初中数学 教学设计2：勾股定理 市赛一等奖

第3章勾股定理勾股定理（1）课题勾股定理课型新授授课人课时1教学目标1、能说出勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法。2、经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合思想3．能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题教学重难点重点：体验勾股定理的探索过程难点：勾股定理在生活实际中的应用教学方法教具教学过程教师活动内容学生活动内容一、创设情境提出问题1．同学们，我们已经学过三角形的一些基本知识，如果一个三角形的两条边分别长6和8，你知道第三边的长吗？你知道第三边长的范围吗？2．如果又已知这两边的夹角是90度，那么第三边的长确定吗？3．已知直角三角形的两边的长，如何求第三边的长呢？这节课就让我们一起来探讨这个问题．板书：直角三角形三边数量关系．（勾股定理）二、实践探索猜想归纳1．用什么方法来探求？我们曾经利用图形面积探索过数学公式，大家还记得在哪用过吗？2.观察图形，我们分别以直角三角形ABC的三边为边向形外作三个正方形．3．拼图活动引发我们的灵感，运算推演证实我们的猜想．为了计算面积方便，我们可将这幅图形放在方格纸中．如果每一个小方格的边长记作“1”，请你求出图中三个正方形的面积．你是如何得到的？如何计算S６６8x教师活动内容学生活动内容(图5)(图5)4．肯定学生的研究成果，进而让学生打开书回顾课本上的提示．从小明、小丽的方法中你能得到什么启发5．再给出直角边为5和3的直角三角形（图9），让学生计算分别以三边作为边所作的正方形面积6．通过以上的实验、操作、计算，我们发现以直角三角形的各边为边所作的正方形的面积之间有什么关系呢？同学们自己总结结论。直角三角形三边的等量关系：两直角边的平方和等于斜边的平方．教师活动内容学生活动内容三、课堂练习巩固新知1．完成课本第79-80页练习第1、2题．（1）求下列直角三角形中未知边的长：（2）求下列图中未知数x、y、z的值：2．如图：一块长约80m、宽约60m的长方形草坪，被几个（1）这几位同学为什么不走正路，走斜“路”？（2）走斜“路”比正路少走几步呢？（3）他们这样做，值得吗？四、课堂小结布置作业1．通过本节课的学习，大家有什么收获？有什么疑问？你认为还有什么要继续探索的问题？2．作业．勾股定理（2）课题勾股定理课型新授授课人课时2教学目标1、经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合思想2、经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，感受勾股定理的文化价值。教学重难点重点：通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对数形结合的思想的认识。难点：通过拼图验证勾股定理的过程，使学习获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。教学法教具教学过程教师活动内容学生活动内容一、创设情境提出问题勾股定理是数学中一个重要的定理，几乎所有拥有古代文化的民族和国家都对它进行了大量的研究，找到了许多验证的方法，这些方法不仅验证了勾股定理，而且丰富了人们研究数学问题的方法和策略，促进了数学的发展。你想了解一引起验证勾股定理的方法，并且自己来验证勾股定理吗？让我们一起走进数学实验室！二、实践探索（1）你能把本章章头的图①、②、③、④、⑤拼成正方形吗？你能验证勾股定理吗？与同学交流。（教师巡视，了解学生拼图的情况及利用自己的拼图验证的情况，帮助有困难的学生。）（2）剪4个全等的直角三角形，把它们拼成弦图，与同学合作探索数学家赵爽是如何利用弦图验证勾股定理的。（这个问题要给予学生充足的时间和空间进行讨论和拼图，教师在这要引导适度，不要限制学生思维，同时鼓励学生在拼图验证过程中进行交流合作，教师在巡视过程中，及时指导，并让学生展示自己的拼图及让学生说明拼图思路教师活动内容学生活动内容赵爽在《勾股圆方图注》一书中给出的证明：弦图中四个直角三角形涂朱色，它的面积叫做“朱实”，中间的一个小正方形涂黄色，它的面积叫做“中黄实”，也叫做“差色”，以弦为边的正方形叫“弦实”，“按弦图，又可以勾股相乘为中黄色，加差色，亦弦实”即：（朱实四）（中黄实）（弦实）（3）完成课本P81探索提示：利用梯形面积－两个小三角形面积=虚线三角形面积3、勾股定理是数学上有证明方法最多的定理，美国第二十任总统伽菲尔德就由这个图得出：c2=a2+b2证明勾股定理的。他的证法在数学史上被传为佳话。他是这样分析的，如图所示：教师活动内容学生活动内容三、课堂练习巩固新知1．完成课本第82页练习及习题．四、课堂小结布置作业1、从“面积到乘法公式”一章的学习中，我们把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算得到了许多有用的式子，这节课同样地我们用多种方法拼图验证了勾股定理，你有什么感受？2．作业．勾股定理的逆定理课题勾股定理的逆定理课型新授授课人课时1教学目标1．会阐述直角三角形的判定条件（勾股定理的逆定理）．2．会用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形，探索怎样的数组是“勾股数”，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力．3．经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会“形”与“数”的内在联系．教学重难点重点：掌握“三边a、b、c的长满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形”这一方法进行直角三角形的判定．难点：了解勾股数的由来，并能用它来解决一些简单的问题．教学法教具教学过程教师活动内容学生活动内容一、复习引入⑴我们学过的直角三角形的判定方法有哪些？（定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形。）⑵、我们知道把等腰三角形的性质逆着用，就是等腰三角形的判定方法，那么把勾股定理反过来是不是可以判定一个三角形是直角三角形呢？（即若三角形的3边a，b，c，如果满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是否是直角三角形呢？）二、实践探索猜想归纳1、画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）．A．3，4，3；

