第一讲数学方法论数学史

第一讲数学方法论数学史第1页，共42页，2023年，2月20日，星期一数学的起源与发展数学的辩证观数学基础论的三大学派数学的悖论数学的发现方法数学的逻辑方法数学的美学方法数学的思维方法数学思想方法与数学教育主要内容第2页，共42页，2023年，2月20日，星期一克莱茵古今数学思想亚历山大洛夫数学－－它的内容、方法和意义解恩泽等数学思想方法纵横谈王仲春等数学思维与数学方法论徐利治数学方法论选讲张奠宙数学方法论稿郑毓信数学方法论波利亚数学与发现合情推理主要参考书第3页，共42页，2023年，2月20日，星期一第三节数学发展的动力第一节数学史分期（一）第二节数学史分期（二）第一章数学的起源与发展第4页，共42页，2023年，2月20日，星期一☆

数学萌芽时期☆

常量数学时期☆

变量数学时期☆

近代数学时期☆

现代数学时期第一节数学史分期（一）第5页，共42页，2023年，2月20日，星期一▲数学的对象天文历法的计算土地长度的丈量面积、体积的计算商业交往中的运输、变换的计算返回第一节往下页☆数学萌芽时期（公元600年以前）第6页，共42页，2023年，2月20日，星期一中国、埃及、巴比伦、印度◆中国：※记数的十进位制（金文、甲骨文）※矩（《周髀》）平行线、面（《墨经》）※极限思想（《庄子》）◆埃及：※金字塔※纸草书（莱茵特、莫斯科）

▲主要发明创造第7页，共42页，2023年，2月20日，星期一◆巴比伦：※帐单、收据、票据

※天文学：能测定五大行星的周期，预测日、月食的沙罗周期※泥版书：二次方程问题、计算矩形、直角三角形、梯形等图形面积、平行六面体、柱体的体积、※建立了60进位制第8页，共42页，2023年，2月20日，星期一计算方法、测量方法，自然数、分数，简单图形的概念，初步的算术和几何知识以及一些运算间的关系第9页，共42页，2023年，2月20日，星期一※研究的对象：数量和图形※概念形成较缓，无严谨的科学体系※出现一些数学概念与数学符号，产生具有一定关系和规律的数学系统－－算术，※从思想和方法上为建立数学理论奠定了基础。返回萌芽时期首页▲数学发展的特点第10页，共42页，2023年，2月20日，星期一公元前5世纪－－公元17世纪初▲数学的对象※采用逻辑方法建立完整、统一、独立的科学※在相对静止状态下保持不变的数量和图形※以常量为主要研究对象返回第一节☆常量数学时期（初等数学时期）第11页，共42页，2023年，2月20日，星期一完善算术,建立几何、代数和三角等学科※《欧氏几何原本》※《算经十书》其中以《九章算术》为杰出代表※阿尔.花拉子模的《代数学》※刘微的《九章算术注》※德国的里基奥蒙田纳斯《论一般三角形》※阿基米德的《算术》▲主要发明创造第12页，共42页，2023年，2月20日，星期一※纯粹的研究对象－－数量与图形※具体实验阶段－－抽象理论阶段※抽象方法、逻辑方法－－演绎体系※建立了算术、代数、几何、三角等分支返回常量时期页▲数学发展的特点第13页，共42页，2023年，2月20日，星期一17世纪中叶至19世纪20年代▲数学的对象※客观事物在运动变化的状态下数量和图形▲主要发明创造※解析几何※级数论※微积分※复变函数论※微分方程※实变函数论※微分几何※画法几何学返回第一节☆变量数学时期第14页，共42页，2023年，2月20日，星期一※数学的研究对象发生了质的变化※数学的思想、方法出现新特点※解析几何、微积分※数学分析占主导地位※数学与自然科学相互促进返回变量首页▲数学发展的特点第15页，共42页，2023年，2月20日，星期一19世纪20年代－－20世纪40年代▲数学的对象※几何、代数、分析向更一般化、抽象化、多样化发展※数学方法成为数学研究的对象※数学研究对象：定义在任意性质的元素集上的运算和关系，由于遵循的公理系统不同而形成不同的数学结构。返回第一节往下页☆近代数学时期第16页，共42页，2023年，2月20日，星期一※三大转折：微积分－－数学分析解析几何－－高等几何方程－－高等代数傅里叶级数－－函数概念有重大突破非欧几何－－空间概念有重大突破伽罗华理论－－代数运算概念有重大突破实变函数、集合论、数理逻辑※三大突破：※三大理论：▲主要发明创造第17页，共42页，2023年，2月20日，星期一※这个时期，数学发生了一系列的本质变化：罗巴切夫斯基－－非欧几何阿贝尔、伽罗华－－近世代数波尔察诺、柯西－－分析的逻辑基础▲数学发展的特点※数学的革命、创造的自由化※研究对象更一般化、抽象化、多样化※数学的发展趋于统分结合※应用越来越广泛※数学新问题层出不穷回近代数学首页第18页，共42页，2023年，2月20日，星期一20世纪40年代－－▲数学对象※结构和模型▲主要发明创造※应用数学大发展※计算机的成功和广泛应用※基础数学的飞速发展返回第一节☆现代数学时期第19页，共42页，2023年，2月20日，星期一▲数学发展的特点※应用数学蓬勃发展※数学抽象化程度进一步加强※以集合论为基础，数理逻辑成为推理的依据※计算机的产生和应用※基础数学理论的飞速发展第20页，共42页，2023年，2月20日，星期一恩格斯：常量数学、变量数学十七世纪以来，解析几何、微积分成为数学发展史上的里程碑西方也把数学划分为几何、代数（算术），将数学史划分为几何倾向、代数倾向。数学史分类:

