上饶市2020届高三第三次模拟考试数学试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精江西省上饶市2020届高三第三次模拟考试数学（理）试题含解析上饶市2020届第三次高考模拟考试数学（理科）试题卷一、选择题1。已知集合，,则(）A. B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】首先解不等式,再求交集即可.【详解】因为,所以.所以。故选:B【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时考查了不等式的解法，属于简单题。2.复数满足（为虚数单位)，则复数在复平面内所对应的点在（）A.第一象限 B。第二象限 C。第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算法则，可求出,从而可求出在复平面内所对应的点的坐标，从而可得到答案。【详解】由题意，，则复数在复平面内所对应的点为，在第四象限。【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生对复数知识的理解和掌握，属于基础题.3.展开式中项的系数为(）A。 B。 C. D。【答案】B【解析】【分析】首先求出的展开式的通项，根据通项得到，即可求出项的系数.【详解】的展开式的通项为：.令,解得.所以展开式中项的系数.故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理中指定项的系数，熟记二项式定理的通项为解题的关键，属于简单题。4。执行如图的程序框图，若输入，则输出的值为()A。 B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据程序框图,逐步进行运算，直到退出循环体，输出即可.【详解】第一次循环,,，，继续循环，，第二次循环,，继续循环，第三次循环,，继续循环，，第四次循环，，停止循环，输出.故选：D【点睛】本题主要考查根据程序框图求运算结果，考查了学生阅读程序框图的能力，属于简单题。5。若，则（)A. B。 C. D。【答案】A【解析】【分析】首先将变换为，再利用诱导公式和二倍角公式计算即可.【详解】.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数中的角变换，同时考查了三角函数的诱导公式和二倍角公式,属于简单题.6。已知等差数列的前项和为，且，则()A。 B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】由，利用等差数列的性质可得,再由求和公式可得结果。【详解】因为,所以，可得.故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的求和公式，意在考查学生灵活运用数学知识解答问题的能力，属于中档题。7。将曲线围成的区域记为Ⅰ，曲线围成的区域记为Ⅱ,在区域Ⅰ中随机取一点,此点取自区域Ⅱ的概率为(）A。 B。 C. D。【答案】C【解析】【分析】画出曲线与曲线的图像，再根据几何概型的方法求解即可。【详解】当时，曲线、曲线分别为，。又、均关于轴，原点对称.故两曲线围成的区域Ⅰ（正方形和四个半圆）、Ⅱ(正方形）如图：可知区域Ⅰ的面积为；区域Ⅱ的面积为；∴由几何概率公式得:.故选：C。【点睛】本题主要考查了几何概型的运用，需要根据题意去绝对值画出一象限的图像，再根据对称性补全图像。同时也考查了几何概型中面积型的问题.属于中档题.8。在明代珠算发明之前,我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算。算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，算筹有纵式和横式两种，如图是利用算筹表示的数字，表示多位数时，个位用纵式,十位用横式,百位用纵式，千位用横式，以此类推,例如，可以用根小木棍表示“”，则用根小木棍（要求用完根）能表示不含“”且没有重复数字的三位数的个数是()A。 B. C。 D。【答案】C【解析】【分析】根小木棍可能组成数字、、，、、,、、，、、,分别对其进行全排列即可得出结果。【详解】数字、、组成个,数字、、组成个，数字、、组成个，数字、、组成个，共个符合要求的三位数。故选：C。【点睛】本题考查两个基本的计数原理中数字排列的实际应用,考查学生分析问题的能力，属于中档题。9.已知函数,则不等式的解集为(）A. B。C。 D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性,结合解绝对值不等式的公式法进行求解即可。【详解】∵为偶函数.由函数的单调性的性质可知:当时,为单调递减函数.由，根据偶函数的性质由，可得，所以有.∴，且，解得不等式的解集为。故选：C【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性求解不等式解集问题，考查了解绝对值不等式，考查了数学运算能力.10。半径为2的球内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（）A. B。 C. D。【答案】B【解析】【分析】设正三棱柱上下底面的中心分别为,底面边长与高分别为，利用,可得，进一步得到侧面积，再利用基本不等式求最值即可.【详解】如图所示。设正三棱柱上下底面的中心分别为,底面边长与高分别为，则，在中，，化为，，，当且仅当时取等号，此时。故选：B。【点睛】本题考查正三棱柱与球的切接问题,涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.11。