类第一轮补课131空间向量的应用

ABCDA1B1C1D1中，EAC、的交点，MCC1的中点，求证：A1EP－ABCDABCD为正方形，PDABCD，PD＝DC，EPCEF⊥PB（1）AEDB（2）PB（1）A1BC1AD1C；（2）B1DA1BC1AD1C

E DDC 如图，长方体ABCDABCD中，已知 111

AD＝3，AA1＝2，E、FAB，BC（1）S－ABCABC43正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2 分别为AB、SB的中点（1）证明：AC⊥SB；3NCMBCMN

F NCNCMBAABCD－A1B1C1D1中，E，PBC，A1D1的中点，M，N是AE，CD1的中点，AD＝AA1＝a，

（2） 直线EFDB

B D 如图，四棱锥P－ABCD中，底面是矩形且 2 ，PAABCD，EAD的中点，FPC2（1）下，EFPCAD的公垂线？若是，（1）BDBEF

2ABCDA1B1C1D1中，OABCD的中心，E、FCC1，ADOEFD1所成的角的余弦值是＿＿＿＿＿＿＿PA二面角l的平面角为120，A，BlACBDAClBDl，AB＝AC＝BD＝1CDPAABCDAB1BCaPAABCDBCQPQDQDa的值等于＿＿＿＿＿＿＿A＝BD 2BB1则AB1与C1B所成的角的大小为＿＿A1FC1E的位置关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿ABCDABEF所在平面成60BF所成角为＿＿＿＿＿＿＿＿＿ADBE所成角为

，则四面体体积为＿＿＿＿＿＿＿＿PDP－ABCDPADPAD⊥ABCDAPCDPDDBABA(第8题图 （第9题图2ABCDABCDAE1ABABCD111

最小，则最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿ABCDA1B1C1D1MAB1NBC1AM＝BNAA1MNA1C1MN，③MNA1B1C1D1成0角，④MNA1C1是异面ABCDADAB0S1S2S3分别表示ABCABDACDS1S2S3的最大ABCA1B1C1，底面ABC中，CACB1BCA9022，M，N分别是A1B1，A1A的中点，则BN的长为 23 3

2点，则异面直线EF与GH所成的角等于

（B）

（C）

截面AB1D1的距离是（ 3

（B）8

（C）3

4ABCA1B1C1的侧棱长是2，底面ABCACB90AC2EAB的中点，DAA1DB1C1E1 （B）3

232

3在正方体ABCDABCD中，E是对角线AC、 111的交点，M为棱CC1的中点，求证：A1E⊥平面 DDA，DC，DD1x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz

1D（0,0,0

E EE(12

A1E

1,2

2AEDB(1)111(1)0 AE 又AEBM()(1) AE A1EDBA1EBMDBBM PP－ABCDABCD侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC中点，作 （1）AEDB（2）PB证明：以D为坐标原点，以直线DA，DC，DD1分别 x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz 设DC AC，DBG点，在ACP中，EPC中点；GAC 又EG在平面EDB内，PA在平面EDB PA∥平面

B(a,a,0),E(0,a2

a),A(a,0,0),P(0,0,a)

∴PA(a,0,a),DB(a,DE

(0,a,a2

EDB的法向量为nuvw，则nDBnDE(u,v,w)(a,a,0)

uvn(u,v,w)(0,a,a)

w

2 PAna1a(1)PA PAPB(aa,aDE

a,a2

PBDE222

a2020PB

EFPBDEEF

PB DD（1）（2）B1DA1BC1AD1C证明：以D为坐标原点，以直线DA，DC，DD1分别 xyzDxyz （1）aA(a,0,0B(aa,0),C(0a,0 ACaa,0AD1a,0A1C1(a,a,0),BA1(0,a,n1AC

