第五章 线性代数方程组的直接解法1

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(石大)数值计算第五章课件

第五章线性代数方程组的直接解法/*DirectMethodforSolvingLinearAlgebraicSystems*/

求解Ax=b,A∈RCramer法则:法则:法则

nn

det(A)≠0

Dixi=D

i=1,2,L,n

所需乘除法的运算量大约为(n+1)!+)!+n)!+

n=20时，每秒亿次运算速度的计算机要算多万年！多万年！时每秒1亿次运算速度的计算机要算30多万年直接法在没有舍入误差的状况下，在没有舍入误差的状况下，经过有限次舍入误差的状况下确切解的方法运算可以得到方程组的确切解的方法。运算可以得到方程组的确切解的方法。

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1线性代数的基础知识向量范数(一、向量范数(/*VectorNorm*/))

Def1设

的一个映射，→R的一个映射，若对x∈Rnn可以推广到C与之对应，存在唯一实数x与之对应，且满足非负性：非负性：x≥0,x∈Rn且x=0x=0

是R

n

齐次性：齐次性：λx

=λx,x∈R,λ∈Rn

三角不等性：三角不等性：x+则称n

y≤x+y,x,y∈R范数。x的范数。非负实值函数

n

x为Rn中向量

R称为赋范线性空间称为赋范赋范线性空间

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常用的几种向量范数：常用的几种向量范数：设x向量范数1-范数：范数：2-范数：范数：

x1=∑xix2=(∑x)i=12ii=1n12

n

=(x1,x2,L,xn)

T

=(x,x)

-范数：∞范数：x∞=maxxi1≤i≤n上述3种向量范数统称为范数(或者Holder范数)范数)上述种向量范数统称为P-范数(或者种向量范数统称为范数

x

p

=(∑xi)pi=1

n

1

p

1≤p∞

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设x

=(x1,x2,L,xn)≠0T

pn

(∑xi)pi=1

n

1

p

=maxxi(∑1≤i≤ni=1

ximaxxi1≤i≤n

1

)

p

=maxxi1≤i≤n

Q由夹逼定理

1≤≤np

lim=1p→∞→∞

x

∞

=maxxi1≤i≤n

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两个重要不等式闵可夫斯基(闵可夫斯基(Minkowski)不等式：)不等式：

《矩阵理论及其应用》及其应用》蒋正新)(蒋正新)

(∑xi+yi)pi=12

n

1

p

≤(∑xi)pi=1

n

1

p

+(∑yi)pi=1n

n

1

p

柯西-许瓦滋(Cauchy-Schwartz)不等式：柯西-许瓦滋()不等式：

(x,y)≤(x,x)(y,y)x,y∈R或者

xiyi≤(∑xi)2(∑yi)∑21i=1i=1i=1

n

n

n

21

2

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Cauchy-Schwartz不等式的证明不等式的证明

令u=y2

(x,y)x22

x(x,y)x2

(u,x)=022

u2=(u,u)=(u,y=(y,y)2

x)=(u,y)222

(x,y)x22

2

=y22

(x,y)x

≥0

(x,y)≤x

22

y2=(x,x)(y,y)

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阶实对称正定矩阵，例1:设A∈Rnn是n阶实对称正定矩阵，则阶实对称正定矩阵

x

A

=(xAx)T

1

2

x∈R

n

=LxT

中的一种向量范数。是Rn中的一种向量范数。证明：只需验证范数的3

个条件成马上可。证明：只需验证范数的个条件成马上可。个条件成马上可1T非负性：非负性：x≠0x=(xAx)2A

2

0A

齐次性：齐次性：λx

A

=(λx)A(λx)T

1

2

=λx

下三角阵三角不等性：存在非奇异下三角三角不等性：存在非奇异下三角阵L

A=LLT

T

x

A

=(xLLx)TT

1

2

=((Lx)(Lx))TT

1

2

x+y

A

=L(x+y)2≤Lx2+LyTTT

2

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例2:证明

f=(∫f(x)dx)2a

b

1

2

f(x)∈C[a,b]

上的一种范数。是线性空间C[a,b]上的一种范数。证明：只需验证范数的3个条件成马上可。证明：只需验证范数的个条件成马上可。个条件成马上可非负性：非负性：f(x)≠0齐次性：齐次性：λba

fb212a1

2

f=(∫f(x)dx)0222

f=(∫λf(x)dx)

