矩阵论一线性变换

矩阵论一线性变换1第1页，共40页，2023年，2月20日，星期一第二节线性变换及其矩阵线性变换的矩阵表示相似矩阵线性变换的特征值与特征向量不变子空间（自学）Jordan标准型介绍第2页，共40页，2023年，2月20日，星期一一、线性映射（变换）的定义及运算则称T是从V到W的一个线性映射或线性算子。设V,W是数域F上的两个线性空间，T是从V到W的一个映射，如果对于当V=W时,T也称为V上的一个线性变换。第3页，共40页，2023年，2月20日，星期一例1恒等变换例20-变换线性变换举例：第4页，共40页，2023年，2月20日，星期一例3求导运算是多项式空间Cn

[x]上的线性变换。例4定义在闭区间[a,b]上的所有连续函数的集合C[a,b]是一个线性空间，则C[a,b]的积分运算是线性变换。第5页，共40页，2023年，2月20日，星期一线性映射（变换）有以下性质：（3）T将V中的线性相关向量组映射为W中的线性相关向量组，但把线性无关向量组不一定映射为W中的线性无关向量组；（4）设则并且第6页，共40页，2023年，2月20日，星期一可以验证，线性空间V的线性变换经加法与数乘运算后仍为线性变换，并且满足下列基本性质设都是线性空间V的线性变换，定义线性变换的加法，设T是线性空间V的一个线性变换，k是数域F上的一个数，定义线性变换的数乘，（2）结合律（1）交换律线性变换的运算：第7页，共40页，2023年，2月20日，星期一（8）（3）存在零变换o,（4）存在负变换-T,（5）第一分配律（6）第二分配律（7）结合律令表示n维线性空间V的所有线性变换的集合，则在线性变换的加法与数乘运算下构成数域F上的一个维线性空间。第8页，共40页，2023年，2月20日，星期一容易验证线性空间V上线性变换的积也是一个线性变换，并且满足下述性质（1）结合律设都是线性空间V的线性变换，定义线性变换的积，需要注意的是，线性变换的积一般不满足交换律，即（2）分配律例：在中定义线性变换：由于则第9页，共40页，2023年，2月20日，星期一当T是可逆变换时，定义设T是线性空间V的一个线性变换，是一个多项式，则T的多项式为若线性变换的积可交换，即则称可交换的。此时也称是可逆线性变换。第10页，共40页，2023年，2月20日，星期一线性变换的值域与核设T是n维线性空间V的一个线性变换，定义T的值域R(T)与核N(T)分别为设A是n阶矩阵，A的值域R(A)与核N(A)分别为--T的全体象组成的集合--被T变成零向量的向量组成的集合第11页，共40页，2023年，2月20日，星期一实例求导运算T在多项式空间Cn

[x]上的值空间R(T)与核空间N(T)分别为注：Cn

[x]R(T)+N(T)R(T)=L{1,x,x2,…,xn-1}N(T)={1}第12页，共40页，2023年，2月20日，星期一（1）T的值域R(T)与核N(T)都是V的子空间；（3）dim(R(T))+dim(N(T))=n.则定理：设T是n维线性空间V的一个线性变换，是n维线性空间V的基，分别称为象子空间，核子空间；象子空间的维数dimR(T)称为T的秩，核子空间的维数称为T的零度（或亏）第13页，共40页，2023年，2月20日，星期一证（3）设令是的一组基，把它扩充为V的一组基则有要证只要证明线性无关设则有即所以是V的一组基，则线性无关。（3）dim(R(T))+dim(N(T))=n.第14页，共40页，2023年，2月20日，星期一例在中定义T：求T的值域与核，并确定其秩与零度。解：容易验证T为上的线性变换，设则由解得从而T的零度为0；T的秩为3；又因为所以第15页，共40页，2023年，2月20日，星期一设T是n维线性空间V的一个线性变换，是n维线性空间V的基，称A为T在基下的矩阵。二、线性变换的矩阵表示（2）给定n维线性空间V的基后，V上的线性变换与n阶矩阵之间存在一一对应关系。基向量的象可以被基线性表出，即说明（1）矩阵A的第i列恰是的坐标；第16页，共40页，2023年，2月20日，星期一（4）设n维线性空间V的一个线性变换T在基下的矩阵为且向量在该基下的坐标为则在该基下的坐标为是n维线性空间V的基，（3）设T1，T2是n维线性空间V的两个线性变换，T1，T2在该基下的矩阵为则T1+T2，kT1,T1T2，T-1在该基下矩阵分别为第17页，共40页，2023年，2月20日，星期一（5）设是纯量多项式，T为V中的线性变换，且对V的基有则V的线性变换f(T)在该基下的矩阵为：其中f(A)称为矩阵A的多项式。第18页，共40页，2023年，2月20日，星期一例1、试确定在多项式空间Pn

