222 用样本的数字特征估计总体的数字特征标准差

本文格式为Word版，下载可任意编辑——222用样本的数字特征估计总体的数字特征标准差

和教材同步

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征标准差

和教材同步

平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是平均数向我们提供了样本数据的重要信息但是平均有时也会使我们作出对总体的片面判断.平均有时也会使我们作出对总体的片面判断.因为这个平均数掩盖了一些极端的状况，为这个平均数掩盖了一些极端的状况，而这些极端状况显然是不能忽的.因此，端状况显然是不能忽的.因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态.以概括样本数据的实际状态.如：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次每次命中的环数如下：射靶次，每次命中的环数如下：甲：78795乙：9578746910786747

假使你是教练,你应当如何对这次射击作出评价假使你是教练你应当如何对这次射击作出评价?你应当如何对这次射击作出评价假使看两人本次射击的平均成绩,由于假使看两人本次射击的平均成绩由于x甲=7,x乙=7的平均成绩是一样的.那么两个人的两人射击的平均成绩是一样的那么两个人的水平就没有什么差异吗?水平就没有什么差异吗

和教材同步

频率0.30.20.14频率(乙)乙0.40.30.20.145678910环数5678910环数(甲)甲

和教材同步

直观上看,还是有差异的如甲成绩比较分散甲成绩比较分散,乙成绩相直观上看还是有差异的.如:甲成绩比较分散乙成绩相还是有差异的对集中(如图示因此,我们还需要从另外的角度来考察如图示).因此对集中如图示因此我们还需要从另外的角度来考察这两组数据.例如在作统计图,表时提到过的极差例如:在作统计图表时提到过的极差.这两组数据例如在作统计图表时提到过的极差甲的环数极差=10-4=6甲的环数极差乙的环数极差=9-5=4.乙的环数极差它们在一定程度上说明白样本数据的分散程度,与它们在一定程度上说明白样本数据的分散程度与平均数一起,可以给我们大量关于样本数据的信息可以给我们大量关于样本数据的信息.显平均数一起可以给我们大量关于样本数据的信息显极差对极端值十分敏感,注意到这一点然,极差对极端值十分敏感注意到这一点我们可以得极差对极端值十分敏感注意到这一点,我们可以得到一种“去掉一个最高分,去掉一个最低分去掉一个最低分〞到一种“去掉一个最高分去掉一个最低分〞的统计策略.策略

和教材同步

考察样本数据的分散程度的大小，考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差.标准差.标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用s表示表示.标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用

表示.所谓“平均距离〞其含义可作如下理解：所谓“平均距离〞,其含义可作如下理解：假设样本数据是x1,x2,,xn,x表示这组数据的平均的距离是：数,则xi到x的距离是：则的平均距离是：于是样本数据x1,x2,,xn到x的平均距离是：

|xix|(i=1,2,K,n).

|x1x|+|x2x|+L+|xnx|.S=n

和教材同步

由于上式含有绝对值，运算不太便利，因此，由于上式含有绝对值，运算不太便利，因此，寻常改用如下公式来计算标准差.用如下公式来计算标准差.

s=

1222[(x1x)+(x2x)+L+(xnx)]n

考虑一个容量为2的样本:考虑一个容量为2的样本:的样本

x2x1x1x2,其样本的标准差为s=其样本的标准差为2s

x1

x1+x22

x2

显然,标准差越大，越大，数据的离散程度越大；显然标准差越大，则s越大，数据的离散程度越大；标准差越大标准差越小，数据的离散程度越小.标准差越小，数据的离散程度越小

和教材同步

例题1:画出以下四组样本数据的直方图说明它们的例题画出以下四组样本数据的直方图,说明它们的画出以下四组样本数据的直方图异同点.异同点(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5;(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6;(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7;(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8;四组样本数据的直方图是:解:四组样本数据的直方图是四组样本数据的直方图是

和教材同步

频率

频率

1.00.5

x=5S=0.00(1)

1.0

x=5S=0.82

(2)

0.5

o12345678频率

o123456781.0频率

1.0

x=5S=1.49

(3)0.5

x=5S=2.83

(4)

0.5

o12345678

o12345678

和教材同步

四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是标准差分别是0.00,0.82,四组数据的平均数都是标准差分别是1.49,2.83。虽然它们有一致的平均数但是它们有，。虽然它们有一致的平均数,但是它们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的不同的标准差说明数据的分散程度是不一样的.说明数据的分散程度是不一样的

和教材同步

甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件的一种零件.例2、甲乙两人同时生产内径为的一种零件为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中为了对两人的生产质量进行评比从他们生产的零件中各抽出20件量得其内径尺寸如下单位:mm)量得其内径尺寸如下(单位各抽出件,量得其内径尺寸如下单位甲25.46,25.32,25.45,25.39,25.3625.34,25.42,25.45,25.38,25.4225.39,25.43,25.39,25.40,25.44乙25.40,25.42,25.35,25.41,25.3925.40,25.43,25.44,25.48,25.4825.47,25.49,25.49,25.36,25.3425.33,25.43,25.43,25.32,25.4725.31,25.32,25.32,25.32,25.48

从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高从生产的零件内径

的尺寸看谁生产的质量较高?谁生产的质量较高

和教材同步

分析:由于零件的生产标准已经给出内径分析由于零件的生产标准已经给出(内径由于零件的生产标准已经给出内径25.40mm),生产质量可以从两个角度来衡量.生产质量可以从两个角度来衡量(1)各自的平均数与内径标准尺寸)各自的平均数与内径标准尺寸25.40mm的差的差异大时质量低,差异小时质量高差异小时质量高;异大时质量低差异小时质量高(2)平均数与标准尺寸很接近时标准差小的时候)平均数与标准尺寸很接近时,质量高,标准差大的时候质量低标准差大的时候质量低.质量高标准差大的时候质量低:用计算器计算可得用计算器计算可得:解:用计算器计算可得:

x甲≈25.401,x乙≈25.406;s甲≈0.037,s乙≈0.068

和教材同步

从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙生产的从样本平均数看甲生产的零件内径比乙生产的更接近内径标准(25.40mm),但是差异很小；所以但是差异很小；更接近内径标准但是差异很小必需再从样本标准差看，必需再从样本标准差看，

s甲s乙，因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度要高得多。于是可以作出判断，度要高得多。于是可以作出判断，甲生产的零件的质量比乙的高一些。的质量比乙的高一些。

和教材同步

标准差的其他作用与表现形式标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释.例如在标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释例如,在例如关于居民月均用水量的例子中,平均数关于居民月均用水量的例子中平均数x=1.973标准差s=0.868,将有x+s=2.841,x+2s=3.709标准差将有xs=1.105,x2s=0.237.不难发现：100不难发现：个数据中，区间x2s,x+2s=[0.237,3.709]外的只有