高中数学-正切函数的性质与图像教学设计学情分析教材分析课后反思

必修4《1.3.2正切函数的图像与性质》教学设计教学背景分析三角函数是基本初等函数之一，而正切函数是三角函数中继正弦、余弦函数的图象与性质后又一具体的三角函数，让学生能清晰的认识所研究的内容与方法：在内容上主要研究函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。学生已经掌握了角的正切，正切线和与正切有关的诱导公式，这为本节课的学习提供了知识的保障，在此基础上，进一步研究其性质、体会研究函数方法的课，作为正切函数除了一般函数的研究内容外，还要针对其图象的特点，特殊地研究其渐近线。在此也向学生进一步说明了“数缺形时少直观，形少数时难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数的美无处不在，数学无处不美。教学目标(内容框架)知识与技能目标：1.在对正切函数已有认知的基础上，分析正切函数的性质。2.通过已知的性质，利用正切线画出正切函数在上的图像，得到正切曲线。3.根据正切曲线，完善正切函数的性质。过程与方法目标：

在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．情感态度价值观目标

在教学中使学生了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．

教学过程及学生活动设计说明复习旧知提问1：首先我们回忆角的正切是如何定义的？

角的正切：让学生体会角的正切定义与正切函数之间的关系，为后续课堂做铺垫正

切

函

数

的

性

质提问2：类比我们已经学习的正弦函数、余弦函数的图像与性质，我们可以从哪些方面研究正切函数的性质？让学生完成表格中正弦、余弦函数的内容。

提问3：我们对正切函数也已经有了初步的了解，譬如：正切线，与正切有关的诱导公式等，就已有的知识，下面请同学具体说明正切函数的性质？1．定义域：2．值域：R

【利用课件演示正切线的变化，让学生直观感受】3．奇偶性：奇函数

不是偶函数4．

周期性：最小正周期是

5．单调性：利用函数的奇偶性和周期性，可将问题转化到

上研究单调性，再利用正切线分析其单调性。6．对称性：根据奇偶性和周期性可得部分对称中心。

利用已有的认知结构，探究未知的问题类比，是研究问题最重要的方法之一

说明图象的分界线

让学生体会转化与化归的数学思想，同时也体会研究函数性质的价值。

正

切

函

数

的

图

像提问4：我们已知了正切函数的部分性质，如何利用已有的性质画出正切函数的图像？由于正切函数的是最小正周期是的周期函数，所以我们只需要画出他在一个周期内的图像，然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图像。选择哪一个长度为的区间呢？可以选择区间；而正切函数又是奇函数，所以只需画出在的图像。正切曲线

，且的图象，称“正切曲线”。利用已知的性质，如何画函数的图像

体会函数的性质与图像之间的关系

观察图像，丰富性质【值域】当且时，；当且时，；【单调性】对每一个，在开区间内，函数单调递增．【对称性】对称性：，无对称轴。对称性有几何画板先直观演示，然后给与严格的证明。【渐近线】正切函数的图像是被相互平行的直线所隔开的无穷多支形状完全相同的曲线组成的。

形与数的结合，更能抓住问题的本质形与数对比正切函数的性质和图像，分析各个性质在图像上的反映，得出：函数的性质有利于画函数的图像，函数的图像是其性质的直观反应。

例题解析例1.比较大小;

.例2．求函数的定义域、周期和单调区间

例3．解不等式：。

五、教学反思1.中学数学课程目标

数学知识是静态的，而数学思维则是动态的.所以数学教学理应是数学思维活动的教学，其中揭示数学思维过程是数学教学最基本（最高）的指导原则.在本节课中，我时刻通过设置“矛盾冲突”撞击学生的思维，比如：在得到正切函数的概念之后，提出如何研究这一具体函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法；又如，在得到正切函数的部分性质之后，提出如何能“丰满”正切函数的性质，启发学生可以借助图像进行研究，让学生感受“数缺形少直观，形缺少数难入微”的精妙.总之，教师时刻以培养学生的思维为出发点的教学，才是真正的数学教学，才能承载中学数学课堂的使命——培养学生的数学思维和数学素养.2.站在系统的高度组织教学数学知识是一个有机整体，运用系统的观点对所教内容进行整合，以优化其结构，系统其知识、能力与方法.其实，数学本身就是一个系统，在这个系统中，数学知识是“肉体”，数学思想和方法是“神经系统”，数学思维则是“灵魂”.三角函数是函数系统中的一个小分支，正切函数是三角函数这个小分支中的一个节点.正切函数的图像和性质“肉体”，类比和数形结合是“神经系统”，如何利用已知研究未知则是“灵魂”.首先，类比研究正（余）弦函数的思路提出问题，让学生能清晰的认识本节课的内容：在内容上，是研究一个具体函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性；在思想方法上，数形结合应是对其性质研究的主要途径.其次，在已有性质的基础上，如何能让正切函数的性质更加“丰满”呢？学生自然能想到借助图像，那么如何能得到图像呢？引导学生，从而得到画出图像的方法.从系统论的高度把握高中数学教学，目的是使课堂教学更加有效，甚至高效.3.站在学生的角度组织教学教师如果上课只是告诉学生数学结论或机械的方法，不但违背中学数学课堂教学所承载的使命，而且还不能培养学生的思维.下面以“课堂提问”为例，谈谈本节课如何站在学生的角度组织教学，如何有效搭建已知到未知（知识的生成过程）的桥梁.（1）提问的层次性

