初中数学 习题2：二次函数的图象与性质 全市一等奖

二次函数的图象与性质1.二次函数的图象与轴交点的横坐标是（）A．2和 B．和 C．2和3 D．和答案：A2.已知关于的函数：中满足．（1）求证：此函数图象与轴总有交点．（2）当关于的方程有增根时，求上述函数图象与轴的交点坐标．答案：（1）当时，函数为，图象与轴有交点．当时，当时，，此时抛物线与轴有交点．因此，时，关于的函数的图象与轴总有交点．（2）关于的方程去分母得：，．由于原分式方程有增根，其根必为．这时（6分）这时函数为．它与轴的交点是和3.抛物线的对称轴是______．答案：4.抛物线与轴交于点．（1）求出的值并画出这条抛物线；（2）求它与轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）取什么值时，抛物线在轴上方？（4）取什么值时，的值随值的增大而减小？【解】答案：解：（1）由抛物线与轴交于，得：．抛物线为．图象略．（2）由，得．抛物线与轴的交点为．，抛物线顶点坐标为．（3）由图象可知：当时，抛物线在轴上方．（4）由图象可知：当时，的值随值的增大而减小．5.已知抛物线与直线相交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）请问（1）中的抛物线经过怎样的平移就可以得到的图象？（3）设抛物线上依次有点，其中横坐标依次是，纵坐标依次为，试求的值．答案：解：（1）点在直线上，．把代入，得．求得．抛物线的解析式是．（2）．顶点坐标为．把抛物线向左平移3个单位长度得到的图象，再把的图象向下平移1个单位长度得到的图象（3）由题意知，的横坐标是连续偶数，所以的横坐标是，纵坐标为所对应的纵坐标依次是．．6.观察下列四个函数的图象（）xx=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④OxOxOxO将它们的序号与下列函数的排列顺序：正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数，对应正确的是（）A．①②③④ B．②③①④ C．③②④① D．④②①③答案：C7.抛物线的对称轴是直线（）A． B． C． D．答案：A8.请选择一组你喜欢的的值，使二次函数的图象同时满足下列条件：①开口向下，②当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是 ．答案：答案不唯一，只要满足对称轴是，．9.已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把轴，轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）．A． B． C． D．答案：BO10.已知二次函数的图象如图所示，对称轴是，则下列结论中正确的是（）．OA． B． C． D．答案：D11.已知二次函数，其中满足和，则该二次函数图象的对称轴是直线．答案：ABCDOExyABCDOExy（1）求抛物线的解析式；（2）用配方法求抛物线的顶点的坐标和对称轴；（3）求四边形的面积．答案：解：（1）抛物线经过三点ABCDOABCDOExy抛物线解析式：．（2）顶点坐标，对称轴：．（3）连结，对于抛物线解析式当时，得，解得：，．13.已知二次函数，当从逐渐变化到的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（）A．先往左上方移动，再往左下方移动 B．先往左下方移动，再往左上方移动C．先往右上方移动，再往右下方移动 D．先往右下方移动，再往右上方移动答案：C14.二次函数的最小值是．答案：15.如图，为抛物线上对称轴右侧的一点，且点在轴上方，过点作垂直轴于点，垂直轴于点，得到矩形．若，求矩形的面积．答案：轴，，点的纵坐标为．当时，，即．解得．抛物线的对称轴为，点在对称轴的右侧，．矩形的面积为个平方单位．16.二次函数的图象如图所示．有下列结论：①；②；③；④；⑤当时，只能等于．其中正确的是（）A．①④ B．③④ C．②⑤ D．③⑤答案：B17.抛物线过点顶点为ACBOxyACBOxy（1）求该抛物线的解析式．（2）试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM＝90˚．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK＝90˚，说明理由．答案：解：（1）根据题意，得ACBMACBMOxyEFPN解，得∴抛物线的解析式为．（2）x=，.∴顶点M的坐标为．设抛物线上存在一点P，满足OP⊥OM，其坐标为．过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F．则∠POE＋∠MOF＝90˚，∠POE＋∠EPO＝90˚．∴∠EPO＝∠FOM．∵∠OEP＝∠MFO＝90˚，∴Rt△OEP∽Rt△MFO．∴OE∶MF=EP∶OF．即．解，得（舍去），．∴P点的坐标为． （3）过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N．则∠FMN＋∠OMF＝90˚．∵∠MOF＋∠OMF＝90˚，∴∠MOF＝∠FMN．又∵∠OFM＝∠MFN＝90˚，∴△OFM∽△MFN．∴OF∶MF＝MF∶FN．即4∶2＝2∶FN．∴FN＝1．∴点N的坐标为（0，-5）．设过点M，N的直线的解析式为．解，得直线的解析式为．∴把①代入②，得．．∴直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）．∴抛物线上必存在一点K，使∠OMK＝90˚．18.已知函数的图象如图3所示，根据其中提供的信息，可求得使成立的的取值范围是（）A． B． C． D．或答案：D19.请你写出一个的值，使得函数在第一象限内的值随着的值增大而增大，则可以是 ．答案：答案不唯一，如0；1；2等20.二次函数中，，且时，则（）A． B． C． D．答案：C21.下表给出了代数式与的一些对应值：…01234……33…（1）请在表内的空格中填入适当的数；（2）设，则当取何值时，？（3）请说明经过怎样平移函数的图象得到函数的图象．答案：（1）0，0；（2）当或时，．（写出或中的一个得1分）（用和中的特殊值说明得1分，只用或中的特殊值说明不得分）（3）由（1）得，即，将抛物线先向左平移2个单位（1分），再向上平移1个单位（1分）即得抛物线．（配方正确，并说明将抛物线的顶点移到原点得2分；不配方，但说明将抛物线的顶点移到原点得2分；不配方，只说明将抛物线的顶点移到原点不得分）2