B．3，4，5；C．3，4，6；

D．5，12，13．判断：请判断一下上述你所画的三角形的形状．猜想：三角形的三边满足什么条件时，这个三角形是直角三角形？3．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．教师活动内容学生活动内容4．你会用这个结论判断一个三角形是不是直角三角形吗？这个结论与勾股定理有什么关系吗？如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.∵a2+b2=c2∴ΔABC为RtΔ探索规律：1．满足a2＋b2＝c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．例如：3、4、5是一组勾股数，古巴比伦泥板上的神秘数组都是勾股数，利用勾股数可以构造直角三角形．除了3、4、5这组勾股数之外，你还能写出其他的勾股数吗？先独立思考，再与同学交流你的结果．2．判断：下列各组数是勾股数吗？（1）6，8，10；（2）9，12，15；（3）12，16，20．你发现什么规律？3、引导学生阅读课本P84你能猜想这些神秘的数组揭示什么奥秘了吗？请你验证你的猜想。（古巴比伦泥板上的神秘数组都是勾股数）利用勾股数可以构造直角三角形.三、课堂练习巩固新知例1：下列各组数是勾股数吗?为什么?(1)12,15,18;(2)7,24,25;(3)15,36,39;(4)12,35,36.教师活动内容学生活动内容例2、很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，你知道这个三角形是什么形状吗？并说明理由．例3、已知某校有一块四边形空地ABCD，如图现计划在该空地上种草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？变式：要做一个如图所示的零件，按规定∠B与∠D都应为直角，工人师傅量得所做零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗？DADABC四、课堂小结布置作业勾股定理的简单应用课题勾股定理的简单应用课型新授授课人课时1教学目标1．会运用勾股定理解决路程最短问题。2．在运用勾股定理解决问题中，进一步感受数学的“建模”思想3．进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值。教学重难点重点：在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“建模”思想，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值．难点：勾股定理的实际运用；数学“建模”思想渗透。教学法教具教学过程教师活动内容学生活动内容一、创设问题情境，提出问题思考ABABCEFGD已知桥面以上索塔AB的高，怎样计算AC、AD、AE、AF、AG的长．二、例题探究例1九章算术中的“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？AOAOBX(10－X)3教师活动内容学生活动内容解：如图，我们用线段OA和线段AB来表示竹子，其中线段AB表示竹子折断部分，用线段OB来表示竹梢触地处离竹根的距离．设OA＝x，则AB＝10－x．∵∠AOB＝90°，练习“引葭赴岸”是《九章算术》中另一道题“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？例2如图，在△ABC中，AB＝26，BC＝20，BC边上的中线AD＝24，求AC.三、当堂训练1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，求△ABC的面积．ACA