高中数学-1.4生活中的优化问题举例例1教学设计学情分析教材分析课后反思

PAGE6PAGE选修2-21.4生活中的优化问题举例-教学设计一、

教材依据：1．教学内容所属模块：选修2-22．年级：高二下学期3.所用教材出版社：普通高中课程标准实验教科书-数学，选修2-2，人民教育出版社A版，4.所属章节：第一章：导数及其应用。1.4生活中的优化问题举例5.教学时间：45分钟

二、

设计思想：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。而这类问题对于学生来说是难点。高考说明中，利用导数解决实际问题属于B层次（理解），体现数学的实用性，利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点。本节课通过利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用，让学生经历数学建模过程：从生活实际到数学模型，再通过解决数学问题而达到实际问题被解决的过程。

1、设计理念：以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、发现，以及对所学知识的主动建构，采用探究式教学，倡导“自主、合作、探究”的学习方式.

2、教材分析：本节课是在学习了导数概念及利用导数求函数单调区间、求函数极值和最值等内容的基础上，进一步利用导数这一工具可求函数最值这一重要作用来解决实际问题.通过导数为解决函数问题提供了更广阔的天地，体现了导数在处理函数问题中的工具作用.是本节乃至本章的教学重点.

3、学情分析：学生已经学习了函数以及导数的基础知识，知道了利用导数研究函数的基本性质，用导数来处理函数单调性、极值、最值等问题的基本思路，但如何利用导数来解决一些具体的问题，学生的能力还比较薄弱，这都造成了本节课的困难，需要进行问题的引导.

注意：①学生的难点是如何建模，应注重这方面的引导训练；

②考虑对自变量的实际限制，规范解题步骤的表述；

③充分体会导数在解决数学及其他学科实际应用题中的工具性作用.

三、课标导航：1、掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法；2、会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值，如用料最省、利润最大、面积和容积最大（最小）、效率最高等优化问题。重点：利用导数求函数最值的方法，用导数方法求函数最值的方法步骤。难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系，求一些实际问题的最大值与最小值。为了达到上述目标，在教学上采用“探究发现、总结提升”、通过练习巩固提高教学方法，由于本课例题与练习的文字较多，采用PPT课件的形式，将相关文字以投影的形式给出，以便提升课堂容量。四、教学基本流程复习引入应用（例1海报版面尺寸的设计）课堂练习总结拓展提升一、首先来复习一下上节课的内容：教师活动：极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质。特别地，一般如果函数在给定开区间内只有一个极值点，则这个极值一定是最值。学生活动：回顾、分析导数得应用，明确其使用方法。设计意图：复习，帮助学生学习本节课知识。二、引入教师活动：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题有时也称为最值问题。解决这些问题具有非常现实的意义。这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题。我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。学生活动：明确本节的基本内容。设计意图：使学生明确本课内容，学习时能够有的放矢。三、应用教师活动（这道题目必须明确“版心”的概念，通俗一点，版心是我们能够写东西、发挥创意的地方。考虑到美观，不能占有整个版面，四周必须留有适当的边距。）分析：例1的前提是海报的版心面积一定，上下左右边距一定，而版心的高和宽是不定的、变化的。因此，可设版心的高为x，相应地，版心的宽可用含x的式子表示。由于上下左右边距一定，这样，整个海报的面积也可用含x的式子表示出来，整个海报的面积减去版心的面积就是四周空白的面积。学生活动：师生共同研究在已知海报设计的相关情况下，如何设计才能用料最省。设计意图：创设问题情景。在师生共同探讨的基础上，演示解题过程。引导学生把实际问题用函数来刻画，然后利用函数知识解决，从而解决实际问题。用问题的形式引入新课，一是进一步提升学生建模能力；二是让学生自行设计解决方案。此题可用基本不等式，也可用二次函数求最值，也可用导数求最值。解题思路广，能独立解决的可能性就大，让学生体会成功的喜悦。然后教师对导数得应用进行展开，引发学生积极的思考，导数在解决优化问题上的“万能型”。,所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。教师活动：通过这样的一个实际例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：首先考虑如何建立函数模型。以其中某一个量为自变量，构造一个函数，一般所求的最大或最小值作为函数值，然后建立一个函数解析式，函数的定义域要使得实际问题有意义。利用单调性或导数来解决。设计意图：培养学生归纳总结的能力。教师活动：练习：用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的小正方形的边长为多少？并求出铁盒容积的最大值。学生活动：1.学生自主探求答案2.与教师提供的参考答案对照。3.探求出现错误的原因。设计意图：让学生掌握问题的基本流程，提高分析问题、解决问题的能力。四、小结教师活动1、生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题有时也称为最值问题。2、解决优化问题的基本思路是：优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。3、解决优化问题的实质：将实际问题化归为函数的最值问题来处理。对目标函数的最值，要根据函数式的特点，用适当的方法求解，有时用基本初等函数的单调性（一次、二次、幂指对、三角等）、基本不等式，最常用的是利用导数求最值。4、对优化问题中的函数关系，要根据实际背景确定函数的定义域，如果目标函数在定义域内只有一个极值点，则这个极值点一般就是最值点。设计意图：教师引导学生从上面的例题和练习中总结用导数来解决生活中的优化问题的方法。五、拓展提升设计意图：巩固所学知识、提升分析问题、解决问题的能力。选修2-21.4生活中的优化问题举例—学情分析一、基本说明1．教学内容所属模块：选修2-22．年级：高二下学期3.所用教材出版社：普通高中课程标准实验教科书-数学，选修2-2，人民教育出版社A版，4.所属章节：第一章：导数及其应用。1.4生活中的优化问题举例5.教学时间：45分钟二、学情分析学生已经学习了函数以及导数的基础知识，知道了利用导数研究函数的基本性质，用导数来处理函数单调性、极值、最值等问题的基本思路，但如何利用导数来解决一些具体的问题，学生的能力还比较薄弱，这都造成了本节课的困难，需要进行问题的引导.这里关键是能从实际问题的不同情景出发，建立与之相对应的函数关系，再应用求函数极值的方法最终解决问题。有了这些准备工作，学习本节才有可能，教学过程中，要引导学生联系到前面学习的内容，故在复习引入的环节中，复习了利用导数求函数极值、最值的方法。

