平面向量的坐标表示及其运算讲义

源于名校，成就所托学科教师辅导讲义学员学校：年级：高二课时数：2学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题向量的坐标表示及其运算授课日期及时段教学目的掌握向量的坐标表示法。掌握向量的加法、减法、数与向量的乘法等运算的坐标表示形式。理解和掌握两个非零向量平行的充要条件（坐标形式）。学会定比分点公式的推导方法。理解定比分点公式，掌握中点坐标公式。教学内容【知识结构】基本单位向量：在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位向量，记作。位置向量：起点是坐标原点O的向量。已知A(x,y),则位置向量。我们把有序实数对（x,y）叫做位置向量的坐标，记作。注：位置向量的坐标就是位置向量终点的坐标。已知任意两点，则自由向量=（）注：自由向量的坐标就是向量终点坐标减去起点坐标。向量运算的坐标表示形式设是一个实数，则=说明向量相加等于坐标分量相加；=（）说明向量相减等于坐标分量相减；==数乘向量等于数乘每一个分量；=向量的模等于对应坐标分量平方和开根号；向量相等的充要条件是对应的坐标分量相等非零向量平行的充要条件是已知P是直线上一点，且，，，则，这个公式叫做点P的分线段的定比分点公式，其中叫做定比，点P叫做分点。特别的，当=1时，P为的中点。此时叫做中点公式。【例题精讲】例1.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),解答下列问题:(1)求3a+b-2(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;(4)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求d.例2.已知，求线段AB的三等分点C、D的坐标例6.已知点O是△ABC内一点，∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用a和b表示c.分析本例是用平面内两个不共线的向量表示同一平面内的另一个向量.根据平面向量的基本定理有c=λ1a+λ2b,当a、b、c的坐标已知时，该式实际上是一个关于λ1、λ2的二元一次方程组，由此可确定λ1、λ2，这也是解决本题的一个重要思路.解：如图1所示，以点O为原点，为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系.由三角函数的定义，得B(cos150°,sin150°),图1C(3cos240°,3sin240°),即B(-,),C(-,-).图1∴a=(2,0),b=(-,),c=(-,-).设c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R)，则得(-,-)=λ1(2,0)+λ2(-，)=(2λ1-λ2,λ2).∴解得λ1=-3,λ2=-3.∴c=-3a-3b.例7.［例4］向量b＝(－3，1)，c＝(2，1)，若向量a与c共线，求｜b＋a｜的最小值.解：设a＝λc＝(2λ，λ)，则b＋a＝(－3＋2λ，1＋λ)，∴｜b＋a｜＝＝＝≥∴｜b＋a｜的最小值为，此时a＝c.例8.［例3］在△OAB中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，设点M分eq\o(AB,\s\up6(→))所成的比为2∶1，点N分eq\o(OA,\s\up6(→))所成的比为3∶1，而OM和BN交于点P，试用a和b表示OP.解：eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b∵eq\o(OP,\s\up6(→))与eq\o(OM,\s\up6(→))共线，设eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(t,3)a＋eq\f(2t,3)b ①又∵eq\o(NP,\s\up6(→))与eq\o(NB,\s\up6(→))共线，设eq\o(NP,\s\up6(→))＝seq\o(NB,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋seq\o(NB,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋s(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→)))＝(1－s)eq\o(ON,\s\up6(→))＋seq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(1－s)eq\o(OA,\s\up6(→))＋seq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(1－s)a＋sb ②由①②知∴t＝eq\f(9,10)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,10)a＋eq\f(3,5)b例9.已知三角形ABC中，，点D在AB上，,点E在AC边上，且DE恰将三角形ABC的面积平分，求点E的坐标例10.过的重心作作一直线分别交、于点、．若，，，则的值为多少？例11.设点在内部，且有，则的面积与的面积的比为多少？【巩固练习】一、选择题1.已知四个点、、、，则四边形的形状是（）A．梯形B．邻边不相等的平行四边形C．菱形D．正方形2．设M是△ABC的重心，则=（）

A． B． C． D．3．已知四边形是菱形，点在对角线上，（不包括端点、），则等于（）A．，∈(0,1) B．，∈(0,)C．，∈(0,1) D．，∈(0,)4．、分别为的边、上的中线，且，，那么为（）A．B．C．D．5．已知，，当与共线时，的值为（）A．B．C．D．6．已知、，且、、三点共线，则点坐标可以是（）A．B．C．D．7．已知为原点，、是两定点，，，且点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则等于（）A．B．C．D．8．平面上有一个和一点，设，，，，的中点分别为、，则向量等于（）

A． B． C． D．图19.如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，且|AB|=λ|DC|，图1若=a,=b,则等于()A.λa+bB.a+λbC.a+bD.a+b10.已知a=(-1,3),b=(x,-1),且a∥b，则x等于()A.3B.C.-3D.-二、填空题1．当______时，向量与共线且方向相同；当_____时，与共线且方向相