无限长单位脉冲响应滤波器的设计方法

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下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种数字滤波器的基本原理，着重讨论双线性变换法。一．低通变换通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤：

1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率{ωk}。

2）由变换关系将{ωk}映射到模拟域，得出模拟滤波器的临界频率值{Ωk}。

3）根据{Ωk}设计模拟滤波器的Ha(s) 4）把Ha(s)变换成

H(z)（数字滤波器传递函数）第2页/共62页例1

设采样周期,设计一个三阶巴特沃兹LP滤波器,其3dB截止频率fc=1khz。分别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。

解：a.脉冲响应不变法由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接按Ωc=2πfc设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率Ωc归一化的三阶巴特沃兹滤波器的传递函数为：

以代替其归一化频率，得：

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也可以查表得到。由手册中查出巴特沃兹多项式的系数，之后以代替归一化频率，即得。将代入，就完成了模拟滤波器的设计，但为简化运算，减小误差积累，fc数值放到数字滤波变换后代入。第4页/共62页

为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根，将上式写成部分分式结构：

对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式有

将上式部分系数代入数字滤波器的传递函数：

,--极点

第5页/共62页并将代入，得：

合并上式后两项，并将代入，计算得：

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可见，H（Z）与采样周期T有关，T越小，H（Z）的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉冲响应不变法时稍作一点修改，即求出H（Z）后，再乘以因子T,使H（Z）只与有关，即只与fc和fs的相对值有关，而与采样频率fs无直接关系。

例如，与的数字滤波器具有相同的传递函数，这一结论适合于所有的数字滤波器设计。最后得：第7页/共62页

b.双线性变换法（一）首先确定数字域临界频率（二）根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器临界频率

(三)以代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数

并将代入上式。（四）将双线性变换关系代入，求H(Z)。第8页/共62页第9页/共62页

图1三阶Butterworth数字滤波器的频响脉冲响应不变法双线性变换法fs/2第10页/共62页第11页/共62页020040060080010001200140016001800200000.10.20.30.40.50.60.70.80.91频率/Hz图3.14三阶巴特沃兹滤波器的频率响应幅值第12页/共62页

图1为两种设计方法所得到的频响，对于双线性变换法，由于频率的非线性变换，使截止区的衰减越来越快，最后在折叠频率处形成一个三阶传输零点,这个三阶零点正是模拟滤波器在处的三阶传输零点通过映射形成的。因此,双线性变换法使过渡带变窄,对频率的选择性改善,而脉冲响应不变法存在混淆,且没有传输零点。第13页/共62页

二.高通变换 设计高通、带通、带阻等数字滤波器时，有两种方法： ①先设计一个相应的高通、带通或带阻模拟滤波器，然后通过脉冲响应不变法或双线性变换法转换为数字滤波器。模拟原型模拟高通、带通、带阻数字高通、带通、带阻 设计方法同上面讨论的低通滤波器的设计。即确定转换为相应的

高通、带通、带阻模拟滤波器的设计

Ha(s)H(Z)②直接利用模拟滤波器的低通原型，通过一定的频率变换关系，一步完成各种数字滤波器的设计。频率变换模拟原型数字低通、高通、带通、带阻第14页/共62页这里只讨论第二种方法。因其简捷便利，所以得到普遍采用。

变换方法的选用：脉冲响应不变法：对于高通、带阻等都不能直接采用，或只能在加了保护滤波器后才可使用。因此，使用直接频率变换（第二种方法），对脉冲响应不变法要有许多特殊的考虑，它一般应用于第一种方法中。双线性变换法：下面的讨论均用此方法，实际使用中多数情况也是如此。基于双线性变换法的高通滤波器设计：在模拟滤波器的高通设计中，低通至高通的变换就是S变量的倒置，这一关系同样可应用于双线性变换，只要将变换式中的S代之以1/S，就可得到数字高通滤波器.

即第15页/共62页

由于倒数关系不改变模拟滤波器的稳定性，因此，也不会影响双线变换后的稳定条件，而且轴仍映射在单位圆上，只是方向颠倒了。即

如图第16页/共62页

映射到即映射到即

图1高通变换频率关系

这一曲线的形状与双线性变换时的频率非线性关系曲线相对应，只是将坐标倒置，因而通过这一变换后可直接将模拟低通变为数字高通,如图2。1.01.00第17页/共62页

图2高通原型变换

第18页/共62页应当明确：所谓高通DF，并不是ω高到，由于数字频域存在折叠频率，对于实数响应的数字滤波器，部分只是的镜象部分，因此有效的数字域仅是，高通也仅指这一段的高端，即到为止的部分。高通变换的计算步骤和低通变换一样。但在确定模拟原型预畸的临界频率时，应采用,不必加负号，因临界频率只有大小的意义而无正负的意义。第19页/共62页例

：采样设计一个三阶切比雪夫高通DF，其通过频率（但不必考虑以上的频率分量），通带内损耗不大于1dB。解：首先确定数字域截止频率,

则

切比雪夫低通原型的模函数为：

为N阶切比雪夫多项式第20页/共62页通带损耗时，N=3时,系统函数为（可由MATLAB计算获得）：为方便，将和S用T/2归一化，

则第21页/共62页于是图3三阶切比雪夫高通频响第22页/共62页例5（书上）

设计一数字高通滤波器，它的通带为400～500Hz，通带内容许有0.5dB的波动，阻带内衰减在小于317Hz的频带内至少为19dB，采样频率为1,000Hz。确定最小阶数N。模拟切比雪夫滤波器设计中阶数的确定公式为

求得最小的N：

第23页/共62页wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000));

wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000));

[N,wn]=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,'s');

[B,A]=cheby1(N,0.5,wn,'high','s');

[num,den]=bilinear(B,A,1000);