AD1Cn1A1BC1n2A1C1由n1AD1

n1

n2BA1

A1BC1AD1CA1BC1（2）由（1）ACaa,0AD1a,0aDB1aaDBACa2a200,DBADa20a2 DB1ACDB1 ACAD1ADB1 故DB1平面DB1A1BC1PDB1AD1C于QP点，QD，B1在平A1BC1AD1C上的射影。

aaDQ

aa

1aa

aa

),Q( , 33( 3

),QP( 3

3),PB1(3,3,3)即

3a3

B1DA1BC1AD1C131如图，长方体ABCDABCD中，已知 131111

AD＝3，AA1＝2，E、FAB，BC（1）

F （1） DE(3,3,0),EC1FD nxyzCDE垂直，则nDE nEC13x3y

xy1zn1,1,2)CDEx3y2z

n

tan 11400（2

cos

11(4)32214EC1FD1EC1EC1FD1EC13正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2 分别为AB、SB的中点（1）证明：AC⊥SB；3NCMBBCMN（1）

NCANCAMSASC,AB

ACSO,AC

平面SAC平面SAC平面

SO面

SOA(2,0,0

3,0),C(2,0,0),

2),M

3,0)N(0,3,

AC(4,0,0),SB

3,2ACSB(4,0,0)

2)

AC由（1）得

3,0),MN(1,0,n(xyzCMNn

(x,y,z)

3,0)3x

3ynMN(xyz

2)x

2z

z

n

又OS0,0,22ABC的一个法向量，设二面角的平面角大小为cos

NCMB的大小为arccos1nOSnnOSn（1（2）

n

nn4向 B点到平面CMNnn43ABCD－A1B1C1D1中，E，PBC，A1D1的中点，M，N是AE，CD1的中点，AD＝AA1＝a， D

xyzA(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),A(a,0,a),D(0,0,

E，P，M，NBC，A1D1，AE，CD12

,2a,0),2

M M,a,0),N(0,a, MN的一个方向向量MN ,0,

n n面

MNn

又MN不在平面ADD1A1 （2） 直线EFDB（1）

(1,1,),

cos

DFDFDF5

arccos5

4即异面直线GH与DF所成的角的大小为 5（2）EFDBnuvwE(1,0,2F则EF(1,1,0),DF(0,1,2) 由EFn0uv

wDFn

v2w则u2,v2,n 又GH(1,0,2)nGH22EFDB的法向量n与GH垂直，又GHEFDB内，GHP－ABCD22

，PAABCD，EAD的中点，FPCFEF在条件（1）下，EFPCAD的公垂线？在条件（1）BDBEF所成的角。（1）A为原点建立如图空间直角坐标系，则

2),

2,0),D(2,0,0),

FPCPFPCF(xyzBC(2,0,0PC

2),EF(x1,y,EFBCEF平面PBC

PFPC1x1yzEFPCFPCEF由（1）EFPCEF

EFEFPCAD

1,x1,yz(2(2)2222

2EF2

2

由（1）PC

2PBBC

FPCPC

EF

PCBEFBD

BDBEF所成的角为BDPC的夹角为则sin

BDBD3

363直线BD与平面BEF所成的角为 6 2ABCDA1B1C1D1中，OABCD的中心，E、FCC1，ADOEFD1所成的角的余弦值是＿＿＿。

5二面角l的平面角为120，A，BlACBDAClBDlPAPAABCDAB1BCaPA平面ABCD，若在BC上只有一点Q满足PQDQ 则a的值等于＿＿ 的大小为＿＿＿＿＿＿＿（60）ABCA1B1C1中，AB（90

2BB1AB1C1B所成的角的大小为＿＿A1FC1E的位置关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿（垂直）ABCDABEF所在平面成60BF所成角为＿＿＿＿＿＿＿＿＿（arccos24ADBE所成角为

，则四面体体积为＿＿＿。6面ABCD，则二面角APCD的正切值为＿＿＿＿ 6PDDPDCBAB (第8题图 （第9题图2ABCDABCDAE1ABABCD111

最小，则最小值为＿＿＿ ABCDA1B1C1D1MAB1NBC1AM＝BNAA1MNA1C1MN，③MNA1B1C1D1成0角，④MNA1C1是异面ABCDADAB0S1S2S3分别表示AB