课程两端提问——整体（宏观）

在本节课一开始，我提出问题：我们如何研究正切函数的性质，从哪些方面进行研究.这一提问能让学生明白我们这节课的主题，学生就会一直围绕这一问题进行思考，思维一直处在自我否定、自我完善的过程.

中间部分提问——局部（微观，不失系统）

在研究函数的具体性质时，提出的问题就相对微观，譬如奇偶性、周期性可以从已知的诱导公式得到，值域可以从正切线看出等等，但这些都是在建构已知到未知的知识体系.（2）提问的针对性提问力争做到有的放矢，符合学生的最近发展区，紧紧围绕重点，针对难点，扣住疑点，体现强烈的目标意识和明确的思维方向.比如在如何画出正切函数的图像这一问题上，我一直在引导学生可以从已有的性质入手，由周期性只需画出一个周期内的图像，再由奇偶性只需画出半个周期内的图像.（3）提问的适时性当课堂出现教学冲突，学生对问题的认识出现分歧时，提问能让冲突更加显现，更能揭示问题的本质.比如，得到正切函数的图像之后，学生会觉得这节课应该到此结束了，这是我提出，我们先前得到的性质还可以再完美些吗？学生这是会恍然大悟，很自然想到可以从单调性、对称性、渐近线等方面“丰满”其性质.

数学课堂教学就是通过一系列有一定梯度、有一定内在联系的问题链，由浅入深地引导学生思考，撞击学生的思维，直至揭示问题的本质的过程.“课堂教学是一门遗憾的艺术”，这节课还有很多不足，还有很多做得不到位的地方，譬如如何有效利用信息技术等.通过以上一些思考，尽管不到位，但思之则活，思活则深，思深则透.我会不断地反思自己的教学行为，总结教学的得失与成败，对每个教学过程进行回顾、分析和审视，逐渐形成自我反思的意识和自我监控的能力，不断丰富自我素养，提升自我发展能力，逐步完善教学艺术.《正切函数的性质与图象》学情分析在必修1的学习中，学生对研究函数的步骤已经比较熟悉。根据函数的定义绘制函数的简图，根据图象利用代数式研究函数的性质。在本章中也掌握了三角函数的诱导公式、正切线画法等，并且研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，学生已经有了研究函数的经验，这种经验完全可以迁移到对正切函数性质和图象的研究中。但学生存在综合运用习小组的探讨与交流，不断优化知识结构，并能把知识归纳、转化、迁移。

《正切函数的性质与图象》效果分析对刘老师的整节课总体感觉是这节课能根据教材的内容、课标的要求和学生的学情，对课堂教学进行了精心设计，课件制作实用性强，教学流程清楚，环节紧凑、流畅。体现了教育教学改革的新理念，思路清晰，结构严谨，重难点突出，讲解语言精炼，板书工整，特别注重启发引导，突出学生的主体性地位，引导学生进行主动探究，营造了积极、宽松的教学氛围。取得了良好的教学效果，是一节上的非常成功的新授课。具体来说：1.教学定位非常准刘老师对课标的解读、教材的分析有自己独到的见解，教学设计中教学目标、教学重难点把握到位，课堂教学中类比正弦函数、余弦函数的图象与性质，利用学生已有的对正切函数的定义及诱导公式，引导学生进行自主探究，深入理解数形结合的思想方法，抓住教学的关键点，让学生体会“数缺形时少直观，形缺数时难入微”的思想方法，有效的突出了教学重点、突破了教学难点。2.课件制作实用性强刘老师制作的课件针对性强，动画演示效果好，很好的辅助学生理解正切函数的图像与正切线的关系，体现正切函数的周期性，无界性，对称性等。真正体现了多媒体的辅助作用。3.课堂驾驭能力强刘老师上课教态自然，语言语调好，板书清楚有条理，个人基本功非常扎实，能与学生进行有效沟通，而且舍得把时间给学生去探究，去作图、去交流思考思路，善于启发调动学生学习的主动性，有较强的驾驭课堂的能力。让学生经历观察、思考、交流、探讨的过程，最后教师点评，及时简单中肯的评价，给予了学生莫大的鼓励，较好的发挥了教师的主导作用。让我特别敬佩的是刘老师敢于让学生犯错，让学生经历独立思考、自主探究的过程，然后通过对学生错误的分析引导学生走出理解误区，从而实现教学目标的达成。《正切函数的性质与图象》教材分析教材所处的地位和作用前面我们研究正切函数的性质和图象，数的定义，诱导公式，正切线等）研究性质，然后再根据性质来研究正切函数的图象。我认为如果把函数看成一个人的话，图像就好比他的外表，代数就好比他的内心，一个完整的人是内心和外表的综合体。前面的指数，对数，幂，正弦，余弦函数都是先看外表，而内心的美才是真正的美！这样处理可以给学生提供研究数学更多的视角，在性质的指导下可以更加有效地作图，研究图象，加强理性思考的成分，并使数形结合的思想体现的更加全面，体会到数学的美！教学目标

