第九章第二节控制系统状态空间表达式的解

2023/4/12第二章控制系统状态空间表达式的解

在讨论了状态方程的描述、标准形和模型转换后，本章将讨论线性多变量系统的运动分析，即线性状态方程的求解。对于线性定常系统，为保证状态方程解的存在性和唯一性，系统矩阵A和输入矩阵B中各元必须有界。一般来说，在实际工程中，这个条件是一定满足的。

2.1引言

2.2线性定常齐次状态方程的解（自由解）

2.3矩阵指数函数－状态转移矩阵

2.4线性定常系统非齐次方程的解本章小结

2023/4/122.1引言

运动分析的目的：是要提示系统状态的运动规律和基本特性。运动分析分为：定量分析：对系统的运动规律进行精确研究，即定量地确定系统由外部激励作用所引起的响应。定性分析：着重对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的几个关键性质，如能控性、能观测性和稳定性等进行定性研究。运动分析的数学实质就是从其数学模型出发，来定量地和精确地定出系统运动的变化规律，以便为系统的实际运动过程作出估计。2023/4/12线性定常系统的运动可分为：1、自由运动：线性定常系统在没有控制作用时，由初始条件引起的运动称自由运动。

状态方程：齐次方程2、强迫运动：线性定常系统在控制作用下的运动，称为强迫运动。

状态方程：非齐次方程x2023/4/122.2线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解又称为自由解、零输入响应，或者是自由运动、自治运动。状态方程：若给定初始时刻时的状态向量值：则任意时刻的状态即可确定：此即齐次状态方程的解。若初始时刻则其解为：证明：与标量微分方程的求解类似，先假设齐次状态方程的解X（t）为t的向量幂级数形式，即：假设2023/4/12则：代入齐次状态方程得：两边比较系数，有：2023/4/12其中，把代入得：上式括号内是一个n×n矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为，即：于是，齐次状态方程的解可表示为：2023/4/122.3矩阵指数函数－状态转移矩阵一、状态转移矩阵齐次矩阵微分方程的自由解实际上反映了从初始状态到任意时刻的状态向量的一种变换关系，变换矩阵就是矩阵指数函数，它不是常量矩阵，而是时间的函数，这意味着随着时间的推移，状态向量将在状态空间中移动，所以也称为状态转移矩阵。通常记为，表示X（0）到X（t）的转移矩阵。这样，线性系统的自由解又可表示为因此，利用状态转移矩阵，可以从任意初始时刻的状态向量，求得任意时刻t的状态向量。2023/4/12状态转移矩阵的几何意义由图中3个式子也可以得到如下关系式或者：2023/4/12二、状态转移矩阵的性质1、组合性（分解性）2、3、可逆性2023/4/124、导数5、对于n×n方阵，当且仅当AB＝BA时，有三、几个特殊的矩阵指数函数1、若A为对角阵2023/4/122、若A能通过非奇异变换对角化，即若有则3、若A为Jordan矩阵2023/4/12【例2－1】2023/4/124、若四、的计算1、根据定义直接计算【例2－2】已知系统矩阵求2023/4/12解：此法步骤简单，适合用计算机计算，但无法得到解析解。2、标准型法（a）A的特征值互异（对角线标准型）2023/4/12【例2－3】已知系统矩阵试求解：（1）求A的特征值特征值互异（2）求A的变换矩阵2023/4/12（3）求（b）A有重特征值2023/4/12当A同时具有重特征值和互异特征值时，可根据（a）（b）原则求出【例2－4】已知求解：（1）求特征值（2）选定非奇异变换阵2023/4/12（3）求2023/4/123、拉氏变换法证明：由齐次微分方程：两边取拉氏变换得：再取拉氏反变换得：又：故：2023/4/12【例2－5】已知试用拉氏变换法求解：2023/4/12对上式取拉氏反变换即得：4、待定系数法（凯莱－哈密尔顿定理法）（1）凯莱－哈密尔顿定理方阵A满足其自身的特征方程。若A阵的特征方程为：则有：由凯莱－哈密尔顿定理可以得到：同理：2023/4/12以此类推都可以用表示（2）这样就可以在的定义式中消去A的n及n以上的幂次项。比如：其特征方程为：2023/4/12根据凯莱－哈密尔顿定理有：2023/4/12（3）待定系数的计算(I)A的特征值同样满足:所以,可以将n个特征值带入上式,组成方程组:联立求得系数2023/4/12（II）A的特征值互异时（II）A的特征值有重根，均为时。2023/4/122023/4/12【例2－6】已知，用待定系数法求解：特征值：2023/4/12【例2-7】，求解：（1）求A的特征值2023/4/12（2）求待定系数（3）求2023/4/122023/4/12【例2-8】求解：（1）求特征值（2）求待定系数2023/4/12（3）求2023/4/122.4线性定常系统非齐次方程的解一、零状态响应给定初始状态为零的线性定常系统的强迫方程：由上述（1）式所描述的线性定常系统的零状态响应表达式为：证明：将（1）式写成两边同时左乘2023/4/12考虑到：对上式两边从0到t积分，得到：又X（0）＝0，2023/4/12【例2-9】给定线性定常系统为：其中，为单位阶跃输入解：（1）求

2023/4/122023/4/12二、同时考虑初始状态x0，外输入作用u的的线性定常系统状态运动规律。状态方程为：其解为：零输入响应（自由运动）零状态响应（强制运动）2023/4/12【例2-10】系统状态方程为：求解方程。解：由上例知2023/4/122023/4/12三、由状态转移矩阵求系统矩阵A1、问题：已知状态转移矩阵，确定系数矩阵A。2、方法：

1）证：

2）证：2023/4/123）3、举例：【例2-11】已知系统的状态转移矩阵为试求系统矩阵A。2023/4/12解：法一：2023/4/12法二：2023/4/12法三：2023/4/12本章小结

在这一章里主要阐述了两个方面的内容：一、线性连续系统的运动分析（一）线性定常系统运动分析

1运动的分类自由运动强迫运动2运动解的形式自由运动的解：其中为状态转换矩阵。强迫运动的解：2023/4/12