已知双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点,若，则双曲线的离心率为(）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取中点，连结，因为，所以可得，设,根据双曲线的定义求出，再由勾股定理得出,得出，再由直线的斜率为，即可求出离心率。【详解】如图，因为，则取中点,连结，可得，设，因为，则，又因为，则，，则,则，在中有，在中有，所以，解得，因为直线的斜率为，所以，所以，，所以离心率.故选:D【点睛】本题主要考查双曲线的性质即离心率的求法,解题的关键是找出双曲线中间的关系.12。已知函数和函数,关于这两个函数图像的交点个数,下列四个结论：①当时，两个函数图像没有交点；②当时，两个函数图像恰有三个交点；③当时，两个函数图像恰有两个交点；④当时，两个函数图像恰有四个交点.正确结论的个数为（）A. B. C. D。【答案】D【解析】【分析】由两个函数图像交点个数，转化为的解的个数，进而转化为的解的个数，令，利用导数求得函数单调性与最值,结合函数的性质，即可求解。【详解】由题意，两个函数和函数图像交点个数，即为方程的解的个数，即方程的解的个数,令，①当时，函数,则，所以在上为增函数，值域为；②当时,，,由，得。当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时,，所以函数在上有最大值为，令，方程，化为，当时,方程无解，原方程无解，两个函数图像无交点；当时,方程有唯一解，，原方程有唯一解，两个函数图像恰有一个交点；当时，方程有两解，，原方程有两解,两个函数图像恰有两个交点；当时，方程有两解，,原方程有三解,两个函数图像恰有三个交点;当时，方程有两解，，原方程有四解，两个函数图像恰有四个交点。故选D。【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数零点问题，其中解答中把函数图象的交点个数，转化为方程的根的个数，分离参数，转化为函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.二、填空题13.对于正在培育的一颗种子,它可能天后发芽，也可能天后发芽，，如表是颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表,则这组种子发芽前所需培育的天数的众数是________。中位数是________。发芽前所需培育天数1234567≥8种子数43352210【答案】(1)。（2）。【解析】【分析】先将颗种子发芽天数从小到大排列，再结合众数、中位数的概念求解即可.【详解】解:由图中数据可知，该颗种子发芽天数从小到大排列为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、；则众数是，中位数为.故答案为：，。【点睛】本题考查了众数、中位数的概念，重点考查了对数据的处理能力,属基础题.14。若实数x，y满足条件，则的最大值为______。【答案】13【解析】【分析】画出约束条件对应的可行域,再求出对应的交点的坐标，分别代入目标函数，比较目标函数值即可得到其最优解．【详解】实数，满足条件，对应的可行域如下图所示：

由，解得，时,目标函数经过时,目标函数取得最大值，即。

∴的最大值为13。故答案为：13。【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想。需要注意的是:一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得。15.在扇形中，，为弧上的一个动点。若，则的取值范围是________。【答案】【解析】【分析】不妨设，以为原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系，令，则，则,再结合三角函数值域的求法求解即可。【详解】解:由题意可知，在扇形中，，为弧上的一个动点。不妨设，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，令，则，，,，又，则，则，则,又，则，则，即，故答案为：.【点睛】本题考查了三角恒等变换的辅助角的应用，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.16.正方形的两个顶点在直线上，另两个顶点分别在直线，上，那么正方形的边长为________。【答案】或【解析】【分析】先设直线的方程为，再求出的坐标,然后结合两点的距离公式及两平行线的距离公式求解即可.【详解】解：设直线的方程为，联立,得，联立，得，∴由两点的距离公式可得，又直线与的距离为,∴，解得或，即或.即正方形的边长为或，故答案为:或.【点睛】本题考查了两点的距离公式及两平行线的距离公式，重点考查了直线交点坐标的求法，属中等题.三、解答题17。已知的内角的对边分别为，且满足，为锐角。（1)求角的大小;（2）若，点为边上的动点（不与点重合），设，求的取值范围.【答案】（1）（2)【解析】【分析】(1）由二倍角的正弦公式及辅助角公式可得，再求即可；(2）在中，由正弦定理可得，则有,然后结合三角函数的值域的求法求解即可.【详解】解:（1）∵，∴∴∴∵为锐角,则∴，∴,（2）由，可知,∵在中，，∴,∵,∴,∴。故的取值范围为。【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式及辅助角公式,重点考查了正弦定理的应用及三角函数值域的求法，属中档题.18。如图，在四棱锥中，底面，，，，，点是棱的中点。（1）求证：平面;（2)求二面角的大小.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，即可证明平面.(2）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量,取平面的一个法向量为,结合空间向量数量积运算即可得解。