知识和技能目标：1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，即“正弦函数图像类比推导法”2、准确写出正切函数的性质，并通过练习体验正切函数基本性质的应用．（二）过程与方法目标：1、通过学生自己动手作图，调动学生的积极性和情感投入，培养学生数形结合的思想方法；2、培养学生类比、归纳的数学思想；3、培养学生发现数学规律，实践第一的观点，增强学习数学的兴趣。重点、难点与疑点（一）、教学重点：正切函数的图象和性质。

1、我打算用类比正弦函数图像类比推导法，单位圆中的正切线作正切函数图象法，引

2、学会画正切函数的简图，体会与xx=/2

+k，kZ象形状时所起的关键作用。（二）、教学难点：体验正切函数基本性质的应用，

（三）、教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，但由于定义域的不连续性并非整个定义域内的增函数；《正切函数的性质和图象》测评练习1．比较大小2．求函数的定义域、值域、周期、单调区间、对称中心。3．求下列函数的周期：；4．解以下不等式：能力提高xOy①xOy①xOy②xOy③xOy④2．函数，，，在上的大致图象依次是（）A.①②③④B.①④③②C.①③④②D.③②④①3．求的值域。4．已知是一个三角形的内角，且满足，求的取值范围。《正切函数的性质与图象》课后反思本节课从以下几个方面完成的比较好1.中学数学课程目标

数学知识是静态的，而数学思维则是动态的.所以数学教学理应是数学思维活动的教学，其中揭示数学思维过程是数学教学最基本（最高）的指导原则.在本节课中，我时刻通过设置“矛盾冲突”撞击学生的思维，比如：在得到正切函数的概念之后，提出如何研究这一具体函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法；又如，在得到正切函数的部分性质之后，提出如何能“丰满”正切函数的性质，启发学生可以借助图像进行研究，让学生感受“数缺形少直观，形缺少数难入微”的精妙.总之，教师时刻以培养学生的思维为出发点的教学，才是真正的数学教学，才能承载中学数学课堂的使命——培养学生的数学思维和数学素养.2.站在系统的高度组织教学数学知识是一个有机整体，运用系统的观点对所教内容进行整合，以优化其结构，系统其知识、能力与方法.其实，数学本身就是一个系统，在这个系统中，数学知识是“肉体”，数学思想和方法是“神经系统”，数学思维则是“灵魂”.三角函数是函数系统中的一个小分支，正切函数是三角函数这个小分支中的一个节点.正切函数的图像和性质“肉体”，类比和数形结合是“神经系统”，如何利用已知研究未知则是“灵魂”.首先，类比研究正（余）弦函数的思路提出问题，让学生能清晰的认识本节课的内容：在内容上，是研究一个具体函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性；在思想方法上，数形结合应是对其性质研究的主要途径.其次，在已有性质的基础上，如何能让正切函数的性质更加“丰满”呢？学生自然能想到借助图像，那么如何能得到图像呢？引导学生，从而得到画出图像的方法.从系统论的高度把握高中数学教学，目的是使课堂教学更加有效，甚至高效.3.站在学生的角度组织教学教师如果上课只是告诉学生数学结论或机械的方法，不但违背中学数学课堂教学所承载的使命，而且还不能培养学生的思维.下面以“课堂提问”为例，谈谈本节课如何站在学生的角度组织教学，如何有效搭建已知到未知（知识的生成过程）的桥梁.（1）提问的层次性

课程两端提问——整体（宏观）

在本节课一开始，类比正弦函数、余弦函数的性质：我们如何研究正切函数的性质，从哪些方面进行研究.这一提问能让学生明白我们这节课的主题，学生就会一直围绕这一问题进行思考，思维一直处在自我否定、自我完善的过程.

中间部分提问——局部（微观，不失系统）

在研究函数的具体性质时，提出的问题就相对微观，譬如奇偶性、周期性可以从已知的诱导公式得到，值域可以从正切线看出等等，但这些都是在建构已知到未知的知识体系.（2）提问的针对性提问力争做到有的放矢，符合学生的最近发展区，紧紧围绕重点，针对难点，扣住疑点，体现强烈的目标意识和明确的思维方向.比如在如何画出正切函数的图像这一问题上，我一直在引导学生可以从已有的性质入手，由周期性只需画出一个周期内的图像，再由奇偶性只需画出半个周期内的图像.（3）提问的适时性当