小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全

小学奥数基础教程（六年级）

第1讲比较分数的大小

第2讲巧求分数

第3讲分数运算的技巧

第4讲循环小数与分数

第5讲工程问题（一）

第6讲工程问题（二）

第7讲巧用单位“1”

第8讲比和比例

第9讲百分数

第10讲商业中的数学

第11讲圆与扇形

第12讲圆柱与圆锥

第13讲立体图形（一）

第14讲立体图形（二）

第15讲棋盘的覆盖

第16讲找规律

第17讲操作问题

第18讲取整计算

第19讲近似值与估算

第20讲数值代入法

第21讲枚举法

第22讲列表法

第23讲图解法

第24讲时钟问题

第25讲时间问题

第26讲牛吃草问题

第27讲运筹学初步（一）

第28讲运筹学初步（二）

第29讲运筹学初步（三）

第30讲趣题巧解

第一讲比较分数的大小

同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法比较

简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。

对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两

种情况判别大小的方法是：

分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；

分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。

第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母

相同，化为第一种情况，再比较大小。

由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几

种方法。

1.“通分子”。

当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化

成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。

1215

卿於自分母的好公谶是三速,好的射'公售睚6。，把

泗殳为色因泗

4piw->-0

17°85,22088,叫88,%22

如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。

2.化为小数。

有时把己夕吩数化时数后眦较大小，比通分等旗蛹傀

彳2吟13一看歉若2=066…，13*0.65,所若2瑞13。

JWVJVJMV

这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看

具体情况了。

3.先约分，后比较。

有时已知分数不是最简分数，可以先约分。

B,黑与鹦，般翩个分哪用,所驼们是相瓠

OJOJOJOJOJQJ

4.根据倒数比较大小。

对于分物血In,m-<-.那么仇>n。

mn

加-19匕20211/12020.19

例如，清》因为面T而<1于@所叼）时

5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的

分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。也就是说,

如果a>b,k>0,那么二手>3;

a+ka

如果aVb,k>0,那么>上手。

aa+k

例如，(与《，因为9-7=13-11,所以又如，会与界因

嗯焉，5540mg5叩一皿,所以给圣

类飒，对于；与弓，因为9-8=12/1,所以卜,

011011

6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况：

(1)对于分数m和n,若m>k,k>n,则m>n。

例如，触〉嗨1<1所*4。这里借助于1.

111J11乙乙1J11kJ乙

又6n如2,3药匚2力2,由因小为23、水23亓-23>、-22,蒯Q2犷3、于11

(2)对于分数m和n,若m-k>n-k,则m>n。

颤'm=蜷，n=黑，两个分数都比;略尢于是可以借助

184184

tn—=---------n—=---------

3654321'3456789

前一个差比较小，所以111<11。

(3)对于分数m和n,若k-mVk-n,则m>n。

Ifef因为TN之」2>2所盛>上

恻屋*加1919']717,1917,01917

避撕孔

注意，(2)与(3)的差别在于，(2)中借助的数k小于原来的两个分数m和n；(3)中

借助的数k大于原来的两个分数m和no

(4)把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个已

知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。

加3214近八奶2+462、6、4

例吗与],新刀数击=而，3>io>7,

利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比较大

小时，就可以借助于这个新分数。

例如假稗易出宿新分数篙一看油靛用55,而卜55匕*<；,微限镖>1*黑，僦4

11z11T7/uvz4v1111uv✓11f

比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结，但无论哪种方法，

均来源于：“分母相同，分子大的分数大；分子相同，分母小的分数大”这一基本方法。

练习1

1.比较下列各组分数的大小：/、34,.3236/、"15

⑴--⑵66'75>⑶一

小6616661,.117207,.103217

4998W55448*8081⑹116,240

2.将下列各组分数用“<”连接起来:

,、7667

°）石，23919*13；

.18414751

‘）布'nT*129，139°

答案与提示练习1

…3、4小32、36,.17.15

1⑴ii>W⑵术/⑶

小661/6661,八117.207小103,2"

