高中数学-【课堂实录】用二分法求方程的近似解教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计用二分法求方程的近似解教学目标1．知识与技能：理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅导教学，让学生用计算器和计算机验证求方程近似值的过程；2．过程与方法：体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生探究问题的能力、创新的能力，以及严谨的科学态度；3．情感态度及价值观：体验并理解函数与方程相互转化的数学思想方法；感受通过迂回的方法使问题得到解决的快乐。教学重难点重点：二分法原理及其探究过程；用二分法求方程的近似解。难点：对二分法原理的探究，对精确度、近似值的理解。教学方法讲授法与合作交流相结合，通过老师恰当合理的讲授，师生之间默切的合作交流，认识二分法、理解二分法的实质，从而能应用二分法研究问题，达到知能有机结合的最优结果。教学过程设计一、设计问题，创设情境师：问题1：一天晚上，学校里同学们正在聚精会神地学习，忽然停电了。据了解原因是供电站到学校的某处线路出现了故障，维修工人该如何迅速查出故障所在？（电路长10km，每50m一根电线杆）生：1．确定故障所在范围．2．确定检测范围中点．3．检测中点(1)若中点为故障点，即可；(2)若中点不为故障点，判断故障所在范围（被中点所分两范围之一）．判断故障范围是否符合精度，若符合，则得到故障点的近似处，否则重复上述步骤2~4步。师：问题2：要把故障可能发生的范围缩小的50-100m左右，即一两根电线杆附近，最多查几次就可以了？生：7次。（设计意图：从实际生活中的问题入手，引导学生进入深层的思考。让学生经历直观感知，观察发现，抽象与概括，数据处理，反思与建构等思维过程，体会数学来自于生活，应用于生活。）时间预设：5分钟新知探究，尝试解决师：问题1：你是否会解方程(1)lnx+2x-6=0?生：可以在同一坐标系内画出函数y=lnx和函数y=-2x+6的图像，图像交点的横坐标就是方程的解。师：很好！充分体现了数形结合的思想。生：可以构造函数y=lnx+2x-6，函数的零点就是方程的根。师：很好，充分体现了函数与方程的思想。回顾旧知：方程f(x)=0有实根<=>函数y=f(x)有零点求方程lnx+2x-6=0的实根<=>求函数y=lnx+2x-6的零点师：我们能得到方程的准确值吗？生：不能。师：既然求不出准确值，问题2：能不能确定方程lnx+2x-6=0的根的大概范围呢？师：课本88页我们已经知道函数y=lnx+2x-6在区间(2,3)内存在且只有一个零点。且f(2)<0,f(3)>0,你有进一步缩小零点范围的方法吗？生：用引例中的方法，取中点。（设计意图：问题是数学的“心脏”，是数学知识、能力发展的生长点和思维的动力，把问题作为教学出发点，创设学生熟悉的问题组，构造认知冲突和悬念。问题1没有公式可用，引起学生认知冲突，激起学生进一步探究的欲望。意在复习方程的根和函数零点的联系。将方程的近似解转化为函数的零点。）引导学生根据示意图分析取中点，不断缩小零点的范围的过程。2.52.522.752.6252.625223（设计意图：通过图示引导学生看到零点的范围可以进一步的缩小，从而使区间的端点值无限的逼近函数的零点。）时间预设：5分钟交流合作，解决问题次数取a=取b=区间长度|a-b|1234师：下面由同学们通过计算填写表中的数据（设计意图：将上图画在黑板上，让同学们同桌俩一组，一个用计算器，一个记录数值，合作完成计算工作，把时间放心地交给学生，给他们动手实践的机会，加强学生的合作意识，锻炼学生独立分析问题、解决问题的能力。)生：到黑板上填写表格。师：播放PPT，对学生的解答做出判断并总结。师：问题1：计算何时终止？（达到精确度)xxxxobx师：问题2：函数零点的精确度与函数零点所在范围大小的关系？（直观想象）(设计意图：一方面将研究问题进一步明确化，另一方面为引出二分法做铺垫，同时培养学生直观想象能力。利用数轴画图出简图来辅助说明，理解为求得方程更为精确的近似解，直观上就是去探求零点所处的更小的范围，即求方程近似解的问题可以转化为不断缩小零点所在范围或区间的问题。)师：问题3：如果精确度为0.1，近似值是多少？生：2.5或2.5625问题4：如果精确度为0.01呢？生：还得继续算。师：随着精确度的调整，要不断地大量地重复计算，下面我利用excel演示用计算机画函数的图像和求方程的近似解过程。打开链接的excel表，在sheet1工作表输入A3输入x的一列取值，B3输入公式，得到一列函数值，用这组值生成散点图。用二分法求方程ln(x)+2x-6=0的近似解（精确到0.01）xy0.1-8.1025850931-42-1.30685281931.09861228943.38629436155.60943791267.79175946979.945910149812.07944154914.197224581016.30258509在sheet2工作表中输入：A3输入2，B3输入3，C3输入平均值函数，求A3和B3的平均值，在D3输入函数表达式；A4输入条件语句：IFD3>0,THENA3ELSEC3；B4输入条件语句：IFD3<0,THENB3ELSEC3。拖动填充柄，得到一组数据。