数学竞赛专题讲座七年级第2讲 创造的基石-观察、归纳与猜想(含答案)

第二讲创造的基石——观察、归纳与猜想当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的预言，通过猜测，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的．从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史．20世纪数学发展中巨大成果是，1995年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达350多年的“费尔马大猜想”，而著名的哥德巴赫猜想，已经历经了两个半世纪的探索，尚未被人证实猜想的正确性．当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法，是创造发明的基石．“要想成为一个好的数学家，你必须是一个好的猜想家，数学家的创造性工作的结果是论证推理，是一个证明，但证明是由合情推理、由猜想来发现的．”______G．波利亚链接：G．波利亚，美籍匈牙利人，现代著名数学家，他的《怎样解题》等著作，被誉为第二次世界大战后的数学经典著作之一．观察、实验、猜想是科学技术创造过程中一个重要方法，通过观察和实验提出问题，再提出猜想和假设，最后通过推理去证明假设和猜想．举世瞩目的“数学皇冠上的明珠”——哥德巴赫（德国数学家）猜想，就是从下面这些等式：6=3+3,8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11．归纳得出：“任何不小于6的偶数均可以表示成两个奇质数的和．”我国数学家陈景润于1973年证明了“1+2”，离解决哥德巴赫问题，即“1+1”仅一步之遥．例题讲解【例1】(1)用●表示实圆，用○表示空心圆，现有若干实圆与空心圆按一定规律排列如下：●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○……问：前2001个圆中，有个空心圆．(江苏省泰州市中考题)(2)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，2l，…叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为．(舟山市中考题)思路点拨(1)仔细观察，从第一个圆开始，若干个圆中的实圆数循环出现，而空心圆的个数不变；（2）每个三角形数可用若干个数表示．【例2】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：像这样，10条直线相交，最多交点的个数是()．A．40个B．45个C．50个D．55个(湖北省荆门市中考题)思路点拨随着直线数的增加，最多交点也随着增加，从给定的图形中，探讨每增加一条直线，最多交点的增加数与原有直线数的关系．是解本例的关键．【例3】化简(第18届江苏省竞赛题)思路点拨先考察1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更加明确．【例4】古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；地支有12个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行；．甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸……子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数，第l列是甲子，第3列是丙寅…，问当第二次甲和子在同一列时，该列的序号是多少?(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨把“甲”、“子”在第一行、第二行出现的位置分别用相应的代数式表示，将实际问题转化为数学问题求解．链接：观察是解决问题的先导，发现往往是从观察开始的，归纳与猜想是建立在细致而深刻的观察基础上的，解题中的观察活动主要有三条途径：(1)数与式的特征观察；(2)图形的结构观察；(3)通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况．归纳总是与递推联系在一起的，所谓递推，就是在归纳的基础上，发现每一步与前一步或前几步之间的联系，更容易发现规律．然后证明通过归纳所猜测的规律的正确性．【例5】图、、、都称作平面图．图顶点数边数区域数(a)463(b)(c)(d)(1)数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少区域，将结果填人表中(其中(a)已填好)．(2)观察表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?(3)现已知某一平面图有999个顶点和999个区域，试根据(2)中推断出的关系，确定这个图有多少条边?(“华杯赛”决赛试题)思路点拨从特殊情况人手，仔细观察、分析、试验和归纳，从而发现其中的共同规律，这是解本例的关键．链接：历史上著名的数学家欧拉曾经研究过正多面体，惊奇地发现了正多面体的顶点数、面数、棱数存在一个奇妙的相等关系：．史称“欧拉公式”，它不仅在数学方法上有所创新，而且推动了现代数学的重要分支——拓扑学的发展．【例6】已知，，且，均为正整数，如果将进行如下方式的“分解”，那么下列三个叙述：①在的“分解”中最大的数是11；②在的“分解”中最小的数是13；③若的“分解”中最小的数是23，则等于5．