻力主要是摩擦阻力，阻力系数随迎角变化不大；在迎角较大时，出现了粘性压差阻力的增量，阻力系数与迎角的二次方成正比。后，分离区扩及整个上翼面，阻力系数大增。但应指出的是无论摩擦阻力，还是压差阻力，都与粘性有关。因此，阻力系数与Re数存在密切关系。第38页，共111页，2023年，2月20日，星期一（5）mz1/4(对1/4弦点取矩的力矩系数)力矩系数曲线，在失速迎角以下，基本是直线。如改成对实际的气动中心取矩，那末就是一条平直线了。但当迎角超过失速迎角，翼型上有很显著的分离之后，低头力矩大增，力矩曲线也变弯曲。1.3低速翼型的低速气动特性概述第39页，共111页，2023年，2月20日，星期一3、翼型失速1.3低速翼型的低速气动特性概述

随着迎角增大，翼型升力系数将出现最大，然后减小。这是气流绕过翼型时发生分离的结果。翼型的失速特性是指在最大升力系数附近的气动性能。

翼型分离现象与翼型背风面上的流动情况和压力分布密切相关。

在一定迎角下，当低速气流绕过翼型时，过前驻点开始快速加速减压到最大速度点（顺压梯度区），然后开始减速增压到翼型后缘点处（逆压梯度区），随着迎角的增加，前驻点向后移动，气流绕前缘近区的吸力峰在增大，造成峰值点后的气流顶着逆压梯度向后流动越困难，气流的减速越严重。第40页，共111页，2023年，2月20日，星期一这不仅促使边界层增厚，变成湍流，而且迎角大到一定程度以后，逆压梯度达到一定数值后，气流就无力顶着逆压减速了，而发生分离。这时气流分成分离区内部的流动和分离区外部的主流两部分。1.3低速翼型的低速气动特性概述

在分离边界（称为自由边界）上，二者的静压必处处相等。分离后的主流就不再减速不再增压了。分离区内的气流，由于主流在自由边界上通过粘性的作用不断地带走质量，中心部分便不断有气流从后面来填补，而形成中心部分的倒流。第41页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速气动特性概述小迎角翼型附着绕流大迎角翼型分离绕流第42页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速气动特性概述大迎角翼型分离绕流翼型分离绕流第43页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速气动特性概述

根据大量实验，在大Re数下，翼型分离可根据其厚度不同分为：（1）后缘分离（湍流分离）这种分离对应的翼型厚度大于12%-15%。

这种翼型头部的负压不是特别大，分离是从翼型上翼面后缘近区开始的。

随着迎角的增加，分离点逐渐向前缘发展。第44页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速气动特性概述起初升力线斜率偏离直线，当迎角达到一定数值时，分离点发展到上翼面某一位置时（大约翼面的一半），升力系数达到最大，以后升力系数下降。

后缘分离的发展是比较缓慢的，流谱的变化是连续的，失速区的升力曲线也变化缓慢，失速特性好。第45页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速气动特性概述（2）前缘分离（前缘短泡分离）

气流绕前缘时负压很大，从而产生很大的逆压梯度，即使在不大迎角下，前缘附近发生流动分离，分离后的边界层转捩成湍流，从外流中获取能量，然后再附到翼面上，形成分离气泡。中等厚度的翼型（厚度6%-9%），前缘半径较小。第46页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速气动特性概述

起初这种短气泡很短，只有弦长的1%，当迎角达到失速角时，短气泡突然打开，气流不能再附，导致上翼面突然完全分离，使升力和力矩突然变化。第47页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速气动特性概述（3）薄翼分离（前缘长气泡分离）薄的翼型（厚度4%-6%），前缘半径更小。

气流绕前缘时负压更大，从而产生很大的逆压梯度，即使在不大迎角下，前缘附近引起流动分离，分离后的边界层转捩成湍流，从外流中获取能量，流动一段较长距离后再附到翼面上，形成长分离气泡。第48页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速气动特性概述

起初这种气泡不长，只有弦长的2%-3%，随着迎角增加，再附点不断向下游移动，当到失速迎角是，气泡延伸到右缘，翼型完全失速，气泡突然消失，气流不能再附，导致上翼面突然完全分离，使升力和力矩突然变化。第49页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.3低速翼型的低速气动特性概述