[h,w]=freqz(num,den);

f=w/pi*500;

plot(f,20*log10(abs(h)));

axis([0,500,-80,10]);

grid;

xlabel('') ylabel('幅度/dB')第24页/共62页频率/Hz

切比雪夫高通滤波器幅度/dB第25页/共62页三．带通变换如图1,如果数字频域上带通的中心频率为，则带通变换的目的是将:

（频率映射关系具有周期性,幅频响应具有原点对称性）。

即将S的原点映射到，而将点映射到，满足这一要求的双线性变换为：模拟低通第26页/共62页

图1带通原型变换

第27页/共62页

当时

因此（带通变换关系）第28页/共62页

图中点正好映射在上，而映射在，两端，因此满足带通变换的要求。带通变换的频率关系第29页/共62页稳定性证明：同时，这一变换也满足稳定性要求，设

由于上式完全是实数，所以是映射在S平面轴上。其中分子永远非负的，因此的正负决定于分母由此证明了，S左半平面映射在单位圆内，而右半平面映射在单位圆外，这种变换关系是稳定的变换关系，可用它来完成带通的变换，如图1。第30页/共62页设计：设计带通时，一般只给出上、下边带的截止频率作为设计要求。为了应用以上变换，首先要将上下边带参数换算成中心频率及模拟低通截止频率。为此将代入变换关系式：由于在模拟低通中是一对镜象频率，代入上面两等式，求出第31页/共62页例又同时也就是模拟低通的截止频率，有了这两个参数就可完成全部计算。：采样fs=400kHz，设计一巴特沃兹带通滤波器，其3dB边界频率分别为f2=90kHz,f1=110kHz,在阻带f3=120kHz处最小衰减大于10dB。解：确定数字频域的上下边带的角频率求中心频率：

第32页/共62页求模拟低通的通带截止频率与阻带边界频率：

从频率增加了约1.05倍，衰减增加了（10-3）dB，故选用二阶巴特沃兹滤波器可满足指标（查表）归一化的系统函数：

代入，

代入变换公式

第33页/共62页例6带通滤波器设计第34页/共62页第35页/共62页

四．带阻变换把带通的频率关系倒置就得到带阻变换。

给定第36页/共62页例7w1=95/500; w2=105/500; [B,A]=butter(1,[w1,w2],'stop'); [h,w]=freqz(B,A); f=w/pi*500; plot(f,20*log10(abs(h))); axis([50,150,-30,10]); grid; xlabel('频率/Hz') ylabel('幅度/dB')第37页/共62页频率/Hz巴特沃兹带阻滤波器幅度/dB第38页/共62页§3.4从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换（Z平面变换法）

上一节讨论了由模拟网络的低通原型来设计各种DF的方法，这种原型变换的设计方法同样也可直接在数字域上进行。

DF低通原型函数这种变换是由所在的Z平面到H（z）所在的Z平面的一个映射变换。为便于区分变换前后两个不同的Z平面，我们把变换前的Z平面定义为u平面，并将这一映射关系用一个函数g表示：

①各种DF的H（z）第39页/共62页于是，DF的原型变换可表为：

第40页/共62页

函数的特性：

1)是的有理函数。

2）希望变换以后的传递函数保持稳定性不变，因此要求

u的单位圆内部必须对应于z的单位圆内部。

3）必须是全通函数。为使两个函数的频响满足一定的变换要求，Z的单位圆应映射到u的单位圆上，若以分别表示u平面和Z平面的单位圆，则①式为

且必有，其中是的相位函数，即函数在单位圆上的幅度必须恒为1，称为全通函数。

第41页/共62页全通函数的基本特性：

任何全通函数都可以表示为：

其中为极点，可为实数，也可为共轭复数，但必须在单位圆以内，即，以保证变换的稳定性不变，*为取共轭。

的所有零点都是其极点的共轭倒数

N：全通函数的阶数。变化时，相位函数的变化量为。不同的N和对应

各类不同的变换。

第42页/共62页下面具体讨论几种原型变换：

①低通——低通（LP）

LP→LP的变换中，和都是低通函数，只是截止频率互不相同（或低通滤波器的带宽不同），因此当时，相应的，如图1(a)，根据全通函数相位变化量为的性质，可确定全通函数的阶数N=1，且必须满足以下两条件：

g(1)=1,g(-1)=-1

满足以上要求的映射函数应为：

①其中是实数，且第43页/共62页

图1(a)LP-LP变换（有对称性）第44页/共62页

代入（1）式，可得到上述变换所反映的频率变换关系：

由此得

上式把，。频率特性:

呈线性关系，其余为非线性。当时，，带宽变窄，当时，，带宽变宽，适当选择，可使变换为，如上图所示。

:低通原型截止频率，:变换后截止频率

第45页/共62页LP-LP频率变换图LP-LP频率变换特性

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确定：把变换关系带入（2）式，有：

得

（2）式的频率关系，如图

第47页/共62页

②LP-HP

a.基本思想：上述LP变换中的Z代以–Z,则LP=>HP。第48页/共62页b.高通变换或LP-HP变换把如图2（a），

在上述LP-LP变换中，将Z代以–Z,得LP-HP变换关系：第49页/共62页

原型低通的截止频率对应于高通的边界频率，欲将变换到，由（2）式，

有：

第50页/共62页

LP-Hp变换

图2(a)LPHp变换第51页/共62页③LP-BPLP-BP变换把带通的中心频率

故N=2。

由以上分析得变换关系：

或

如图3(a),全通函数取负号。第52页/共62页LP-BP变换图3(a)LP-BP变换第53页/共62页

把变换关系代入（2）式得：消去r1，得：令确定r1,r2：第54页/共62页可证明，其中

r1,r2代入（2）式，则可确定频率变