【详解】证明：(1)如图,取的中点,连接、。∵是的中点，∴，,又,,所以，，∴四边形为平行四边形,∴，又平面,平面，∴平面。（2)在平面内过点作的垂线,由题意知，,两两垂直，以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知,，，可得，，，∴，，设平面的法向量为，则由，即，令，则，,∴为平面的一个法向量.∵底面，∴可取平面的一个法向量为,∴，∵二面角为锐二面角，∴二面角的大小为.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理,重点考查了空间向量数量积的运算，属中档题.19.为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮）.在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置上，甲先投,每人投一次篮,两人有人命中，命中者得分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得分。设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响。（1）经过轮投篮，记甲得分为，求的分布列及期望；（2）若经过轮投篮，用表示第轮投篮后，甲的累计得分低于乙的累计得分的概率。①求；②规定，经过计算机模拟计算可得，请根据①中值求出的值，并由此求出数列的通项公式。【答案】（1)见解析，(2）①,，②，【解析】【分析】（1)先阅读题意，可得的可能取值为，然后求出对应的概率，然后求出的分布列及期望即可；（2)结合题意求出,然后求出的值，再利用累加法求数列的通项公式即可。【详解】解：(1）的可能取值为,则；;.∴的分布列为：－101期望.即经过轮投篮,甲得分的期望为分。(2）①由（1）知,经过两轮投球，甲的累计得分低的有两种情况：一是甲两轮都得分为；二是两轮中甲一轮得分，另一轮得分，则。经过三轮投球，甲累计得分低有四种情况：;;；，则;②将的值分别代入得,得，.∴，即，又，所以是首项、公比都是的等比数列。∴,∴，∴数列的通项公式为.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列及期望，重点考查了累加法求数列的前项和及数列的通项公式，属中档题.20。已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到准线的最小距离为.（1)求抛物线的方程；（2)若过点作互相垂直的两条直线、，与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，分别为弦的中点，求的最小值。【答案】(1）（2）8【解析】【分析】(1)由抛物线上到准线的距离最小的点是顶点可求得，得抛物线方程；（2）首先题意说明两直线斜率都存在且均不为，设直线的斜率为，则直线的斜率为，设点，，由直线方程与抛物线方程联立，消元后应用韦达定理求得中点的坐标，求出，同理可得，计算后应用基本不等式可得最小值．【详解】（1）∵抛物线上的点到准线的最小距离为，∴，解得，∴抛物线的方程为:；（2）由（1）可知焦点为,由已知可得，∴两直线的斜率都存在且均不为，设直线的斜率为,则直线的斜率为，∴直线的方程为，联立方程，消去得：，设点,，则，∵为弦的中点，所以，由，得，∴点，同理可得:，∴，，∴，当且仅当，即，等号成立,∴的最小值为。【点睛】本题考查求抛物线的方程，考查直线与抛物线相交中的最值，解题时可设交点坐标，设出直线方程，与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理，求得中点坐标，得线段长，这是圆锥曲线中的“设而不求"思想的应用．21.已知函数.(1）讨论函数的单调区间情况;（2）若函数有且只有两个零点，证明：。【答案】(1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，根据的正负确定函数的单调区间，可按的正、负、零分类讨论；（2）由（1）需分和讨论,时，在上有且只有一个零点；因此在上最大值为0,即最大值点为零点，由此可得零点及，从而可确定另一零点的范围证得结论，时类似讨论可得．【详解】（1）的定义域为,，当时，时，，在上递减，时，，在上递增；当时，在上，，在上，,在上递减，在和上分别递增;当时，在上,，在上，，在和上分别递减,在上递增。(2）由（1）可知，当时，在上递减,在和上分别递增，在上,当时，，当时，，在上有且只有一个零点；在上，当时,，当时，,为使有且只有两个零点，则在上有且只有一个零点，则需在的最大值，可得，零点；而当时,,，，∵,∴,,，，∴另一个零点满足：，∴,由（1）可知，当时，在和上分别递减,在上递增，在上，当时，，当时,，在上有且只有一个零点；在上，当时，，当时，，为使有且只有两个零点，则在上有且只有一个零点,则需在的最大值，可得，零点；而当时,,，，由上面证明可知，，∴另一个零点满足：，∴，综上可知，。【点睛】本题考查导数与单调性的关系，考查用导数研究函数的零点．解题时要注意零点存在定理的应用，在某个区间上函数是单调的，则在此区间上函数至多有一个零点．本题还考查了学生的转化与化归思想，运算求解能力，属于难题．22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数)，将曲线上各点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变)，得到曲线.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为。（1）写出曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；（2）曲线上是否存在不同的两点，(以上两点坐标均为极坐标，,,，），使点、到的距离都为