另外，除上述三种分离外，还可能存在混合分离形式，气流绕翼型是同时在前缘和后缘发生分离。第50页，共111页，2023年，2月20日，星期一库塔(MW.Kutta,1867-1944)，德国数学家

儒可夫斯基（Joukowski，1847~1921），俄国数学家和空气动力学家。

1906年儒可夫斯基引入了环量的概念，发表了著名的升力定理，奠定了二维机翼理论的基础。1、库塔-儒可夫斯基后缘条件1.4

库塔-儒可夫斯基后缘条件及环量的确定第51页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.4

库塔-儒可夫斯基后缘条件及环量的确定

根据库塔—儒可夫斯基升力环量定律，对于定常、理想、不可压流动，在有势力作用下，直匀流绕过任意截面形状的有环量绕流，翼型所受的升力为

需要说明的是，不管物体形状如何，只要环量值为零，绕流物体的升力为零；对于不同的环量值，除升力大小不同外，绕流在翼型上前后驻点的位置不同。

这就是说对于给定的翼型，在一定的迎角下，按照这一理论绕翼型的环量值是不定的，任意条件都可以满足翼面是流线的要求。第52页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.4

库塔-儒可夫斯基后缘条件及环量的确定

当不同的环量值绕过翼型时，其后驻点可能位于上翼面、下翼面和后缘点三个位置的流动图画。

但实际情况是，对于给定的翼型，在一定的迎角下，升力是唯一确定的。

这说明对于实际的翼型绕流，仅存在一个确定的绕翼型环量值，其它均是不正确的。

要确定这个环量值，可以从绕流图画入手分析。第53页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.4

库塔-儒可夫斯基后缘条件及环量的确定

后驻点位于上、下翼面的情况，气流要绕过尖后缘，势流理论得出，在该处将出现无穷大的速度和负压，这在物理上是不可能的。

因此，物理上可能的流动图画是气流从上下翼面平顺地流过翼型后缘，后缘速度值保持有限，流动实验也证实了这一分析，Kutta、儒可夫斯基就用这一条件给出确定环量的补充条件。第54页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.4

库塔-儒可夫斯基后缘条件及环量的确定库塔-儒可夫斯基后缘条件表达如下：（1）对于给定的翼型和迎角，绕翼型的环量值应正好使流动平滑地流过后缘去。（2）若翼型后缘角>0，后缘点是后驻点。即V1=V2=0。（3）若翼型后缘角=0，后缘点的速度为有限值。即V1=V2=V≠0。第55页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.4

库塔-儒可夫斯基后缘条件及环量的确定（4）真实翼型的后缘并不是尖角，往往是一个小圆弧。实际流动气流在上下翼面靠后很近的两点发生分离，分离区很小。所提的条件是：p1=p2V1=V22、环量的产生与后缘条件的关系

根据海姆霍兹旋涡守衡定律，对于理想不可压缩流体，在有势力作用下，绕相同流体质点组成的封闭周线上的速度环量不随时间变化。d/dt=0。第56页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.4

库塔-儒可夫斯基后缘条件及环量的确定

翼型都是从静止状态开始加速运动到定常状态，根据旋涡守衡定律，翼型引起气流运动的速度环量应与静止状态一样处处为零，但库塔条件得出一个不为零的环量值，这是乎出现了矛盾。环量产生的物理原因如何？

为了解决这一问题，在翼型静止时，围绕翼型取一个很大的封闭曲线。（1）处于静止状态，绕流体线的速度环量为零。第57页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.4

库塔-儒可夫斯基后缘条件及环量的确定（2）当翼型在刚开始启动时，因粘性边界层尚未在翼面上形成，绕翼型的速度环量为零，后驻点不在后缘处，而在上翼面某点，气流将绕过后缘流向上翼面。

随时间的发展，翼面上边界层形成，下翼面气流绕过后缘时将形成很大的速度，压力很低，从有后缘点到后驻点存在大的逆压梯度，造成边界层分离，从产生一个逆时针的环量，称为起动涡。第58页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.4

库塔-儒可夫斯基后缘条件及环量的确定（3）起动涡随着气流流向下游，封闭流体线也随气流运动，但始终包围翼型和起动涡，根据涡量保持定律，必然绕翼型存在一个反时针的速度环量，使得绕封闭流体线的总环量为零。这样，翼型后驻点的位置向后移动。只要后驻点尚未移动到后缘点，翼型后缘不断有逆时针旋涡脱落，因而绕翼型的环量不断增大，直到气流从后缘点平滑流出（后驻点移到后缘为止）为止。第59页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.4