用二分法求方程ln(x)+2x-6=0的近似解（精确到0.01）ab区间中点中点函数值精确度232.5-0.08370926812.532.750.5116009120.52.52.752.6250.2150808960.252.52.6252.56250.0659833440.1252.52.56252.53125-0.0087867480.06252.531252.56252.5468750.0286171170.031252.531252.5468752.53906250.0099199180.0156252.531252.53906252.535156250.0005677720.00781252.531252.535156252.533203125-0.0041091910.003906252.5332031252.535156252.534179688-0.0017706350.0019531252.5341796882.535156252.534667969-0.0006014130.0009765632.5346679692.535156252.534912109-1.68157E-050.000488281师：精确度为0.01时零点的近似值是多少？生：2.53125或2.5390625师：精确度为0.001时零点的近似值是多少？生：2.534179688或2.53515625（设计意图：利用多媒体辅助教学有利于完善学生认知，深刻体验二分法思想的本质，为学生自身总结归纳步骤奠定基础，并且提高教学效率。让学生从不同步长的数据中选择所需的数据，提高数据处理能力，使学生的感官受到强烈的冲击，加深对二分法的理解。）时间预设：13分钟四、归纳总结，揭示新知教师进一步引导学生梳理前面的思维过程，先可以采用通俗的语言加以概括。教师板书二分法的定义，本方法所体现的思想是数学中的重要思想――逼近思想。着重指出“二分法”的实质是将函数零点所在的区间不断的一分为二，使得新得到的区间不断变小，两个端点逐步逼近零点。师：用二分法求函数零点的基本步骤是什么？引导学生归纳得出：师：（1）求函数f(x)的零点近似值第一步应做什么？生：确定区间[a,b]，使f(a)·f(b)<0师：（2）为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？生：求区间的中点c，并计算f(c)的值师：（3）若f(c)=0说明什么？若f(a)·f(c)<0或f(c)·f(b)<0，则分别说明什么？生：若f(c)=0，则c就是函数的零点；若f(a)·f(c)<0，则零点x0∈(a,c)；若f(c)·f(b)<0，则零点x0∈(c,b).师：（4）何时终止计算？生：若|a-b|<ε，则得到零点近似值a（或b）教师板书用二分法求函数零点近似值的基本步骤：确定区间[a,b]，使f(a)·f(b)<0，给定精度ε；2.求区间(a,b)的中点c；3.计算f(c)；（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；（2）若f(a)·f(c)<0，则令b=c，（此时零点x0∈(a,c)）；（3）若f(c)·f(b)<0，则令a=c，（此时零点x0∈(c,b)）.4.判断是否达到精确度ε：若|a-b|<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤2～4．（设计意图：通过引导，让学生理解二分法的定义及无限逼近的数学思想，对用二分法求函数零点的步骤充分理解，初步接触到算法的思想。）时间预设：7分钟五、应用新知，实践巩固例2、借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）由学生利用计算器计算自行得出答案。师:问题1：第一步做什么？生：将方程的解转化为函数的零点，构造函数。师：问题2：怎样确定的初始区间？生：画图像生：试值。师：初始区间是什么？生：（1,2）师：问题3：近似解是多少？师：问题4:精确度改为0.01呢?由一名同学上讲台为同学们展示画图及求解过程。（设计意图：精心设计了阶梯型的问题串，使学生主动参与教学活动，思维层层深入，体现了教师为主导，学生为主体的教学原则。让学生展示计算器求得的近似值，并尝试用计算机进行操作。）练习：下列函数的图象中，其中不能用二分法求函数零点的是（C）xxy0xyxxyxy0xy0ABCD（设计意图：练习是为了让学生明确二分法求近似解的使用范围，即适用于变号零点的近似解问题。）时间预设：11分钟六、反思小结，体会收获什么是二分法？具有什么特征的函数不能用二分法求零点？用二分法求函数零点的步骤是什么？(设计意图：强化巩固本节的学习内容将概念和习题很好的结合起来。）时间预设：3分钟七、巩固提高，课外练习课后作业：1、课本92页习题3.1A组4(用计算器）、5(上机操作）2、阅读课本91页《中外历史上的方程求解》（设计意图：A组第4题让学生用计算器计算，第5题让同学们上机操作，使同学们能够独立的解决问题，而不是只被动的听或者看老师操作，提高学生的实践水平。通过阅读课本91页《中外历史上的方程求解》，使学生了解数学史，培养他们钻研问题的精神。有助于让学生感受数学文化，逐步形成正确的数学观。）时间预设：1分钟板书设计课题一、二分法的定义二、二分法求函数零点近似解的步骤1234次数取a=取b=区间长度|a-b|123xxxobx4精确度学情分析学生之前已经学习了方程的根与函数零点，理解了函数图象与方程的根之间的关系，具有了一定的数形结合能力，在此基础上再介绍求函数零点近似值的二分法时，需要引导学生观察、计算、思考，理解问题的本质，从而领悟二分法的思想，进一步提高数形结合的能力。