《概率统计教学资料》第2章随机变量及其分布8节

二维随机变量,是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的.

问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？——边缘分布问题

第6节边缘分布2023/4/131一、二维离散型R.v.的边缘分布X的边缘分布Y的边缘分布2023/4/132设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布如下例1X

Y0123010/506/504/501/5019/5010/503/50025/502/5000解：求随机变量X与Y的边缘概率函数。X

Y0123pi.010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p.j24/5018/507/501/5012023/4/133二、二维连续随机变量的边缘分布的边缘密度函数：求随机变量X()xfX(){}xXPxFX£=由()òò¥-+¥¥-úûùêëé=xdxdyyxf，=P(X≤x,-∞<Y<+∞)2023/4/134同理，由(){}yYPyFY£=()òò¥-+¥¥-úûùêëé=ydvdxvxf，=P(-∞<X<+∞,Y≤y)2023/4/135设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为例2解：求X与Y的边缘概率密度yoy=xy=x21D2023/4/136设二维随机变量(X,Y)的概率密度为例3解：求X与Y的边缘概率密度yox+y=3/2G1(½,1)1/23/22023/4/137小结：

二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系：边缘分布可由联合分布唯一确定，但不能由边缘分布确定联合分布。难点：求边缘分布时如何确定积分区域及边缘密度不为零的范围。2023/4/138一、离散随机变量的条件分布设(X,Y)是二维离散随机变量，其分布律为(X,Y)

关于X和关于Y的边缘概率函数分别为：P{X=xi,Y=yj}=pij

,i,j=1,2,...第七节条件分布2023/4/139由条件概率公式定理：设(X,Y)是二维离散型随机变量，

在Y=yj

条件下X的条件分布律(1)若P{Y=yj}>0,则自然地引出如下定理：(2)若P{X=xi}>0,则在X=xi

条件下Y的条件分布律2023/4/1310条件分布律具有分布律的以下特性：

10P{X=xi|Y=yj}0；即条件分布律是分布律。2023/4/1311设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布如下例1XY0123pi.010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p.j24/5018/507/501/501解：求(1)随机变量X在Y=0条件下的条件分布。2023/4/1312设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布如下例1XY0123pi.010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p.j24/5018/507/501/501求(2)随机变量Y在X=1条件下的条件分布。解：Y0123pY|X(y|1)9/2210/223/220则Y在X=1条件下的条件分布为2023/4/1313(2)若X的边缘概率密度fX(x)>0,且在点x处连续,则Y在X=x条件下的条件概率密度★★定理设二维连续随机变量（X,Y）的联合概率密度f(x,y)在点（x,y)处连续。(1)若Y的边缘概率密度fY(y)>0,且在点y处连续,则X在Y=y条件下的条件概率密度二、连续随机变量的条件分布2023/4/1314连续随机变量的条件分布推导设(X,Y)是二维连续型随机变量，由于所以应在P{y

Y≤y+△y}>0时,考虑X≤x的条件概率2023/4/13152023/4/1316称为在条件Y=y下X的条件分布函数.随机变量X在Y=y的条件下的条件密度函数注：条件密度函数的性质与普通密度函数类似随机变量Y在X=x的条件下的条件密度函数2023/4/1317由所围成的区域上服从设G是平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机变量(X,Y)具有如下概率密度,则称(X,Y)在G上服从均匀分布.现设(X,Y)在例2解：均匀分布.求条件概率密度

yoy=x21G32023/4/1318特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于第8节相互独立的随机变量

★★定义设X,Y是两个随机变量，若对于任意实数x,y有P(X≤x,Y≤

y)=P(X≤x)P(Y≤y)即F(x,y)=FX(x)FY(y)，则称X，Y相互独立。2023/4/1319

在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用.在X与Y是相互独立的前提下，边缘分布可确定联合分布！实际意义补充说明2023/4/1320例1XY123p.j11/61/91/181/321/3αβ1/3+α+βpi.1/21/9+α1/18+β2/3+α+β解：由联合概率分布的性质知α≥0,

β≥0,且2/3+α+β=1,即α+β=1/3,由X,Y相互独立,有2023/4/1321例2

已知二维随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布，D为x轴,y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。判断X，Y是否独立。解:（X,Y）的密度函数为2023/4/1322例3

某种保险丝的寿命(以100小时计)X服从参数为3的指数分布。（1）有两根此种保险丝，其寿命分别为X1,X2设X1,X2相互独立，求X1,X2的联合概率密度；（2）在(1)中一根保险丝是原装的，另一根是备用