库塔-儒可夫斯基后缘条件及环量的确定第60页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.4

库塔-儒可夫斯基后缘条件及环量的确定由上述讨论可得出：（1）流体粘性和翼型的尖后缘是产生起动涡的物理原因。绕翼型的速度环量始终与起动涡环量大小相等、方向相反。（2）对于一定形状的翼型，只要给定绕流速度和迎角，就有一个固定的速度环量与之对应，确定的条件是库塔条件。（3）如果速度和迎角发生变化，将重新调整速度环量，以保证气流绕过翼型时从后缘平滑汇合流出。（4）代表绕翼型环量的旋涡，始终附着在翼型上，称为附着涡。根据升力环量定律，直匀流加上一定强度的附着涡所产生的升力，与直匀流中一个有环量的翼型绕流完全一样。第61页，共111页，2023年，2月20日，星期一

对于迎角不大的翼型附着绕流，粘性对升力、力矩特性曲线影响不大，因此可用势流理论求解。

粘性对阻力和最大升力系数、翼型分离绕流的气动特性曲线影响较大，不能忽略。1.5

任意翼型的位流解法1、保角变换法

绕翼型的二维不可压缩势流，存在速度势函数和流函数，两者均满足Laplace方程，因此可用复变函数理论求解。保角变换法的主要思想是，通过复变函数变换，将物理平面中的翼型变换成计算平面中的圆形，然后求出绕圆形的复势函数，再通过变换式倒回到物理平面中的复势函数即可。第62页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.5

任意翼型的位流解法2、绕翼型的数值计算法——面元法

在平面理想势流中，根据势流叠加原理和孤立奇点流动，可得到某些规则物体的绕流问题。

对于任意形状的物体绕流，当然不可能这样简单。但是，这样的求解思路是可取的。

例如，通过直匀流与点源和点汇的叠加，可获得无环量的圆柱绕流；通过直匀流、点源和点汇、点涡的叠加，可获得有环量的圆柱绕流，继而求出绕流的升力大小。第63页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.5

任意翼型的位流解法

对于一定迎角下，任意形状、任意厚度的翼型绕流，利用势流叠加法求解的基本思路是：（a）在翼型弦线上布置连续分布的点源q（s)，与直匀流叠加求解。（b）在翼型上下表面布置连续分布的点涡（s)，与直匀流叠加求解。

满足翼面是一条流线的条件，从而模拟无升力的翼型厚度作用。

满足翼面是一条流线的条件和尾缘的kutta条件，从而模拟由于迎角和翼型弯度引起的升力效应，确定翼型的升力大小。第64页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.5

任意翼型的位流解法

对于任意形状的翼型精确给出分布源函数或分布涡是不容易的。通常用数值计算方法进行。将翼面分成若干微分段（面元），在每个面元上布置待定的奇点分布函数（点源或或点涡），在选定控制点上满足物面不穿透条件和后缘条件，从而确定出分布函数，最后由分布函数计算物面压强分布、升力和力矩特性。（2）面源函数的基本特性

设单位长度的面源强度为q，则ds微段上面源强度为qds，其在流场P点处诱导的速度为（与P点的距离r）第65页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.5

任意翼型的位流解法绕面源封闭周线的流量为方向沿r的方向ds微短面源在P点产生的扰动速度势为整个面源在P点产生的速度势函数为第66页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.5

任意翼型的位流解法

任意一个面源元素在空间流场中任一点所诱导的速度是连续分布的，所以整个面源诱导的速度场在所有的空间点是连续分布的。

面源上除外，面源上切向速度连续，法向速度面源是个间断面。

如右图所示，对于布在x轴上的二维平面面源，有当时，有第67页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.5

任意翼型的位流解法

由此得出：面源上下流体切向速度是连续的，面源法向速度是间断的。对曲面的面源布置也是如此。下面求法向速度的突跃值。通过矩形周线的体积流量为

由于面源上的切向速度是连续的，设ds中点处的切向速度为Vs,则第68页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.5

任意翼型的位流解法所以当ds和dn均趋于零时得

这说明，面源是法向速度间断面，穿过面源当地法向速度的突跃值等于当地的面源强度。对于平面面源有第69页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.5