考虑到学生对于函数与方程之间的联系缺乏一定的认识，对于综合函数图象与性质把握不准，计算机的应用尚不熟练，这些都给学生在联系函数与方程、发现函数值逼近函数零点时造成一定的困难，因此在教学过程中应该为学生创设熟悉的问题情境，给学生提供动手实践的机会，加强对信息技术的应用。通过导学性作业，我发现大部分学生在两个方面存在问题：其一，连续函数在某个区间上存在零点的判定及对误差意义理解有困难；其二，对计算机的应用不熟练。所以在实际教学过程中，我格外注意这两点。效果分析本节的教学设计，力图从知识结构、学生的认知结构展开，充分挖掘和体现本课内容所蕴含的知识技能、思想方法、数学应用、数学文化的教育价值及学习研究解决问题的策略，立足“方程与函数的关系”，渗透了“算法”和“逼进”的数学思想，程序化的解决问题的策略。从“测电路”引入贴切，通过生活实例直观感受二分法的思想，开门见山，延续上一节课的内容继续深入的研究，将本节的知识建构在旧知识的体系中。设计中不管是情境的创设，还是教师的引导和数学活动的设置，都能从学生的实际出发，让学生经历了直观感知、观察发现、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思建构等思维的全过程。在设计中还注意到数学的应用意识，思考题中把“二分法”应用到电缆线故障点的检修，提升了数学方法的重要性和普遍性，体现了数学与生活的联系。教师由上一节课探究出的函数在区间（2，3）内仅有一个零点这一结果提出问题，如何找这个零点？教师采用启发式教学方法，引导学生利用函数思想，借助函数零点的知识来研究方程的解，通过学生主动思考、小组合作交流、师生共同探究和提炼方法，得出了二分法的定义，归纳出了用二分法求方程近似解的一般步骤，在这一过程中教师始终是课堂活动的设计者、组织者、引导者和评判者，学生积极参与教学，真正成为课堂的主体。同时以函数计算器和计算机为支撑平台，为解决教学重点、突破难点起到了辅助作用，提高了教学效率.随后的练习贴近教学，起到了巩固和提高的作用.课堂小结是以学生所学知识纳入已有的认知结构由学生完成的，培养了学生自主归纳总结知识的良好习惯和数学交流的表达能力。本节课学生掌握了用二分法求方程的近似解的方法，初步形成了用函数观点处理问题的意识，体会了数学的逼近思想，感受到了精确与近似的相对统一，教学目标和教学设计立足于“一切为了学生的发展”，课堂教学进程自始至终关注学生终身发展中的一般能力，关注学生个性心理品质的完善，符合“数学为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义”的新课程理念。教材分析本节课是在学生学习了集合和函数概念、基本初等函数I后来研究函数与方程关系的，是“函数与方程”的重点。它要求学生根据具体的函数图象，借助计算机用二分法求相应方程的近似解。内容上既衔接了之前函数零点与方程根的联系，又为高中数学必修三算法内容的学习做了铺垫。因此，它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展；既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想奠定了基础，具有重要的地位和作用。二分法在解决以方程形式表示的实际问题时有重要的意义，特别是在应用意识日益加深的今天，函数与方程的实质揭示了客观世界中量的相互依存、相互制约的关系，因而函数与方程思想的教学，既具有不可替代的重要地位，又具有很强的现实意义，课堂上要渗透这一思想。本节课的重点是理解二分法的基本思想，掌握借助计算器和计算机用二分法求给定方程近似解的步骤和过程，以及对求方程的近似解与缩小函数零点所在的范围的关系的认识；难点是精确度概念的理解，对求方程近似解的一般步骤的概括和理解。评测练习1、用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（A）A.B.C.D.2、已知函数的图象是连续不断的曲线，有如下的与的对应值表：1234567132.115.4—2.318.72—6.31—125.112.6那么，函数在区间上的零点至少有（C）A.5个B.4个C.3个D.2个3、设函数与的图象的交点为（），则所在的区间是（B）A.B.C.D.4、用二分法求方程在区间内的实根，取区间中点，那么下一个有根区间是(2,2.5)。课后反思对于引入部分，课前我构思了很多种方案但是认为猜假币模拟实验中二分法并不是最优解法，所以只有两种方案：猜价格和查故障。觉得猜价格娱乐性较强，所以采用了具有很好实用性的实例查故障。创设有趣且适合学生认知的问题情境，调动课堂气氛，提高学生的学习兴趣，鼓励学生动手、动口、动脑，积极参与数学的学习过程．在探究部分：引入课题后，对“二分法在区间的什么地方取分点”、“分到什么时候为止”、“为什么可用端点值作为方程根的近似解”等学生感觉困惑的问题采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法。师生不断交流，形成概念。并在强化概念的基础上，让学生使用信息技术亲身体验二分法求解方程近似解的。为进一步学习算法做好铺垫。信息技术的应用一是给学生提供了快速计算的工具，提高效率；二是给学生提供了验证的工具，检验结论的正确性。教学以问题为主线，重视二分法概念的形成，培养学生的探究意识，增强学生的问题意识，提高学生发现和解决问题的能力．在整个教学过程中，注意发挥学生的主体性，给学生留下充分的