高中数学-《数列求和》教学设计学情分析教材分析课后反思

高三复习课《数列求和》教学设计一、设计思想：本科教学能够充分培养学生的动手观察能力及数学中的类比和转化思想。二、教材分析：本节课的教学内容在教材中所占的篇幅比较小，但重要性不容忽视，关于数列求和经常或遇到非等差、等比数列的求和问题，特别是裂项相消、错位相减在高考中经常遇到。三、学情分析：所任教的班级是文科班，学生的基础不够扎实，理解能力还有待提高。因此本节课所设计的题目难度和容易上较为侧重基础，难度不大，但是具有典型的代表性，题目不大，但是精炼，能适应学生的认知水平，使学生在教学过程中能灵活应用，思维得到提高。四、教学目标：知识目标：掌握数列求和的几种方法，能将一些特殊数列的求和问题转化为等差、等比数列以及先去中间项。能力目标：培养学生的观察能力，运算、化归意识，培养学生的数学思维能力和问题转化的思想。情感目标：激发学生学习数学的兴趣。五、教学重点：将一般数列转化为等差、等比数列的几种方法，学会如何转化。解决方法：观察、分析、找特征、抓关键。六、教学难点：不同数列采用不同的方法，运用转化的思想方法，分析问题和解决问题。解决方法：分析、鉴别教学过程1、研究高考，明确考向考试说明说考点高考命题实况考高考法分析2012年2013年2014年命题概率数列求和及应用课标全国文12题5分浙江文19题14分福建11题5分湖南文19题13分安徽文19题13分重庆16题13分文20题12分课标全国1文17题12分课标全国2文5题5分湖南16题12分四川文19题12分重庆文16题13分安徽文18题12分命题概率约为10%①等差与等比数列的综合②数列求和及应用出示学习目标：考什么：熟练掌握等差、等比数列的前项公式怎么考：（1）数列求和主要考查分组求和、错位相减和裂项相消求和，特别是错位相减出现的机率较高。（2）题型上以解答题为主3、处理基础回顾：学生说答案，有不同的答案举手说明，教师解惑答疑。4、解决各考点学生展示，讲解自己的做法，其余学生点评，教师纠错，学生笔记。设计意图：通过教师的引导及学生自己观察数列通项得到解此问题的方法的关键，将此数列分成两部分来看，培养学生分类和转化思想。学生活动：请一名学生板书示范过程，同时巡视学生练习情况，观察学生是否能对数列进行转化，学生讲解，其他学生点评，教师纠正。设计意图：在例题的基础上加深了一些难度，让学生体会到求和过程中通项公式的重要性，并对分组求和进行了及时巩固。[典例1](2013·安徽高考)设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N＋，函数f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cosx－an＋2sinx满足f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,2an)))，求数列{bn}的前n项和Sn.[解](1)由题设可得f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sinx－an＋2cosx.对任意n∈N＋，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0，即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列．由a1＝2，a2＋a4＝8，可得数列{an}的公差d＝1，所以an＝2＋1·(n－1)＝n＋1.(2)由bn＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,2an)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1＋\f(1,2n＋1)))＝2n＋eq\f(1,2n)＋2知，Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2n＋2·eq\f(nn＋1,2)＋＝n2＋3n＋1－eq\f(1,2n).针对练习：已知数列{an}的首项a1＝3，通项an＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且a1，a4，a5成等差数列．求：(1)p，q的值；(2)数列{an}前n项和Sn的公式．[典例2](2013·湖南高考)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N＋.(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n项和．解](1)令n＝1，得2a1－a1＝aeq\o\al(2,1)，即a1＝aeq\o\al(2,1).因为a1≠0，所以a1＝1.令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1两式相减，得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1.于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．因此，an＝2n－1.所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)由(1)知，nan＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②①－②，得－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n.从而Bn＝1＋(n－1)·2n.针对练习：已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1；数列{bn}满足bn－1－bn＝bnbn－1(n≥2，n∈N＋)，b1＝1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))的前n项和Tn.设计意图：有了例1的基础，学生很自然的发现这个数列是由等差数列和等比数列乘积构成的，那么，就很容易发现它符合错位相减的条件，这就可以培养学生思维拓展和善于观察的能力。学生交流讨论，发现问题，解决问题。设计意图：让学生熟练掌握错位相减，达到应对自如。设计意图：通过教师的引导及学生自己观察数列通项得到解此问题的方法的关键，将此数列通项分成两部分的差来看，培养学生分类和转化思想。学生活动：请一名学生板书示范过程，同时巡视学生练习情况，观察学生是否能对数列进行转化，学生讲解，其他学生点评，教师纠正。[典例3](1)=（2）已知函数f(x)＝xa的图像过点(4,2)，令an＝eq\f(1,fn＋1＋fn)，n∈N＋.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2013＝ ()A.eq\r(2012)－1 B.eq\r(2013)－1C.eq\r(2014)－1 D.eq\r(2014)＋1（3）．(2013·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2n－1a2n＋1)))的前n项和．课堂小结：本节课介绍了三种求和方法：分组求和、错位相减、裂项相消，在使用的过程中体现了转化的数学思想，将数列转化为等差数列、等比数列或消去某些项，关键是抓住通项特征。板书设计：课题：数列求和四、总结规律学生板演分组求和例1、错位相减例2、裂项相消例3、课后反思：数列求和要求在熟练掌握等差、等比数列的前项和公式的基础上，学习数列求和的常用方法。