其中正确的是____________．（太原市中考题）思路点拨明确对进行“分解”的意义，是解本例的关键．【例7】观察图形寻找规律，在“？”处填上的数字是（）．A．128B．136C．162D．188（南宁市中考题）思路点拨从探讨数字键的关系入手．【例8】一楼梯共有级台阶，规定每一步可以迈1级或2级或3级，设从地面到台阶的第级，不同的迈法为种，当=8时，求．（河南省竞赛题）思路点拨先求出当=1，2，3，4时，，，，的值，解题的关键是，从某级开始，寻找与、、的联系．基础训练一、基础夯实1.(1)如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据图中的数构成的规律,a所表示的数是________.(2001年浙江省绍兴市中考题)（1）（2）(2)观察一列数:3,8,13,18,23,28,…依此规律,在此数列中比2000大的最小整数是_________.(2003年金华市中考题)2.如图2是2002年6月份的日历.现用一矩形在日历中任意框出4个数,请用一个等式表示a、b、c、d之间的关系:__________.3.下面由火柴棒拼出的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成.通过观察可以发现:(1)第4个图形中火柴棒的根数是________.(2)第n个图形中火柴棒的根数是________.(2001年江西省中考题)4.小王利用计算机设计了一个计算程序,输入和输出的数据如下表,那么当输入数据是8时,输出的数据是()输入…12345…输出……A.B.C.D.(2003年重庆市中考题)5.在以下两个数串中:1,3,5,7,…,1991,1993,1995,1997,1999和1,4,7,10,…,1990,1993,1996,1999同时出现在这两个数串中的数的个数共有()个A.333B.334C.335D.336(“希望杯”邀请赛试题)6.图①是一个水平摆动的小正方体木块,图②、③是由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续叠放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数应是().A.25B.66C.91D.120(2003年宁波市中考题)7.一串数排成一行,它们的规律是这样的:头两个数都是1,从第三个数开始,每一个数都是前两个数的和,也就是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…问:这串数的前100个数中(包括第100个数),有多少个偶数?(“华杯”赛试题)8.自然数按下列的规律排列：(1)求上起第10行,左起第13行的数;(2)数127应在上起第几行、左起第几列?(北京市“迎春杯”竞赛题)二、能力拓展9.(1)观察下列各式,你会发现什么规律?3×5=15,而15=42-1,5×7=35,而35=62-1,……11×13=143,而143=122-1,……将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来_______.(2000年济南市中考题)(2)将1,-,,-,,-…按一定规律排成下表:第1行1第2行-第3行-第4行--第5行--……从表中可以看到第4行中,自左向右第3个数是,第5行中从左向右第2个数是-,那么第199行中自左向右第8个数是________,第1998行中自左向右第11个数是________.(“希望杯”邀请赛试题)10.有一列数a1,a2,a3,a4,…,an,其中a1=6×2+1a2=6×3+2;a3=6×4+3;a4=6×5+4;……则第n个数an=_______;当an=2001时,n=________.(第15届江苏省竞赛题)11.一个正方体,它的每一面上写有一个字,组成“数学奥林匹克”.有三个同学从不同的角度看到的结果依次如图所示,那么,“学”字对面的字为______.(重庆市竞赛题)（第11题）（第12题）12.用盆栽菊花摆在如图所示的大小相同的7个正方形花坛的边缘,正方形每边都等距离地摆n(n≥3)盆花,那么所需菊花的总盆数s与n的关系可以表示为________.(第14届“希望杯”邀请赛试题)13.(新加坡数学竞赛题)如果一个序列满足a1=2,an+1=an+2n(n为自然数),那么a100是()A.9900B.9902C.9904D.10100E.1010214.(2001年湖北省荆州市中考题)将正偶数按下表排成5列:第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224…………2826根据上面排列规律,则2000应在().A.第125行,第1列B.第125行,第2列C.第250行,第1列D.第250行,第2列15.(1)设n为自然数,具有下列形式的数是不是两个连续奇数的积,说明理由.(2)化简×+1,并说明在结果中共有多少个奇数数字?16.(1)图①是正方体木块,把它切去一块,可能得到形如图②、③、④、⑤的木块.我们知道,图①的正方体木块有8个顶点,12条棱,6个面,请你将图②、③、④、⑤中木块的顶点数、棱数、面数填入下表：图顶点数棱数面数①8126②③④⑤(2)观察此表,请你归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系是：____________________.(3)图⑥是用虚线画出的正方体木块,请你想象一种与图②～⑤不同的切法,把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线,则该木块的顶点数为________,棱数为_________,面数为________.