杨辉三角与二项式系数的性质

杨辉三角与二项式系数的性质第1页/共23页杨辉

（南宋著名数学家）杨辉，字谦光，汉族，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，生平履历不详。曾担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带。他在总结民间乘除捷算法、“垛积术”、纵横图以及数学教育方面，均做出了重大的贡献。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。著有数学著作5种21卷，即《详解九章算法》12卷，《日用算法》2卷，《乘除通变本末》3卷，《田亩比类乘除捷法》2卷和《续古摘奇算法》2卷后三种合称为《杨辉算法》。朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。杨辉还曾论证过弧矢公式，时人称为“辉术”。与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”。杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”。杨辉第2页/共23页二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？

下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？一般地，对于nN*有二项定理:一、新课引入第3页/共23页展开式中的二项式系数，如下表所示：

11

121

1331

1464115101051

1615201561

………………“杨辉三角”的来历及规律

第4页/共23页表中每行两端都是1，与这两个1等距离的系数相等；而且在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；同一行中系数先增后减。上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)第5页/共23页(1)对称性:

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(3)增减性与最大值.增减性的实质是比较的大小.(2)递推性:

除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.二项式系数的性质第6页/共23页(3)增减性与最大值.增减性的实质是比较的大小.所以相对于的增减情况由决定．

可知，当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。

第7页/共23页（3）增减性与最大值

因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；

当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。第8页/共23页

（4）各二项式系数的和

这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：第9页/共23页

一般地，展开式的二项式系数

有如下性质：

（1）

（2）

（3）当时，

（4）

当时，第10页/共23页

还可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象，研究二项式系数的性质．

(a+b)n展开式的二项式系数是

可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是{0,1,2,…,n},对于确定的n,可以画出它的图像。例如：当n=6时，其图象是右图中的7个孤立点...----------1084621620f(r).....369r第11页/共23页1）已知，那么=

；2）的展开式中，二项式系数的最大值是

；3）若的展开式中的第十项和第十一项的二项式

系数最大，则n=

；课堂练习a+b12619第12页/共23页

例1

证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．典型例题第13页/共23页证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：证明：在展开式中令a=1，b=－1得

小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特定的值1，-1等来整体得到所求。第14页/共23页赋值法的应用—解决二项式系数问题.赋值法第15页/共23页已知求:(1)；

(2)；

(3);(4)赋值法再思考课堂练习第16页/共23页例4:求(x+2)10

（x2-1）展开式中含x

10项的系数为

.变式：求(1+x+x2)(1-x)10展开式中含x项的系数.求两个(多个)二项式乘积的展开式的特定项方法：（1）先化简，化成一个二项式的展开式;（2）分析两个（多个）二项式的通项的字母的指数,利用找伙伴的方式解决.例3：求展开式中的常数项.方法提炼179-9第17页/共23页例4：的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项。1、的展开式中，系数绝对值最大的项是（）A.第4项B.第4、5项C.第5项D.第3、4项2、若展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于()A.210B.120C.461D.4163:(1﹣x)13

的展开式中系数最小的项是

.

典型例题AB70变式引申第18页/共23页(1)二项式系数的三个性质(2)数学思想：函数思想

a

单调性；b

图象；c

最值.小结第19页/共23页

二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有