稳定性定义与稳定性条件

稳定性定义与稳定性条件第1页，共25页，2023年，2月20日，星期一4.1.1范数的概念

1.向量的范数

定义：n维向量空间的范数定义为:

(4.1)2.矩阵的范数

定义：mxn矩阵A的范数定义为:(4.2)第2页，共25页，2023年，2月20日，星期一(4.3)4.1.2平衡状态

系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系统到达某状态，并且维持在此状态而不再发生变化的，这样的状态称为系统的平衡状态。根据平衡状态的定义可知,连续系统的平衡状态是满足平衡方程即的系统状态。离散系统的平衡状态，是对所有的k，都满足平衡方程的系统状态。第3页，共25页，2023年，2月20日，星期一

首先讨论线性系统的平衡状态。由于平衡状态为，因此，当A为非奇异矩阵时，系统只有一个平衡状态；当A为奇异矩阵时，系统有无穷多个平衡状态。

对于非线性系统，可能有一个平衡状态，也可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以由平衡方程解得。下面举例说明。第4页，共25页，2023年，2月20日，星期一

例4.1求下列非线性系统的平衡状态解由平衡状态定义，平衡状态应满足:

得非线性系统有三个平衡状态：

,,.第5页，共25页，2023年，2月20日，星期一4.1.3李雅普诺夫稳定性定义

1.稳定

定义:如果对于任意给定的每个实数,都对应存在着另一实数,使得从满足不等式的任意初态出发的系统响应,在所有的时间内都满足则称系统的平衡状态是稳定的.若与的选取无关,则称平衡状态是一致稳定的.第6页，共25页，2023年，2月20日，星期一2.渐近稳定

定义：若平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的，并且当时，,即，则称平衡状态是渐进稳定的。

3.大范围（渐近）稳定

定义：如果对任意大的，系统总是稳定的，则称系统是大范围（渐进）稳定的。如果系统总是渐进稳定的，则称系统是大范围渐进稳定的。

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4.不稳定

定义：如果对于某一实数，不论取多小，由内出发的轨迹，至少有一条轨迹越出，则称平衡状态为不稳定.

上述定义对于离散系统也是适用的，只是将连续时间t理解为离散时间k。

注意:稳定性讨论的是系统没有输入（包括参考输入和扰动）作用或者输入作用消失以后的自由运动状态。所以，通常通过分析系统的零输入响应，或者脉冲响应来分析系统的稳定性。第8页，共25页，2023年，2月20日，星期一4.1.4线性定常连续系统的稳定性条件

1.SISO线性定常连续系统稳定的条件

设描述SISO线性定常连续系统的微分方程为:

(4.4)

则系统的特征方程为:

(4.5)第9页，共25页，2023年，2月20日，星期一

设特征方程(4.5)有k个实根，r对共轭复根，则系统的脉冲响应为:(4.6)

从上式可以看出：

1）若，均为负实部，则有，因此，当所有特征根的实部都为负时，系统是稳定的；

2）若，中有一个或者几个为正，则有，因此，当特征根中有一个或者几个为正实部时，系统是不稳定的；第10页，共25页，2023年，2月20日，星期一3）若中有一个或者几个为零,而其它，均为负，则有为常数。若中有一个或者几个为零，而其它、均为负，则y(t)的稳态分量则为正弦函数。因此，当特征根中有一个或者几个为零，而其它极点均为负实部时，系统是一种临界情况，称为临界稳定的。临界稳定在李氏稳定性意义下是稳定的，但在工程上是不允许系统工作在临界稳定状态的，所以，临界稳定在工程上是不稳定的。

结论：线性定常连续系统稳定的充分必要条件是，系统的全部特征根或闭环极点都具有负实部，或者说都位于复平面左半部。

第11页，共25页，2023年，2月20日，星期一

2.MIMO线性定常连续系统稳定的条件

描述MIMO线性定常连续系统的状态方程为：（4.7）

设A有相异特征值，则存在非奇异线性变换，使为对角矩阵，即:

非奇异线性变换后的状态方程的零输入解为:第12页，共25页，2023年，2月20日，星期一

由于，，所以，原状态方程的零输入解为:

(4.8)

可见

(4.9)

将上式展开,的每个元素都是的线性组合，所以可写成矩阵多项式:第13页，共25页，2023年，2月20日，星期一

所以

(4.10)

从上式可见，当A的所有特征值位于复平面左半平面，即，，则对任意x(0)，有，系统渐进稳定。只要有一个特征值的实部大于零，对于，，系统不稳定。当有特征值的实部等于零，而其它特征值的实部小于零，则随着时间的增加，x(t)趋于常值或者为正弦波，系统是李雅普诺夫意义下稳定的，或者称为临界稳定的。第14页，共25页，2023年，2月20日，星期一

当A具有重特征值时,x(t)含有诸项，稳定性结论同上。

结论：MIMO线性定常连续系统稳定的充分必要条件是，系统矩阵A的全部特征值具有负实部，或者说都位于复平面左半部。第15页，共25页，2023年，2月20日，星期一4.1.5线性定常离散系统的稳定性

1.SISO线性定常离散系统稳定性条件

设线性定常离散系统的脉冲传递函数为，则系统输出的Z变换为：

(4.11)

现在讨论系统在单位脉冲序列离散信(R(z)=1)作用下的输出响应序列。第16页，共25页，2023年，2月20日，星期一

（1）有个互异的单极点，。

Y(z)可以展成:

相应的脉冲响应序列为:(4.12)

如果所有的极点在单位圆内,即，，则，所以，系统是渐近稳定的。第17页，共25页，2023年，2月20日，星期一

如果其中有一个极点在单位圆上，设，而其余极点均在单位圆内，则，所以，系统是李雅普诺夫意义下稳定的，又称临界稳定。如果有一个或一个以上的极点在单位圆外,则，所以，系统是不稳定的。第18页，共25页，2023年，2月20日，星期一

（2）有一对共轭复数极点对应这一对复数极点的脉冲响应序列是:

由于特征方程是实系数，所以，必定是共轭的。设

第19页，共25页，2023年，2月20日，星期一

代入上式得:(4.13)

由此可见，该对复数极点若在单位圆内（），系统是渐近稳定的；若在单位圆外（），系统是不稳定的；在单位圆上（），系统是临界稳定的。第20页，共25页，2023年，2月20日，星期一

（3）含有重极点不失一般性，设含有两重极点，则Y(z)可展开为:

对应的脉冲响应序列为:

(4.14)第21页，共25页，2023年，2月20日，星期一

显然，若重极点在单位圆内，即，系统是渐近稳定的；重极点在单位圆外,即，系统是不稳定的；重极点在单位圆上,即，由式（4.14）可得:

系统是不稳定的。

结论：线性定常离散系统稳定的充分必要条件是，闭环脉冲传递函数的所有极点都位于平面的单位圆内。

第22页，共25页，2023年，2月20日，星期一

2.MIMO线性定常离散系统稳定性条件设线性定常离散系统的状态方程为:(4.15)

做非奇异线性变换,式(4.15)变换为:

(4.16)第23页，共25页，2023年，2月20日，星期一

（1）A有n个互异的特征值，总可以找到一个非奇异阵