(第16届江苏省竞赛题)三、综合创新：17.怎样的两个数,它们的和等于它们的积?你大概马上就会想到2+2=2×2,其实这样的两个数还有很多,例如:3+=3×。(1)你能再写出一些这样的两个数吗?你能从中发现一些规律吗?(2)你能否提出一些类似的问题?在你提出的问题中选择一个问题进行研究.18.(2002年湖北省竞赛题)观察按下列规则排成的一列数:,…(※)(1)在(※)中,从左起第m个数记为F(m),当F(m)=时,求m的值和这m个数的积.(2)在(※)中,未经约分且分母为2的数记为c,它后面的一个数记为d,是否存在这样的两个数c和d,使cd=2001000,如果存在,求出c和d;如果不存在,请说明理由.答案:1.(1)6,(2)2003.2.a+b=c+d-14或a+c=b+d-2或a+d=b+c3.13,3n+14.C5.B提示:同时出现在这两个数串中的数是1～1999的整数中被6除余1的数,共有334个.6.C7.提示:观察已经写出的数,发现每三个连续数中恰有一个偶数,在前100项中,第100项是奇数,前99项中有=33个偶数.8.提示:经观察可得这个自然数表的排列特点:①第一列的每一个数都是完全平方数,并且恰好等于它所在行数的平方,即第n行的第1个数为n2;②第一行第n个数是(n-1)2+1;③第n行中从第一个数至第n个数依次递减1;④第n列中从第一个数至第n个数依次递增1.这样可求:(1)上起第10行,左起第13列的数应是第13列的第10个数,即[(13-1)2+1]+9=154.(2)数127满足关系式127=112+6=[(12-1)2+1]+5,即127在左起12列,上起第6行的位置.9.(1)(2n+1)(2n+3)=4(n+1)2-1;(2),-各行数的个数分别为1,2,3,…,求出第1行至第198行和第1行至第1997行共有多少个问题就容易解决.10.7n+6,28511.林12.S=7×4(n-1)-5n=23n-8(n≥3)13.B14.C15.(1)提示:是,原式=×5;(2)原式=结果中的奇数数字有n-1个.16.(1)略;(2)顶点数+面数-棱数=2;(3)按要求画图,验证(2)的结论.17.(1)一般地,我们有(a+1)+()===(a+1)·(2)类似的问题如:①怎样的两个数,它们的差等于它们的商?

②怎样的三个数,它们的和等于它们的积?18.(1)(※)可分组(),(),(),(),(),…可知各组数的个数依次为1,2,3,…按其规律应在第2002组(,,,…,)中,该组前面共有1+2+3+4+…+2001=2003001个数,故当F(m)=时,m=2003001+2=2003003,又因各组的数积为1,故这2003003个数的积为×=。(2)存在满足条件的c和d,c=,d=。依题意,c为每组倒数第2个数,d为每组最后一个数,设它们在第n组,则c=,d=.∴=2001000,即n(n-1)=4002000=2001×2000∴n=2001,得c==,d=.提高训练如图，由8个边长为1的正方体堆放在一起，请你在图形中找到一点与点连接起来，使得到的线段长度等于3．阳阳和明明玩上楼梯的游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级……逐步增加时，楼梯的上法依次为1，2，3，5，8，13，21，…．那么上10级台阶共有______种上法．（武汉市中考题）瑞士中学巴尔默成功从光谱数据，，，，…中得到巴尔默公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请按这种规律写出第七个数据时______．（福州市中考题）已知一列数：1，-2,3，-4,5，-6，7，…将这列数排列成下列形式：第一行1第二行-23第三行-45-6第四行7-89-10第五行11-1213-1415……按照上述规律排列下去，那么第10行从左边数第5个数是_______．(淮安市中考题)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造正方形，再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形并记为①，②，③，④，相应矩形的周长如下表所示：序号①②③④周长6101626若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是________．(温州市中考题)世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（）．A．B．C．D．(济南市中考题)阅读材料：大数学家高斯在上学读书的时候，曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+10=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…=，其中是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+=？观察下面三个特殊的等式：1×2=将这三个等式的两边相加，可以得到．读完这段材料，请你计算：（1）；（2）；（3．（内江市中考题）把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、…，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、…，则第十个数为________．（济南市中考题）如下数表是由1开始的连续自然数写成，并且每行最右边的一个数都是平方数：则表中第10行所写出的各数的和等于_________