[x]上的求导运算T分别在下列两组基下的表示矩阵说明：同一线性变换在不同基下的表示矩阵一般是不同的，它们之间的关系是相似矩阵。第19页，共40页，2023年，2月20日，星期一例2、在R3中线性变换T将基变为基其中（1）求T在基下的表示矩阵；（2）求向量及在基下的坐标解（1）依题意则（2）设则第20页，共40页，2023年，2月20日，星期一证明定理：T在基下的矩阵为A，在基下的矩阵为B，从基到基的过渡矩阵为P，则再由线性无关可得：从而有相似矩阵第21页，共40页，2023年，2月20日，星期一矩阵的相似关系是一个等价关系，可以利用这一关系将n阶矩阵划分为若干等价类.进而得出[1]n维线性空间V的同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的。[2]n维线性空间V的一个线性变换与n阶矩阵的一个等价类一一对应。设如果存在可逆矩阵P，使得已知A与B相似，则则称矩阵A与B是相似的，记为AB～为纯量多项式则第22页，共40页，2023年，2月20日，星期一例3、设T是的线性变换，有求T在基下的表示矩阵。解法一：直接法（同例1）解法二：利用同一线性变换在不同基下的表示矩阵是相似矩阵这一结论。选取一组简单基：基到基的过渡矩阵为基在T下的象为：第23页，共40页，2023年，2月20日，星期一T在基下的表示矩阵为：则T在基下的表示矩阵为：第24页，共40页，2023年，2月20日，星期一定义设T是n维线性空间V的一个线性变换,对于数，如果存在非零向量，使得，（2）特征值的全体特征向量及零向量组成的集合是一线性空间，记为则称是T的特征值，是T的属于的特征向量，简称特征向量。称为V的特征子空间性质（1）若是对应于特征值的特征向量，则也是对应于特征值的特征向量；下面讨论确定线性变换特征值与特征向量的方法三、线性变换的特征值与特征向量第25页，共40页，2023年，2月20日，星期一设是n维线性空间V的一组基,线性变换T在这组基下的矩阵为令是T的特征值，是T的属于的特征向量。设关于基的坐标为关于基的坐标分别为则由知从而有因此满足第26页，共40页，2023年，2月20日，星期一矩阵的特征值定义矩阵A的特征多项式为X是A属于的特征向量。则称是A的特征值，设A是n阶矩阵，第27页，共40页，2023年，2月20日，星期一给定一个n阶矩阵A为A的特征矩阵。称为矩阵A的特征方程。称第28页，共40页，2023年，2月20日，星期一例计算A的特征值与特征向量。第29页，共40页，2023年，2月20日，星期一计算过程A的特征向量矩阵A的特征多项式为A的特征值为对于解方程组(-I-A)X=0,得特征向量x1=(1,0,-1)T,X2=(0,1,-1)T对于解方程组(5I-A)X=0,得特征向量x3=(1,1,1)T第30页，共40页，2023年，2月20日，星期一从以上的讨论可知：欲求线性变换T的特征值和特征向量，只要求出T的矩阵A的特征值和特征向量。T的特征值就是A的特征值，而T的特征向量在线性空间V的基下的坐标与A的特征向量一致。例：设线性变换T在线性空间V中的一组基下的矩阵为求T的特征值和特征向量第31页，共40页，2023年，2月20日，星期一计算过程的特征向量矩阵A的特征多项式为T的特征值为对于解方程组(-I-A)X=0,得基础解系：x1=(1,0,-1)T,X2=(0,1,-1)T解方程组(5I-A)X=0,得基础解系x3=(1,1,1)T对于T的属于的两个线性无关的特征向量为T的属于T的全体特征向量为第32页，共40页，2023年，2月20日，星期一(1)

特征多项式相等，即(2)

行列式相等，迹相等(3)秩相等(4)特征值相同。相似矩阵的性质第33页，共40页，2023年，2月20日，星期一例设A与B相似,求参数a及b解依相似矩阵的性质可得方程组：第34页，共40页，2023年，2月20日，星期一特征值性质设矩阵A=(aij)的特征多项式为第35页，共40页，2023年，2月20日，星期一矩阵的谱称mi

是特征值的代数重复度。设A是n阶矩阵，A的相异特征值的集合称为矩阵A的谱.设矩阵A的特征多项式为第36页，共40页，2023年，2月20日，星期一A的特征子空间称ni

为的几何重复度。设A是n阶矩阵,定义A的相应于特征值的特征子空间为定理n阶矩阵A的任一特征值的几何重复度不大于代数重复度。第37页，共40页，2023年，2月20日，星期一定理n阶矩阵A的任一特征值的几何重复度不大于代数重复度。证明设A是线性空间Cn的线性变换T在某组基下的表示矩阵，mi

，ni是特征值的代数重复度与几何重复度，对于特征子空间W,存在补空间V,使得则T在此基下的表示矩阵为取W与V的一组基，不妨记做因为A与B相似，故所以，的代数重复度不小于ni第38页，共40页，2023年，2月20日，星期一定义设V,W是数域F上的两个线性空间，T是从V到W的一个线性映射，如果T是1-1映射，则称T是从V到W的一个同构映射；并称线性空间V,W是同构的。线性空间V,W是同构的意义在于它们有相同的代数性质定理设T是从V到W的一个同构变换，则T将V的线性无关组变换为W的线性无关组;T将V的基变换为W的基;(1)(2)(3)(4)例R上的任意n维