⑷998<9998；⑸448>808；⑹正〈前

./八6/6/7/7

20）23<19<19<13，

（2）9<21<剪<二

12913949111

第二讲巧求分数

我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目，例如分子或分母加、减某数，

或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、减不同的数，得到一个新分数，求加、

减的数，或求原来的分数。这类题目变化很多，因此解法也不尽相同。

例陶一个分数,分子加可均简短,分子前可粉简为m0

63

分析：为匕原分数多3个分数单位，:比原分数少3个分数单位，所以

0J

:与:的和正好是原分数的2倍，即原分数是:与;的平均数。

0563

517

解’（6+3^2=12

例2有一个分物它能湾加昭愉为1;;».用帽为彳2

渺分数是缈？

分析：若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减1就变成分子加、减

1,这样就可以用例1求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数，再求倒数即可。

解：。+6+2=（,（的倒数是:

例3有一个分数,分子加上2可匏简媒,分子弑去何豺简为;,求这

o2

个分数。

分析与解：因为加上和减去的数不同，所以不能用求平均数的方法求解。

就分戚怫懒,牺颁力怫懒，硼衬相教+

1)忸教物,翻赫城忸知一个通靴，

Of+(2+1)4+3=看

这个分数为15(1x2=母13或91(1=去13例4一个分数,解分琅吐3可的分为?:，它的分嬲扭啜I分为:9

,这个分数是多少？

分析与解：如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变为：

一个分数,它的分司上3惭”7,它的分例去2聆网,2这个分黝星多少，。

于是与例3类似，可以求出

7351

(3-2^(3+2)=6+5=6

7111.3111

---x3=—或一■*-x2=—

36----6266

原分数=1+2=5。

011

在例1〜例4中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同时变化，那么会怎

样呢？

例照分蟾的分子触,分球吐*则分嬲幅变短粘熬数加

435

分析与解：分子减去a,分母加上a,(约分前)分子与分母之和不变，等于29+43=72。约

分后的分子与分母之和变为3+5=8,所以分子、分母约掉

3X92745-43=2。

帧题士9,愉雌是拓宝由蝌麴响或

怖分数勒44分开吩嬲蛀同一个自阿新曲分嬲语是2:，求"这个I自H然数

07/

分析与解:分数434的分子与分母的差是89-44=45,分子和分母搬去同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那

07

么差还是45,新分数约分后变

2

险分子与耨的差频7-2=5,由45+5=9如,分片分母辘了9,

怫启仪电嬲子、相同辘的数题磔264

//X96S

44-18=26。

例7一个分数的分子与分母之和是23,分母增加19后得到一个新分数,

把这个分数化为最简分数是:，求原来的分数。

例m新颁分子与分母的艇23+19=42,化为最简谯后，

分子与分母的和是1+5=6,是由新分数的分子、分母同时除以42+6=7得到

的，所以新分数是*=（,原分数是《

/5JJj-lylo

例8将|的分子加上10,要使分数的大小不变,分母应加多少？

0

分析与解：分子加10,等于分子增加了10-5=2（倍），为保持分数的大小不变，分母也应

增加相同的倍数，所以分母应加8X2=16。加…24八皿小十面相八妙皿『十+々»、

怫将玉的A分M母减去10,要使分数的大小不变,分子应减去多少？

分析与斛WS10,等于分聃灯鳏的炉25总为保持分

在例8中，分母应加的数是

8X（10+5）=10X（8+5）=10+|；

8

在例9中，分子应加的数是

24

24X（10-25）=10X（24+25）=10X—0

由此，我们得到解答例8、例9这类分数问题的公式：

分子应加（减）的数=分母所加（减）的数X原分数；

分母应加（减）的数=分子所加（减）的数+原分数。

删Q有一个分数,它的分前15,可嘱简短;它的明就,可照

简货,对H分瓢

分析与解：这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以说是这类题中最难的，我们用设

未知数列方程的方法解答。

道好分数的分子加由“分子舱可附筒货”,翻j分母为（x+5）

+"再由"分母胱,可弱简壮”,徽盼母做x+2.于是得到方程

42

3

2x+2=（x+5）+“

（2x+2）X3=（x+5）X4,

6x+6=4x+20,

2x=14,

x=7o

7

分母是2x+2=16,所求分数是笆。

练习2

L有一个分数,分子加何的简为:,分孑械何药简为;,求这个分瓢2.有一有渤分冏加啜|简货,分母潮躺简若，对龄分瓢

3—个分乳分孑加上2聒悔为;,分孑威去郦摘抽,超埼数

是缈？

41个分数,分母加上何的简为2:,分母裱去2碘嫡为4%这个分数

是多少？

5留分教，舲书蛀a,分物上a,就盼麴分居于;粘热

瓢"