=λf

三角不等性：闵可夫斯基(三角不等性：闵可夫斯基(Minkowski)不等式：)不等式：

f+g≤f+g(∫[f(x)+g(x)]dx)≤(∫f(x)dx)+(∫g(x)dx)b212b212b2aaa12

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向量范数的性质：向量范数的性质：性质1性质证明：证明：

x,y∈R

n

xy≤xyxy≥yxn

x=xy+y≤xy+yy=yx+x≤yx+xnn

xy≤xy同理

性质2性质设

A∈R,则对R上每一种范数,Tnx=(x1,x2,Lxn)∈RTh5.1Ax都是(x1,x2,Lxn)的n元连续函数。元连续函数。元连续函数

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性质3性质

x

是(x1,x2,Lxn)n元连续函数的元连续函数

(等价性/*EquivalenceProperty*/))Def2等价性设

α和

上定义的两种范数，假使存在正数是Rn上定义的两种范数，假使存在正数βα

c1,c2满足cx1则称

≤xn

β

≤c2x

α

x∈R

n

α和

上等价的向量范数。β是R上等价的向量范数。证明见文献[3]文献

性质4性质性质5性质

向量范数的等价性具有传递性。向量范数的等价性具有传递性。传递性的所有向量范数是彼此等价彼此等价的Rn的所有向量范数是彼此等价的。

Th5.2

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性质6性质

x2≤(x11+x21+L+xn1)22T

2

x2≤x1≤nx

x∞≤x2≤nx∞记y=(1,1,L,1)Tz=(x1,x2,L,xn)1x1≤x∞≤x1n2=(x11+x21+L+xn1)证明：证明：仅证设x

=(x1,x2,L,xn)2n2k=1

T

=(y,z)≤y2

22

z

22

x1=(∑xk)

=nx

22

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矩阵范数(二、矩阵范数(/*MatrixNorm*/))

Def3设

是Rnn

→R

nn的一个映射，的一个映射，若对A∈R

存在唯一实数非负性：非负性：A

与之对应，A与之对应，且满足nn

可以推广到C

nn

≥0,A∈R且A=0A=0nn齐次性：齐次性：λA=λA,A∈R,λ∈R三角不等性：三角不等性：

A+

B≤A+B,A,B∈RA,B∈Rnn

nn

AB≤AB则称

A

范数。为Rnn中矩阵A的范数。

Rnn赋范线性空间赋范线性空间

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证明：例3:设A=(aij)nn,证明：

A

F

=(∑∑a)i=1j=12ij2

n

n

Frobenius范数范数

1

2

是一种矩阵范数是一种矩阵范数。矩阵范数。

证明：只需验证范数的4个条件成马上可。简称F-范数证明：只需验证范数的个条件成马上可。简称范数个条件成马上可上述范数可以看成是记维向量的2-范数范数，n维向量的范数，故只需验证n2irrj

B=(bij)nn2Fn

ABn

=∑∑

n

≤∑∑(∑air)(∑brj)2i=1j=1r=1r=1

n

i=1j=1r=1nn2

∑a

=(∑∑air)2

n

n

b

(∑∑brj)2

i=1r=1nn

=A

j=1r=12

F

B

2F

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AF=(tr(AA))=(tr(AA))TT

12

12

=λ1+λ2+L+λn其中

tr(A)=∑aiii=1

n

λi

是AT

A的特征值

称之为矩阵A迹的

相容性()Def4相容性(/*Compatibility*/)设上的范数，xα是Rn上的范数，Aβ是Rnn上的范数假使对x∈Rn,A∈Rnn满足

Ax

α

≤A

β

x

α

则称上述矩阵范数与向量范数相容。则称上述矩阵范数与向量范数相容。相容

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中的任意一种矩阵范数，设Aβ是Rnn中的任意一种矩阵范数，则在RTh5.3中至少存在一种向量范数xα,使得Aβ和xα是相容的相容的。证明：设证明：

n

x=(x1,x2,L,xn)∈RT

n

令x

α

x1x2=Mxn

0L00L0MMM0L0

B=β

β

易验证它是一种向量范数。易验证它是一种向量范数。

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由AB≤AB得A=(aij)nna11a12La1nx1000ax000a22La2n221MMMMMMMMan1an2Lannxn000βa11a12La1nx1000ax000a22La2n221≤MMMMMMMMan1an2Lannβxn000记

β

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而AB

β

∑a1jxjj=1n∑a2jxj=j=1Mn∑anjxjj=1n

000000MM