注意：①学生的难点是如何建模，应注重这方面的引导训练；

②考虑对自变量的实际限制，规范解题步骤的表述；

③充分体会导数在解决数学及其他学科实际应用题中的工具性作用.选修2-21.4生活中的优化问题举例--效果分析一、基本说明1．教学内容所属模块：选修2-22．年级：高二下学期3.所用教材出版社：普通高中课程标准实验教科书-数学，选修2-2，人民教育出版社A版，4.所属章节：第一章：导数及其应用。1.4生活中的优化问题举例5.教学时间：45分钟二、效果分析1.在本节课的题目介绍中，我选了一副美丽的风景图片、一副校园景色，吸引学生的注意。当学生看到时，都很喜欢，精力集中，探索性强。达到我了希望的效果。2.首先是带领学生学习本节课的《课标导航》，了解本节课需要掌握什么内容，达到什么要求。让学生自己阅读，这样更能体会到本节课的重难点。学生阅读的比较通畅，说明理解的比较好。3.其次是复习前面所学的内容，帮助学生学习本节课知识。通过教师引导、学生思考并回答，回顾、分析导数的应用，明确其使用方法。这一环节的设计，起到承上启下的作用。4.引入，主要是给出“优化问题”的定义，说明导数是求函数最大（小）值的有力工具。5.在应用的例1中，为了增加学生的学习兴趣，我搜集了两张漂亮的校园海报，创设学生身边的问题情景，引导学生把实际问题用函数来刻画，然后利用函数知识解决，从而解决实际问题。用问题的形式引入新课，一是进一步提升学生建模能力；二是让学生自行设计解决方案。此题可用基本不等式，也可用二次函数求最值，也可用导数求最值。解题思路广，能独立解决的可能性就大，让学生体会成功的喜悦。然后教师对导数得应用进行展开，引发学生积极的思考，导数在解决优化问题上的“万能型”。重点强调此类问题规范性的书写。6.练习的设计，让学生巩固所学知识点的同时，通过观察学生的板书，寻找学生解题中出现的各种问题。学生出现了一些意料不到的失误。让学生自主探求答案、与教师提供的参考答案对照、探求出现错误的原因。让学生掌握问题的基本流程，提高分析问题、解决问题的能力。在例题的理解中，利用动态效果，更容易增加学生的理解，效果很好。7.在教学中，及时对讲解的问题归纳总结，采用流程图的形式呈现解决优化问题的基本思路。8.拓展提升中，把优化问题和前面学到的空间几何体的知识结合，提升学生分析问题、解决问题的能力。通过此题的设计、学生的掌握情况，基本达到我的要求。9.教学上，结合新课标的要求，注重教学方法和手段的改进，采用多媒体授课的形式，在课件的制作上，力图做到丰富多彩、图文并茂，能吸引不同层次学生听课的兴趣。课堂教学中，随时发现问题、鼓励学生积极思考、并及时解决问题，因为本节课的内容要求只有例1，课堂内容比较简单，所以设计时一个例题、一个练习、一个拓展巩固的形式呈现的，通过最终的效果可以看出，本节课容量适中，学生掌握情况比较好。整体收到了良好的效果。10.今年我所教授的是高一数学，而导数是高二数学的内容，所以联系高二的学生试讲了这节课。课前一直担心与学生的交流、互动会有障碍。但通过课堂与学生的眼神、语言、动作、心的交流，整个课堂贯彻和谐、民主、尊重、信任、友善、关爱、激励的原则，整节课顺利、流畅，有了意想不到的收获。选修2-21.4生活中的优化问题举例--教材分析一、基本说明1．教学内容所属模块：选修2-22．年级：高二下学期3.所用教材出版社：普通高中课程标准实验教科书-数学，选修2-2，人民教育出版社A版，4.所属章节：第一章：导数及其应用。1.4生活中的优化问题举例5.教学时间：45分钟二、教材分析本课的重点是将实际问题转化成函数问题，利用导数来解决优化问题，这同时也是一个难点。