算法倾向和演绎倾向第二节数学史分期（二）第21页，共42页，2023年，2月20日，星期一所谓算法倾向，指具有如下特征：①着重算法的概括、而不讲究命题的推理形式；②着重算法不只是单纯的计算，也是是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带一般性的计算程序，力求规格化，便于机械化的重复迭代。数学史上,

算法倾向、演绎倾向总是交替地取得主导地位。中国数学和西方数学是两大世界数学的代表第22页，共42页，2023年，2月20日，星期一吴文俊曾指出：“以九章算术为代表的中国古代传统数学，与以欧氏《几何原本》为代表的西文数学，代表着两种不同的体系，其思想和方法各程特色。前者着重应用和计算，其成果往往以算法的形式表达，后者则往往着重概念和推理，其成果一般是以定理的形式表达前者的思维方式是构造性的和机械化的。后者则往往是偏重存在唯一以及概念间的相互联系等非构造性纯逻辑思维第23页，共42页，2023年，2月20日，星期一☆原始算法的积累时期☆古希腊演绎几何时期☆算法的繁荣时期☆近代数学与演绎倾向倾向时期☆机器证明的算法倾向时期第24页，共42页，2023年，2月20日，星期一初等算法：整数、分数的算术运算法则，如中国的九九乘法口诀简单的代数方程（一元二次方程）的解算简单几何图形的面积、体积计算公式埃及的纸草书（莫斯科纸草书、莱茵特纸草）、巴比伦泥版书☆原始算法积累时期（公元前六世纪）第25页，共42页，2023年，2月20日，星期一公元前600－－公元初希腊学者如泰勒斯等，接触并熟悉那里的经验几何计算规则，并产生了证明这些法则的想法。毕达哥拉斯证明了不少的几何命题，如三角形内角和为两直角，勾股定理，按一定的逻辑顺序把已知的命题排列起来欧几里得(前三世纪)

最终建立系统的演绎几何体系☆希腊演绎几何时期第26页，共42页，2023年，2月20日，星期一数学史上一个悬而未决的问题:希腊人为什么不满足于经验的几何法则而坚持要给出演绎的证明？数学是怎样具体地从原始算法向系统的演绎科学过渡？为什么要选择几何而不是算术(代数)?为什么在希腊而不在别的地方发生?第27页，共42页，2023年，2月20日，星期一数学史上的第一次危机无理数的出现受古希腊哲学的影响亚里士多德的三段论法则柏拉图的门口写着：“不懂几何者不得入内”爱利亚学派的辩论术第28页，共42页，2023年，2月20日，星期一公元初－－十七、十八世纪中世纪的东方算法无穷小算法时期▲中世纪的东方算法

☆算法的繁荣时期第29页，共42页，2023年，2月20日，星期一（中国，印度）※遍乘直除”算法例今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何。（《九章算术》NO.8）答曰：上禾一秉，九斗四分之一；中禾一秉，四斗四分之一；下禾一秉，二斗四分之三。术曰：置上禾三秉、中禾二秉、下禾一秉，实三十九斗于右方，中左列如右，▲中世纪的东方算法第30页，共42页，2023年，2月20日，星期一※割圆术算法(祖率)3.1415926＜π＜3.1415927※开方算法※面积、体积算法※正负开方术（高次方程的数值解法）※“大衍求一术”算法（一次同余组）※“盈不足术”（契丹方法）※四元术招差术第31页，共42页，2023年，2月20日，星期一最丰硕的成果：微积分微积分是算法倾向还是演绎倾向的结果？为什么中国近代数学落后？近代数学不能在欧洲以外的其他地域发生？颇有影响的观点：这些地域缺乏演绎传统甚至认为：中国古代没有演绎方法▲无穷小算法时期第32页，共42页，2023年，2月20日，星期一微积分不是演绎倾向的结果，恰恰是算法倾向的结果！微积分的产生：是寻找一系列实际问题的普遍算法的结果如瞬时速度、极大（小）值、求面积、体积、求曲线的长度等开普勒的积分学，实际上是测量酒桶的容积泰勒公式、甚至十九世纪初福里叶的三角展开，都在很长时间内缺乏严格的证明，产生了二次数学危机。第33页，共42页，2023年，2月20日，星期一牛顿发明微积分的个人背景也颇能说明问题解析几何：是算法精神的成果。全部几何问题可以容易地被归纳一些线段的加减乘除开方第34页，共42页，2023年，2月20日，星期一分析，抽象代数，希尔伯特原理等三大特征：分析的严格化几何的非欧化代数的抽象化☆近代数学与演绎倾向时期第35页，共42页，2023年，2月20日，星期一超级计算机“深蓝”战胜卡斯帕诺夫吴文俊：等式型命题的机器证明张景中：机器证明的可读性问题的解决杨路：非欧几何定理证明的自动生成和可读性问题不等式的机器证明取得了相当的成功。☆机器证明的算法倾向时期第36页，共42页，2023年，2月20日，星期一一、数学与现实世界的关系二、人们对数学的认识三、数学发展的动力第三节数学发展的动力第37页，共42页，2023年，2月20日，星期一辩证唯物主义对数学的看法纯数学来源于经验；以客观事物的空间形式与数量关系作为研究对象；数学来源于外部世界又脱离外部世界而发展；数学的发展遵循辩证规律。二、人们对数学的认识①对数的概念的认识；自然数有理数实数复数一、数学与现实世界的关系第38页，共42页，202