6分教g舲子、分母聊上同一怕熟教,新的分徽份璃于J京

0/16

渺自醒

7一个颁［舲茸怖秋13,分斜眇诟聒嫡年,就和分弛8将（的分子减去3,要使分数的大小保特不变,分母应减去多少？

9闱，的分母加上9,要使分数的大小保持不变,分子应加上几？

1哺■书擞,它的分襁去2哨简为:,密册用吐河的简为:，

O1

答案与提示练习2

4。解：（；+92=总

2T解：（泊+241+济

1_

4。解：（沁+3DJ，15

123513117,.1712

=

牛。解勺产+2）=包2-=--,1，--0

12121217

5.50解：(53+79)4-(4+7)=12,a=53-4X12=5。

6.13o解:(67-22)6(16-7)=5,7X5-22=130

5皿/、,、2X2+15

7.请解：(13+1)+(9-2)=2,讨=市。

8.8,5。解：3+'=8.5。

9375。解：9X2=/W

】逐。

26

解：设分子为X,根据分母可列方程

515

(X-2)X2=X*--1O解得X=15,分母为(x-2)X2=26。所求分数是主。

y26

第三讲分数运算的技巧

对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技

巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。

L凑整法

与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律(如

交换律、结合律、分配律)，使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……从而使运算得

到简化。

12317

例1。彳+61+1彳+8g)XQ-剂

解，

13217

原式=[(3不+1不)+(6百+8三)]X(2—而)

7

=(5+15)x(2--)

7

=20X2-20X—

20

=40-7=33。

14

例24-X25+32-v4+0.25X125

14

解：原式=4x25+『25+32+4+,+4+0.25x4x31

=100+5+8+^+31=144^

77

2.约分法

制1x2x3+2x4x6+7x14x21

例31x3x5+2x6x10+7x21x35

版_1X2X3+23X(1X2X3)+73X(1X2X3)

舞：-1x3x5+23X(1X3X5)+73X(1X3X5)

_(lX2X3)X(l+23+73)

=(lX3X5)X(l+23+73)

_1X2X3_2

=1X3X5=5

例499X(1-1)X(1-1)X(1-1)X-X(1-1)O

z5qyy

192QO

解：原次=99Xf><wX彳X“・X前=1。

z54yy

3.裂项法

若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运

算。

懒扁；而牺提自翻,韩干个颁刎

例5LLLLL」

2612203042

„111111

解：原支=—+—+—+—+—+—

1x22x33x44x55x66x7

11111111111

=1++

22334455667

,16

77

1

例6_L+」_+_!_+…+

1x33x55x797x99

&-邛12222

解:原丈=-x(—+—+—

m厮"2'1x33x55x797x99'

11111111

-x(1--+-----+------++--------)

2'3355797

1“119849

-XH--)=-x—=—

2'99，29999

例7在自然数1〜100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数的和等于1。

分析与解：这道题看上去比较复杂，要求10个分子为1,而分母不同的

建楠等于1,肝无肝毛但题耨胪”糠

nn+1n(n+l)

就非常简单了。

爵中耳叶汾卜励搬娜O

括号。此题要求的是10个数的倒数和为1,于是做成:

1=fl4)+(n)+(n)+(H)+(H)+(H)+(n)+(n)

111

、910;10

1111111111

=试而+诟+初+旃+荷+砺+旃+而+记

1111111111

261220304256729010

所求的10个数是2,6,12,20,30,42,56,72,90,10。

本螂稗g9+排脚喻镰中

的10和30,仍是符合题意的解。

4.代数法例曾+衿、川+2-0+另+丹心汾

分析与解：通分计算太麻烦，不可取.注意到每个括号中都有;+:+

234

不妨设［+；+：=A,则

原式=(l+A)x(A+g)-(l+A+3xA

1.111

=A+-+AJ+-A-A-A0J--A=-o

5.分组法例9八1+】+…曷(2222333分析与解：利用加法交换律

<23420，34520，M520，

18凤19

、1920，20

和结合律，先将同分母的分数相加。分母为n的分数之和为

[2n-]]

-+-++-------=-x[l+2+■•■+(n-1)]

nnnn

1[1+(n-1)]x(n-1)n(n-l)n-1

—x-----------------------------=-------------=--------

n22n2

原式中分母为2〜20的分数之和依次为

」223...”原式呈+.••+»

2，2'2'2''222222

1/、

=-X(1+2+3+4+…+19)

=为190=95。

2

练习3

l17-(0xg+0X3]+175。

733

2.125-+(11--4—+2.25-

8'420

2345,1234

3(1T+2-+3-+4-)+(3-+5-+7-+9-)o

343034)。

696969x696696

969969x969696

53+口+”+型

26122030

6.1—+2—+3—+4—+5—+6—o

2612203042

S79ir9111?nMIir?Jir

8.在自然数1-60中找出8个不同的数，使这8个数的倒数之和等于lo

9现鼾面的一列数，懒肿的雌骷，题殖I中牌几个?