事实上，利用所学数学知识解答有关应用题是学生在整个高中数学学习的一个大难点，他们中的有些人甚至患有“应用题恐惧症”。一般来说，学生倒不是害怕解方程（不等式）或者求函数的最值，而主要体现在难以通过阅读应用题、提取适当的信息并建立相应的合适的数学模型。对这方面的训练，教材编写者充分体现了“数学是自然的”、“数学是有用的”、以及“知识是螺旋发展的、知识的掌握过程也是螺旋发展的”等数学教学理念。本节课是在学习了导数概念及利用导数求函数单调区间、求函数极值和最值等内容的基础上，通过使用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，进一步利用导数这一工具可求函数最值这一重要作用来解决实际问题.继续提高学生分析问题、解决问题的能力。通过导数为解决函数问题提供了更广阔的天地，体现了导数在处理函数问题中的工具作用.是本节乃至本章的教学重点.选修2-21.4生活中的优化问题举例—观屏记录一、基本说明1．教学内容所属模块：选修2-22．年级：高二下学期3.所用教材出版社：普通高中课程标准实验教科书-数学，选修2-2，人民教育出版社A版，4.所属章节：第一章：导数及其应用。1.4生活中的优化问题举例5.教学时间：45分钟二、观评记录1.学生学习行为：学生在课堂教学中，能集中精力、认真倾听、老师提出的问题能积极思考参与，学习过程中充分表现出自主性、探究性。提问学生回答问题时，学生能用流利的普通话回答，思路清晰。学生板书练习时，书写认真、规范，不但能掌握基础知识、提高基础技能，而且能起到示范的作用。学生自主练习时，能积极思考、讨论、及时订正做题中出现的问题。2.教师教学行为：教学理念是以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、发现，以及对所学知识的主动建构，采用探究式教学，倡导“自主、合作、探究”的学习方式。整个课堂教学中，紧紧围绕新课程标准，在教学上采用“探究发现、总结提升”、通过练习巩固提高教学方法。在复习-引入-例题讲解-练习巩固-总结-拓展提升的过程中，面向全体学生，讲解时清晰、准确，语速适中，借助多媒体，探究释疑、讲练结合，能有效的提升课堂效率。在一些实际问题转化为函数问题的处理中，能借助动态图像，帮助学生分析理解。整个课堂的板书，主要以学生为主体，通过学生的练习，师生共同发现学生存在的一些问题。为了提升学生的课堂兴趣，里面引入了一些生动形象的图片，吸引学生的眼球。根据学生的学习情况，提出问题后，根据不同层次的学生解决不同层次的问题，增加亲和力。在学生自主练习中，教师课堂巡视，查看学生的练习情况，个别辅导学生出现的问题。整节课的的教学和课前设计基本吻合，出现个别的小插曲，学生回答的问题和预测不同、学生板书时出现的步骤不规范的地方等。整节课课堂流畅、气氛和谐、多媒体演示清晰、录屏的画面效果很好。选修2-21.4生活中的优化问题举例一、基本说明1．教学内容所属模块：选修2-22．年级：高二下学期3.所用教材出版社：普通高中课程标准实验教科书-数学，选修2-2，人民教育出版社A版，4.所属章节：第一章：导数及其应用。1.4生活中的优化问题举例5.教学时间：45分钟二、评测练习：1．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A.eq\r(3,V) B.eq\r(3,2V)C.eq\r(3,4V) D．2eq\r(3,V)2．用长度为l的铁丝围成长方形，则围成的长方形的最大面积为()A.eq\f(l2,2) B.eq\f(l2,4)C.eq\f(l2,8) D.eq\f(l2,16)3.拓展提升选修2-21.4生活中的优化问题举例—课后反思一、