任意翼型的位流解法（3）面涡的基本特性

设单位长度的面涡强度为，则ds微段上面涡强度为

ds，其在流场P点处诱导的速度为（与P点的距离r）ds微短面源在P点产生的扰动速度势为整个面源在P点产生的速度势函数为第70页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.5

任意翼型的位流解法绕面涡封闭周线的环量为

任意一个面涡元素在空间流场中任一点所诱导的速度是连续分布的，所以整个面涡诱导的速度场在所有的空间点是连续分布的。

面涡上除外，面涡上法向速度连续，切向速度面涡上是个间断面。

如右图所示，对于布在x轴上的二维平面面涡，有当时，有第71页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.5

任意翼型的位流解法

由此得出：面涡上下流体切向速度是间断的，但法向速度是连续的。对曲面的面涡布置也是如此。下面求切向速度的突跃值。绕矩形周线的速度环量为

由于面涡上的法向速度是连续的，设ds中点处的法向速度为Vn,则第72页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.5

任意翼型的位流解法所以当ds和dn均趋于零时得

这说明，面涡是切向速度间断面，穿过面涡当地切向速度的突跃值等于当地的面涡强度。对于平面面涡有第73页，共111页，2023年，2月20日，星期一（b）如果求解升力翼型（模拟弯度和迎角的影响），可用面涡法，除满足翼面是流线外，要求翼型尾缘满足Kutta条件=0。1.5

任意翼型的位流解法（4）面源法和面涡法（a）当求解无升力的物体绕流问题时，包括考虑厚度影响的无升力的翼型绕流问题，可用面源法。第74页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理论

对于理想不可压缩流体的翼型绕流，如果气流绕翼型的迎角、翼型厚度、翼型弯度都很小，则绕流场是一个小扰动的势流场。这时，翼面上的边界条件和压强系数可以线化，厚度、弯度、迎角三者的影响可以分开考虑，这种方法叫做薄翼理论。（Thinairfoiltheory）1、翼型绕流的分解（1）扰动速度势的线性叠加（a）扰动速度势及其方程第75页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理论扰动速度势满足叠加原理。（b）翼面边界条件的近似线化表达式

设翼面上的扰动速度分别为，则在小迎角下速度分量为第76页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理论由翼面流线的边界条件为对于薄翼型，翼型的厚度和弯度很小，保留一阶小量，得到其中，yf为翼型弯度函数，yc为翼型的厚度函数。由于翼型的上下物面方程为第77页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理论

上式说明，在小扰动下，翼面上的y方向速度可近似表示为弯度、厚度、迎角三部分贡献的线性和。（c）扰动速度势函数的线性叠加

根据扰动速度势的方程和翼面y方向速度的近似线化，可将扰动速度势表示为弯度、厚度、迎角三部分的速度势之和。对y方向求偏导，得到第78页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理论

可见，扰动速度势、边界条件可以分解成弯度、厚度、迎角三部分单独存在时扰动速度势之和。（2）压强系数Cp的线化表达式对于理想不可压缩势流，根据Bernoulli方程，压强系数第79页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理论把扰动速度场代入，得到在弯度、厚度、迎角均为小量的假设下，如只保留一阶小量，得到第80页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理论

可见，在小扰动下，扰动速度势方程、物面边界条件、翼面压强系数均可进行线化处理。（3）薄翼型小迎角下的势流分解

在小迎角下，对于薄翼型不可压缩绕流，扰动速度势、物面边界条件、压强系数均可进行线性叠加，作用在薄翼型上的升力、力矩可以视为弯度、厚度、迎角作用之和，因此绕薄翼型的流动可用三个简单流动叠加。即薄翼型绕流=弯度问题（中弧线弯板零迎角绕流）

+厚度问题（厚度分布yc对称翼型零迎角绕流）

+迎角问题（迎角不为零的平板绕流）第81页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理论第82页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理论

厚度问题，因翼型对称，翼面压强分布上下对称，不产生升力和力矩。弯度和迎角问题产生的流动上下不对称，压差作用得到升力和力矩。把弯度和迎角作用合起来处理，称为迎角弯度问题，因此对于小迎角的薄翼型绕流，升力和力矩可用小迎角中弧线弯板的绕流确定。2、迎角-弯度绕流问题

迎角弯度问题的关键是确定涡强的分布。要求在中弧面上满足和kutta条件。第83页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理论（1）面涡强度的积分方程