1121231234

129丁3929「493929『

答案与提示练习3

1.3o

2.13-0

4

i2745

3.ro提示：除数=2X(l,+2彳+3^+4*

L34J0

4”。

1292

解._69xl0101x696xl001_69x696_667

群：=969x1001x96x10101=969x96=1292°

,弓。解:原苏=5-(令4；

6鸿。斛^=(1+2+3+415+6)+(14+1+1+1+1)

=21+(1-1)=21y.

解：设;+；+\=A，

则原式=(g+A)X(A+()-(g+A+卷)XA

11,11.11

=5A+65+A+13A-5A-A-i3A=65e

8.2,6,8,12,20,30,42,56。

111111

=(1…+(---)+-

'223188

二一+—+

9.5680o

解:从前向后，分子与分母之和等于2的有1个，等于3的有2个,等于4的有3个人……

一般地，分子与分母之和等于n的有（n-1）个。分子与分母之和小于9+99=108的有1+2+3+…

+106=5671（个）

业分子与分母之利等于10浦第9个分数,是这列数的第

99

5671+9=5680（个）。

第四讲循环小数与分数

任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分

为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数能化

成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。

i.512•155fdfn

=

(2)--0.3,y-0.714285,^0.39；(3)7(7~r)=0.83,7ZT(=TT—T)=0.38285714,

J1"0/x。1/JJZX/

101101

TTT(=Tj-~--0.2805o

360'23X5X9)

(1)中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5,化

成的飙小数般教烧钟含有的2与5忖数舷的个辘同,如17(

因为40=23X5,含有3个2,1个5,所以化成的小数有三位。

(2)中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。

(3)中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5,又含有2和5以

外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与

删含融5中懒绯馆桐哈因加5=分7,含舲个

5,所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。

于是我们得到结论：

一个最简分数化为小数有三种情况：

(D如果分母只含有质因数2和5,那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分

的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；

(2)如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；

(3)如果分母中既含有质因数2或5,又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定

能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的

个数。

例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小

数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？

5431231003

32(21,250"78'H7,850

分析与解：上述分数都是最简分数，并且

32=2\21=3X7,250=2X5’，78=2X3X13,

117=33X13,850=2X52X17,

根据上面的结论，得到：

最能化成五位有限小数，热讹成三位有限小数。

(，第能化成纯循环小数。

MWH；且

/oOJU

不循环部分有两位。

将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可能比较熟悉将有限小数

化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混

循环小数两种情况，讲解将循环小数化成分数的方法。

1.将纯循环小数化成分数。

例2将0.5化成分数。例3将0.382化成分数。

解:0.5X10=5.5,W：0.382X1000=382,382,将上两式相减,得将上两式相减，得

0.5=0,5»0.382=0,382.

A2s7—从例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的

0.5X(10-1)=5,0.382X=382,

0.5X9=5,0.382X999=382,

-I••382

0.382=—

999

方法。

纯循环小数化成分数的方法:

分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9,9的个数与循环节的

位数相同。7571914416

例如：0.7=-,0.57=—=—,0.144

yyy559991111

2.籽混循环小数化成分数。例40.18X100=18.8,

0.18X10=1.8。

将上两式相减,倚0.18x(100-10)=18-1,例5Q257X1000=25757,

0.18X90=17,

0.257X10=2.57

。18=照。

将上两式相减，得0257X(1000-10)=255,

0.257X990=255,

0257=经上

99066

从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法。

混循环小数化成分数的方法:

分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循

环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9,末几位数字都是0,其中9的个数与

循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。例如：a1717-1168

90=90=45*

136-11353

0.136990=990=22,

.1745-17172848

0.1745>=----------------=----------=--------O

99009900275

掌握了将循环小数化成分数的方法后，就可以正确地进行循环小数的运算了。

例6计算下列各式:⑴0,291-0.192+0.375+0.526；

（2）0.330X0,186。

291192-1375526-5186-1_330X185_5

解:=------+------+（2）原式嗡X

==

999990999990yyy990999X99081

291+375521-191

999+990

66633021

=++=1

99999033

练习4

1.下列各式中哪些不正确？为什么？

⑴舌0.578125；

13

0.590；

⑵22

45

⑶荻=0.152027；

98

（4）0.9702o

101

2.划去小数0.27483619后面的若干位，再添上表示循环节的两个圆点，得到一个循环小

数，例如0.274836。请找出这样的小数中最大的与最小的。

3将.下列纯循环小数化成最简分数:

0.8,0.39,0,231,0.135。

4.将下列混循环小数化成最简分数:

0.28,0,315,0,225,0.517。

5.计算F列各式:Q）0253+0.513+0.413-0.180；

（2）3,3x0,075

⑶0.9168+0.4630。

答案与提示练习4

1.⑴⑶（4）不正确。2.最大是0.2渥,最小是。为。

,8,,13,77,15

3.0,8=-；0.39=-；0,231=—；0.135.。

93333337

-1352■203•233,、,、25,、200

4028=455°315=而；嵬25=丽；0.517=—»5.（1）1；（2）-；（3）—»

M228513372180

解：⑴原式=丽+荻+丽-荻=1;

⑵原式=3§'丽=为；

，八百t9168.4584200

（，原式=碗§丁碗6=而°

第五讲工程问题（一）

顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅

仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。

在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：

工作量=工作效率X工作时间，

工作时间=工作量+工作效率，

工作效率=工作量+工作时间。

工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可

常用分教表示例如,工勤一半薪诚;，工程的三分工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时

之一表示为;。

间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。

工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但在不引起

误会的情况下，一般不写工作效率的单位。

例1单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天

后，剩下的工程乙队干还需多少天？

分析与解：以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天，甲的工作效

率是苏触沟的工假蟀是卷四贻干的工作蟀是蒋+》（^o+Bo）x5O=l+i=l

由“工作能工做蟀x工作朔”，贼的工作疑

新的工作量是（1%由任作朔女作量一工做蟀”,种的工（1令$=25（天）。

作量由乙奸礴

例2某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合做，

中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天？

分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”

这样一来，问题就简单多了。幅（.小的+焉+表

213

=（1-§）+而=5*20=12（天）。

答：甲队干了12天。

例3单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一起干，因

工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？

分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队

干的，所以甲队实际工作了

U4+•X6]+#3（天）o

例4一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如果两人同时做，那么

完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个？

分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，

1^（—+—）=12（ftf）0

k203。,

再求出轴啾比王舞的零件物60+12=5（个）.

最后求出这糕件的嬲，5-（^-1）=300Wo

例5—水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时

可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间

池内将积有半池水分析邪:赚那为单觎时拗晴可使於觊;,1排水管可使7K

就斗,同W开时,可使弟部（；-；）,加帽打开I幅,池内己豆苗

的木,与羊渺斑差（；-；）,所喘携悻他^

（!」）+（"—［（时）o

、25，,57，10354

例6甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。出

发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两

人相遇？

分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、

速度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，

等于比乙晚出发15分钟。我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，

乙先干15分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解

答。解：（1一加5）+焉+/守《=15（分）。

答：甲再出发后15分钟两人相遇。

练习5

1.某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少天才可完成工程的一

半？

2.某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。甲队先干了6天后转交给乙队干，

后来甲队重新回来与乙队一起干了10天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。

3.一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。现在合挖12天后，剩下的乙队单独又挖了

24天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天?

4甲乙二人翻,若就赧则甲忆所需叫叫.若献轩则完成任务时乙比甲多植50棵。这批树共有多

少棵?

5.修一段公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天。现在两队同时从两端开工，结

果在距中点750米处相遇。这段公路长多少米？

6.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需18时注满，单开乙管需24时注满。如果要求12

时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？

7.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需8时，比快车从

乙哪蝴婀国潮车同哪，那搬啾物车对°千米。求甲、乙两地的距离。

答案与提示练习513天。解：9晨+白=3（天）。

2."天。解：口£*（6+10）广：一10=14（天）。

4o允

3.120天。解：乙队的工作效率为（1-5X12）+24=）

甲队单独挖需1+*$）=120（天）。冬350棵。

解:尊工作孵耕冷敝赧工作叫甲叫酬共有50+(衿)=350mo

5.6000米。111]

解:750X2*-(---)x[H(-+-)].=6000(米)0

6.8时。

提示：甲管12时都开着，乙管开,110rI、

（1-—X12）——=8（时）。

1o

7.280千米。解:快车从乙蝌甲蜘+（］+；）=6（时）o两车相遇需1+（杲）=［（时）.