教材依据：1．教学内容所属模块：选修2-22．年级：高二下学期3.所用教材出版社：普通高中课程标准实验教科书-数学，选修2-2，人民教育出版社A版，4.所属章节：第一章：导数及其应用。1.4生活中的优化问题举例5.教学时间：45分钟

二、课后反思学生对解答应用问题的恐惧来源于自信心不足，教学时不要为了“学生的自主探究”而过于让学生去理解一些学生不熟悉的材料，教师要“勇敢”地站出来为学生排忧解难，和学生共同阅读相关资料，提取有用的信息，要时刻保护学生的自信心。利用导数解决实际应用问题是导数教学的一个难点，也是高考的热点，解决这个问题首先是要准确建模，其次是合理利用导数求最值。

“优化问题”是现实生活中常碰到的问题，比如速度最快、距离最小、费用最低、用料最省、效率最高等。而解决此类问题的方法多样，学生较为熟悉的是线性规划问题、二次函数最值问题或结合函数图像解决最值。本节课的教学目标是：1.通过生活中的优化问题的学习，使学生体会导数在解决生活中的优化问题的广泛作用和强大实力，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；2.通过实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高，突出导数的应用研究。本节课的难点主要有两个：难点之一是数学建模问题；难点之二是学生的“用导数求函数最值”知识是否扎实。教材主要在最值、利润、最大容量三个方面举例说明，这三道题虽然都来自实际生活，但内容相对陈旧，而且有些问题用导数过于牵强，不能很好地吸引学生眼球。

比如例题1，海报版面尺寸的设计问题，虽然与同学平时生活联系比较紧，但从目标函数来看，只要有点不等式知识的学生都会毫不犹豫地选择均值不等式快速简洁求解，而此处再考虑用导数去求解，显然繁琐，没有必要。认真思考后，发现课本P37习题A组作业第3题其实就是这样一个很好的问题：圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高和直径应该怎样选择，才能使得所用材料最省？这道题与实际生活可能更符合些，但问题不够新颖，如果直接选用此题作为例题，可能不能有效地激发学生的学习兴趣和探究欲望。而新课程数学教学的理念提倡以探究为主要方式，让学生体验数学发现和创造的历程，因此，直接把这道题来组织教学，就无法充分体现HYPERLINK"/cpro/ui/uijs.php?c=news&cf=1001&ch=0&di=128&fv=0&jk=c86bb41db841b439&k=%CB%D8%D6%CA%BD%CC%D3%FD&k0=%CB%D8%D6%CA%BD%CC%D3%FD&k