一、公式法求和（即直接利用等差数列和等比数列的求和公式进行求和）；

二、非等差、等比数列求和的常用方法

分组转化求和法、错位相减法、裂项求和法

这节内容安排一个课时，从实际教学效果看教学内容安排得符合学生实际，由浅入深，比较合理，基本达到了预期的教学目标及要求。结合自我感觉、学生反馈，这节课比较突出的有以下几个优点。

1、注重“三基”的训练与落实

数列部分中两种最基本最重要的数列就是等差数列和等比数列，很多数列问题包括数列求和都是围绕这两种特殊数列展开的，即使不能直接利用等差数列和等比数列公式求和，也可根据所给数列的不同特点，合理恰当地选择不同方法转化为等差数列或等比数列再行求和。因此上课前做为本节课的知识必备，就要求学生强化等差数列和等比数列求和公式的记忆。其次通过典型例题使学生体会并掌握根据所给求和数列的不同特点，采用分组转化法、错位相减法将所给数列转化为等差数列或等比数列再行求和的基本技能。用裂项相消法把多项求和转化为少项求和，从而把没有规律的求和转化为有规律的求和。让学生从中充分体会到转化的数学思想在数列求和中的应用。

2、例、习题的选配典型，有层次

一方面精选近年典型的高考试题、模拟题做为例、习题，使学生通过体会和掌握，达到举一反三的目的；另一方面结合学生实际，自行编纂或改编了一些题目，或在原题基础上降低了难度，设计出了层次，或在学生易错的地方设置了陷阱，提醒学生留意。同时所配的课堂练习也充分注意了题目的难易梯度，把握了层次性，由具体数字运算到字母运算，由直接给出数列各项到用分段函数形式抽象表述数列，由单一方法适用到能够一题多解等等。

3、对学生可能出现的问题有预见性，并能有针对性地对症下药进行设计

对于直接利用公式求和的等差数列或等比数列求和问题，预见到学生的关键问题应该出在搞不清求和的项数上，因而在求和的项数上做了文章，有意设计了求和涉及到项数的题目，并且通过这两道题特别强调了算清项数、如何算清项数等问题，抓住了学生解决这类问题的软肋。

4、教学过程中充分关注到了学生的反应和状态

在解题教学中比较注意启发引导学生，通过自然习得，从而顺理成章达到水到渠成。从题目的设计到解题思路的分析都考虑到了学生的接受能力，从具体到抽象，通常是把问题摆出来、提一句、点一下，尽量不包办代替，努力引发学生的体验和思考，比较注重知识形成过程的教学。同时注意通过多种途径，多种角度，一题多解解决问题，杜绝直接把结果强加给学生，使学生不知所云。

教学的抽象概括体现效果好

抽象概括把学生引导到对于数列求和问题，先从通项入手，没有通项的先求通项，然后对通项变形，把一般数列的求和转化为特殊数列的求和，给学生指明了解题的方向。

当然这两节节课的教学也存在着这样那样的不足，比较典型的有以下两点。

1、对于基本公式的掌握仍需加强落实

部分同学公式的记忆仍成问题，本以为课上可以一带而过，不成想主动举手、信心满满、自以为可以完美表现的同学站起来仍然把等比数列的公式说错了，可想而知其他同学的情况了，恐怕也不容乐观，可见连基本公式的强化记忆都是需要老师不厌其烦加以督促的。

2、由于课堂时间容量的限制，学生们的思维活动展现得还不够充分，问题也没有完全暴露出来。《数列求和》学情分析所任教的班级是文科班，学生的基础不够扎实，理解能力还有待提高。因此本节课所设计的题目难度和容易上较为侧重基础，难度不大，但是具有典型的代表性，题目不大，但是精炼，能适应学生的认知水平，使学生在教学过程中能灵活应用，思维得到提高。《数列求和》教学效果分析从实际教学效果看教学内容安排得符合学生实际，由浅入深，比较合理，基本达到了预期的教学目标及要求。结合自我感觉、学生反馈，这节课比较突出的有以下几个优点。

1、注重“三基”的训练与落实

数列部分中两种最基本最重要的数列就是等差数列和等比数列，很多数列问题包括数列求和都是围绕这两种特殊数列展开的，即使不能直接利用等差数列和等比数列公式求和，也可根据所给数列的不同特点，合理恰当地选择不同方法转化为等差数列或等比数列再行求和。因此上课前做为本节课的知识必备，就要求学生强化等差数列和等比数列求和公式的记忆。其次通过典型例题使学生体会并掌握根据所给求和数列的不同特点，采用分组转化法、错位相减法将所给数列转化为等差数列或等比数列再行求和的基本技能。用裂项相消法把多项求和转化为少项求和，从而把没有规律的求和转化为有规律的求和。让学生从中充分体会到转化的数学思想在数列求和中的应用。