因为翼型弯度一般很小，中弧线和弦线差别不大，因而在中弧线上布涡可近似用在弦线上布涡来代替，翼面上y方向的扰动速度可近似用弦线上的值取代。这是因为，按照泰勒级数展开，有略去小量，得到第84页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理论

在一级近似条件下，求解薄翼型的升力和力矩的问题，可归纳为在满足下列条件下，面涡强度沿弦线的分布。（a）无穷远边界条件（b）物面边界条件（c）Kutta条件第85页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理论

在弦线上，某点的面涡强度为，在d段上的涡强为，其在弦线上x点产生的诱导速度为整个涡面的诱导速度为即关于涡强的积分方程。第86页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理论（2）涡强的三角级数求解然后，令第87页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理论

这个级数有两点要说明：

(1)第一项是为了表达前缘处无限大的负压（即无限大的流速）所必需的（如果有负无限大压强的话）；

(2)在后缘处，这个级数等于零。后缘处载荷应该降为零，这是库塔条件所要求的。第88页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理论（3）求迎角弯度的气动特性第89页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理论升力线的斜率为上式说明，对于薄翼而言，升力线的斜率与翼型的形状无关。写成通常的表达形式其中，0为翼型的零升力迎角，由翼型的中弧线形状决定，对于对称翼型0=0，非对称翼型0<>0。第90页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理论对前缘取矩，得俯仰力矩为第91页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理论其中，mz0为零升力矩系数对b/4点取距，得到第92页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理论

这个式子里没有迎角，说明这个力矩是常数（不随迎角变），即使升力为零仍有此力矩，可以称为剩余力矩。只要对1/4弦点取矩，力矩都等于这个零升力矩。这说明1/4弦点就是气动中心的位置。另外，还有个特殊的点，称为压力中心，表示气动合力作用的位置，通过该点的力矩为零。第93页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理论翼型前缘吸力系数为其中

平板翼型上的压强总是垂直于板面的，压强合力必定也是垂直板面的，它在来流方向有一个分力，似应有阻力存在，但根据理想流理论，翼型阻力应为零。问题在于上面分析没有考虑前缘的绕流效应，或者说漏算了一个名为前缘吸力的力。第94页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理论3、厚度问题的解

在零迎角下厚度分布函数yc的对称薄翼型的绕流问题称为厚度问题。

对于厚度问题，可使用布置面源法求解。即在翼型表面上连续布置面源求解。但对薄翼型而言，可用弦线上布源近似代替翼面上布源，设在x轴上连续布置面源强度为q(负值为汇)，根据物面是流线条件确定q。物面是流线的边界条件为第95页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.6

薄翼型理论又由于则有翼型表面上的压强第96页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.7厚翼型理论

薄翼型理论只适用于绕薄翼型小迎角的流动。如翼型的相对厚度>12%，或迎角较大，薄翼型理论和实验值相差较大，需要用厚翼理论计算。1、对称厚翼型无升力绕流的数值计算方法

对于二维不可压缩对称无升力的绕流，用面源法进行数值模拟。也可以在对称轴上布置平面偶极子与来流叠加的方法求解。现考虑直匀流和在x轴上一段AB（一般应小于物体长度）上布置偶极子源叠加的流动，假定偶极子强度为（x)。在P(x,y)点处的流函数为第97页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.7厚翼型理论整个直匀流与偶极子的叠加结果为如果给定=0为物面条件，则由上式可确定偶极子分布。然而这是一个积分方程，解析求解通常是很困难的。可通过数值解法求解，把偶极子分布区域分成n段，把上式应用到物面外形上的n个已知点，建立n元一次的线性方程组，求得j。第98页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.7厚翼型理论速度分量为物面上的压强系数为在物面外任意一点的流函数为第99页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.7厚翼型理论2、任意厚翼型有升力时的数值计算方法

一般而言，计算任意形状、厚度、迎角下，翼型绕流的压强分布、升力和力矩特性，可以使用面涡法。

该方法的思路是：将翼面分成n段，在每个子段上布置常值未知涡，涡强度分别是1，2，…，n，在每个涡片上取适当的控制点，在这些控制点上准确满足物面边界条件。第100页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.7厚翼型理论

对于第j个涡片在第i个控制点上引起的扰动速度势，有涡的速度势公式为翼面上所有涡片对i个控制点引起的总扰动速度势为引起的法向速度为第101页，共111页，2023年，2月20日，星期一1.7厚翼型理论则在第i控制点上满足物面