5Oo/

相遇蹦枇慢轻行全翻（二）X。；,所期、乙雕雕

00//

*=280（球）.

第六讲工程问题（二）

上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。在较复杂的工程问题中，工作效

率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运用基本的分析方法，问题也不难解决。

例1一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么

乙接着做8天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？

分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图:

甲5天乙20天

I——I------------------1——I

乙20天乙8天

从上图可直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等

于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过

此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=24（天）

融，即乙的工恸率为｝又因为乙工作4天的工作翱甲工作5天的工作

量相等,所以用的工恸率是乙的;，为

甲、乙合做这一工程，需用的时间为

i+底+新W（天）

例2一项工程，甲、乙两队合作需6天完成，现在乙队先做7天，然后

瞅做4天减成这项工程的*如射膜余的工程交给次单独做,那

么还要几天才能完成？

分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作

的工作辨是;，但甲、乙醐一天也段能作也为了触渺问题,我

6

们把'’乙先做7天，甲再做4天”的过程转化为“甲、乙合做4天，乙再单独

做3天”，这样，就可以把合作的工作效率!用上了。

0

叭乙哪蛤作4天无成的工程量是1;X4=g2乙再做3天就可无成工

63

程量的畜由此釉乙的工作辨为

弟母+（7-4）q

剩下的工程乙队还需干（1书+]=2（天）。

例3单独完成一件工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能

完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定时间完成。问：

甲、乙二人合做需多少天完成？

分析与解：乙单独做要超过3天，甲、乙合做2天后乙继续做，刚好按时完成，说明甲

做2天等于乙做3天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的日住

5倍。

因为鞋做,乙比甲辨3+2=5（天）,所以糯要5、」）=（天）

，乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要

1+（需+/=6（天）o

例4放满一个水池的水，若同时打开1,2,3号阀门，则20分钟可以完成；若同时打

开2,3,4号阀门，则21分钟可以完成；若同时打开1,3,4号阀门，则28分钟可以完成;

若同时打开1,2,4号阀门，则30分钟可以完成。问：如果同时打开1,2,3,4号阀门，

那么多少分钟可以完成？

分析与解：同时打开1，2,3号阀门1分钟，再同时打开2,3,4号阀门1分钟，再同

时打开1，3,4号阀门1分钟，再同时打开1,2,4号阀门1分钟，这时，1,2,3,4号阀

门各打开了3分钟，放水量等于一

'郴刚就开L2,3,4号制,滩-f嘘

ZU21405U

1+哈+白导苏+刃

=1+（［+3）=1+焉=18（分）。

0lo

例5某工程由一、二、三小队合干，需要8天完成；由二、三、四小队合干，需要10

天完成；由一、四小队合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、...

的顺序，每个小队干一天地轮流干，那么工程由哪个队最后完成？

分析与解：与例4类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是

1117

=Q四个楸务干了6那24天后痛下工髓的

8101548

7I

1--X6=＜又因为二二三微合干翻无期二二,三小队各干

48o

伏赧工髓相，所肛程由三小队最万赧。

0

例6甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好

整天做完，并且结束工作的是乙。若按乙、丙、甲的顺序轮流

施,则姗龊为若技取甲、乙械踊班则顺t帔

用;无改甲鞠随浒工概要妖,融甲,乙丙三卜起触

件工作，要用多少天才能完成？

分析与解：把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中，无论谁先谁后，完成的

总工作量都相同。所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同（见下图虚线左

边），相差的就是最后一轮（见下图虚线右边）。

甲乙丙...丙:甲乙

乙丙甲……甲:乙丙（甲

丙甲乙……乙:丙甲;乙

由最后一轮完成的工作量相同，得到

甲+乙=乙+丙+g甲，①

乙+丙甲=丙+甲+;乙。②

由。对翱:丙=4;由②羽翱:乙J甲。甲、乙、丙三人合

24

｝矮于甲帆（天），撷三始做翻

424

练习6

1.甲、乙二人同时开始加工一批零