2、例、习题的选配典型，有层次

一方面精选近年典型的高考试题、模拟题做为例、习题，使学生通过体会和掌握，达到举一反三的目的；另一方面结合学生实际，自行编纂或改编了一些题目，或在原题基础上降低了难度，设计出了层次，或在学生易错的地方设置了陷阱，提醒学生留意。同时所配的课堂练习也充分注意了题目的难易梯度，把握了层次性，由具体数字运算到字母运算，由直接给出数列各项到用分段函数形式抽象表述数列，由单一方法适用到能够一题多解等等。

3、对学生可能出现的问题有预见性，并能有针对性地对症下药进行设计

对于直接利用公式求和的等差数列或等比数列求和问题，预见到学生的关键问题应该出在搞不清求和的项数上，因而在求和的项数上做了文章，有意设计了求和涉及到项数的题目，并且通过这两道题特别强调了算清项数、如何算清项数等问题，抓住了学生解决这类问题的软肋。

4、教学过程中充分关注到了学生的反应和状态

在解题教学中比较注意启发引导学生，通过自然习得，从而顺理成章达到水到渠成。从题目的设计到解题思路的分析都考虑到了学生的接受能力，从具体到抽象，通常是把问题摆出来、提一句、点一下，尽量不包办代替，努力引发学生的体验和思考，比较注重知识形成过程的教学。同时注意通过多种途径，多种角度，一题多解解决问题，杜绝直接把结果强加给学生，使学生不知所云。

《数列求和》教学研究数列是一种重要的函数模型，高中阶段研究数列的主要对象为等差、等比数列，本节课的教学内容是在学习了等差、等比数列的定义、性质、前项和的基础上，对可化为等差、等比数列求和进行归纳总结，它与等差、等比数列的定义、性质、前项和联系紧密，同时又为今后在高校学习奠定坚实的基础。数列这一章是高中数学的重点内容之一，也是高考的考查重点，在历届高考试题中占较大比重，而数列求和是本章精华所在，它既考查了等差、等比数列的定义、性质、前项和，又培养了学生灵活分析问题，解决问题的能力，本节课主要学习常见几种数列求和方法，此内容以解答题形式出现，在复习中应引起学生足够重视。《数列求和》测评练习1、若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝ ()A．15 B．12C．－12 D．－152、已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bnbn＋1)))的前n项和Sn＝________.3、已知向量p＝(an,2n)，向量q＝(2n＋1，－an＋1)，n∈N＋，向量p与q垂直，且a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝log2an＋1，求数列{an·bn}的前n项和Sn.《数列求和》课后反思数列求和要求在熟练掌握等差、等比数列的前项和公式的基础上，学习数列求和的常用方法。

一、公式法求和（即直接利用等差数列和等比数列的求和公式进行求和）；

二、非等差、等比数列求和的常用方法：分组转化求和法、错位相减法裂项求和法

这节内容安排一个课时，从实际教学效果看教学内容安排得符合学生实际，由浅入深，比较合理，基本达到了预期的教学目标及要求。结合自我感觉、学生反馈，这节课比较突出的有以下几个优点。

1、注重“三基”的训练与落实

数列部分中两种最基本最重要的数列就是等差数列和等比数列，很多数列问题包括数列求和都是围绕这两种特殊数列展开的，即使不能直接利用等差数列和等比数列公式求和，也可根据所给数列的不同特点，合理恰当地选择不同方法转化为等差数列或等比数列再行求和。因此上课前做为本节课的知识必备，就要求学生强化等差数列和等比数列求和公式的记忆。其次通过典型例题使学生体会并掌握根据所给求和数列的不同特点，采用分组转化法、错位相减法将所给数列转化为等差数列或等比数列再行求和的基本技能。用裂项相消法把多项求和转化为少项求和，从而把没有规律的求和转化为有规律的求和。让学生从中充分体会到转化的数学思想在数列求和中的应用。

2、例、习题的选配典型，有层次

一方面精选近年典型的高考试题、模拟题做为例、习题，使学生通过体会和掌握，达到举一反三的目的；另一方面结合学生实际，自行编纂或改编了一些题目，或在原题基础上降低了难度，设计出了层次，或在学生易错的地方设置了陷阱，提醒学生留意。同时所配的课堂练习也充分注意了题目的难易梯度，把握了层次性，由具体数字运算到字母运算，由直接给出数列各项到用分段函数形式抽象表述数列，由单一方法适用到能够一题多解等等。

3、对学生可能出现的问题有预见性，并能有针对性地对症下药进行设计

对于直接利用公式求和的等差数列或等比数列求和问题，预见到学生的关键问题应该出在搞不清求和的项数上，因而在求和的项数上做了文章，有意设计了求和涉及到项数的题目，并且通过这两道题特别强调了算清项数、如何算清项数等问题，抓住了学生解决这类问题的软肋。

4、教学过程中充分关注到了学生