1991年全国统一高考数学试卷(理科)

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1991年全国统一高考数学试卷（理科）

一、选择题（共15小题，每题3分，总分值45分）

1．（3分）已知sinα=，并且α是其次象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．

2．（3分）2、焦点在（﹣1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是（）

A．y2=8（x+1）

B．y2=﹣8（x+1）

C．y2=8（x﹣1）

D．y2=﹣8（x﹣1）

3．（3分）（2023?北京模拟）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（）

A．

B．π

C．2π

D．4π

4．（3分）4、假使把两条异面直线看成“一对〞，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（）A．12对B．24对C．36对D．48对

5．（3分）（2023?广东模拟）函数y=sin（2x+

）的图象的一条对称轴的方程是（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=

6．（3分）6、假使三棱锥S﹣ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的（）

A．垂心

B．重心

C．外心

D．内心

7．（3分）已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（）

A．5

B．10

C．15

D．20

8．（3分）8、假使圆锥曲线的极坐标方程为ρ=，那么它的焦点的极坐标为（）

A．（0，0），（6，π）

B．（﹣3，0），（3，0）

C．（0，0），（3，0）

D．（0，0），（6，

0）

9．（3分）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）

A．140种

B．84种

C．70种

D．35种

10．（3分）假使AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）

A．第一象限

B．其次象限

C．第三象限

D．第四象限

11．（3分）11、设甲、乙、丙是三个命题．假使甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（）

A．

丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．

丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．

丙是甲的充要条件

D．

丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

12．（3分）[n（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）]等于（）A．0B．1C．2D．3

13．（3分）假使奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）

A．增函数且最小值为﹣5

B．增

函数且最大

值为﹣5

C．减函数且最小值为﹣5

D．减函数且最大

值为﹣5

14．（3分）圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

15．（3分）15、设全集为R，f（x）=sinx，g（x）=cosx，M={x|f（x）≠0}，N={x|g（x）≠0}，那么集合

{x|f（x）g（x

）=0}等于（）

A．

B．

C．

D．

二、填空题（共5小题，每题3分，总分值15分）

16．（3分）arctg+arctg的值是_________．

17．（3分）不等式的解集是

_________．

18．（3分）已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45，那么这个正三棱台的体积等于_________

．

19．（3分）（ax+1）7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项．若实数a＞1，那么a=_________．

20．（3分）空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是_________．

三、解答题（共6小题，总分值60分）

21．（8分）求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出访函数y取最小值的x的集合．

22．（8分）已知复数z=1+i，求复数的模和辐角的主值．

23．（10分）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2．求点B到平面EFG的距离．

24．（10分）根据函数单调性的定义，证明函数f（x）=﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．

25．（12分）已知n为自然数，实数a＞1，解关于x

的不等式

．

26．（12分）双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲

线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．

1991年全国统一高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共15小题，每题3分，总分值45分）

1．（3分）已知sinα=，并且α是其次象限的角，那么tanα的值等于（）

A．﹣B．﹣C．D．

考点：同角三角函数基本关系的运用．

分析：由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．

解答：解：∵sinα=且α是其次象限的角，

∴，

∴，

应选A

点评：把握同角三角函数的基本关系式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．此题是给值求值．

2．（3分）2、焦点在（﹣1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是（）

A．y2=8（x+1）B．y2=﹣8（x+1）C．y2=8（x﹣1）D．y2=﹣8（x﹣1）

考点：抛物线的标准方程．

专题：分析法．

分析：先根据定点坐标代入即可排除A，B，再由抛物线的开口方向可确定答案．

解答：解：根据题意顶点在（1，0），可知P=4，可排除A，B

又由于开口方向是向x轴的负半轴，排除C．

应选D．

点评：此题主要考察抛物线的标准方程．属基础题．

3．（3分）（2023?北京模拟）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（）

A．B．πC．2πD．4π

考点：同角三角函数基本关系的运用．

分析：观测题目条件，思路是降幂，先用平方差公式，再逆用二倍角公式，式子变为能判断周期等性质的形式，即y=Asin（ωx+φ）的形式．

解答：解：∵y=cos4x﹣sin4x

=cos2x﹣sin2x

=cos2x，

∴T=π，

应选B

点评：对于和式的整理，基本思路是降次、消项和逆用公式，此题就是逆用余弦的二倍角公式．另外还要注意切割化弦，变量代换和角度归一等方法．

4．（3分）4、假使把两条异面直线看成“一对〞，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（）

A．12对

B．24对

C．36对

D．48对

考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征．

分析：由异面直线定义入手，分类计数即可．

解答：解：易知六棱锥的六条侧棱都交于一点，底面六条边在同一平面内，

则六棱锥的每条侧棱和底面不与其相交的四条边都是异面直线，

所以六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有64=24对．

应选B．

点评：此题考察异面直线定义，同时考察分类计数原理及空间想象能力．

5．（3分）（2023?广东模拟）函数y=sin（2x+

）的图象的一条对称轴的方程是（）A．x=﹣

B．x=﹣

C．x=

D．x=

考点：

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．分析：

根据正弦函数一定在对称轴上去最值，然后将选项中的值代入进行验证即可．解答：解：由于当x=﹣时，sin[2（﹣）+]=sin（）=﹣1

应选A．点评：

此题主要考察正弦函数的对称性，即正余弦函数一定在对称轴上取得最值．

6．（3分）6、假使三棱锥S﹣ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的（）

A．垂心

B．重心

C．外心

D．内心

考点：棱锥的结构特征．

专题：证明题；综合题．

分析：顶点在底面上的射影，以及二面角，构成的三个三角形是全等三角形，推出垂足到三边距离相

等，可得结果．

解答：解：侧面与底面所成的二面角都相等，并且顶点在底面的射影在底面三角形内则底面三条高的

垂足、三棱锥的顶点和顶点在底面的射影这三者构成的3个三角形是全等三角形，所以顶点在

底面的射影终究面三边的距离相等，所以是内心．应选D．

点评：此题考察棱锥的结构特征，考察规律思维能力，是中档题．

7．（3分）已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（）

A．5

B．10

C．15

D．20

考点：等比数列．

分析：先由等比数列的性质求出a2?a4=a32，a4?a6=a52，再将a2a4+2a3a5+a4a6=25转化为（a3+a5）2=25

求解．

解答：解：由等比数列的性质得：a2?a4=a32，a4?a6=a52

∴a2a4+2a3a5+a4a6=25可化为

（a3+a5）2=25又∵an＞0

∴a3+a5=5

应选A

点评：此题主要考察等比数列性质和解方程．

8．（3分）8、假使圆锥曲线的极坐标方程为ρ=，那么它的焦点的极坐标为（）A．（0，0），（6，π）B．（﹣3，0），（3，0）C．（0，0），（3，0）D．（0，0），（6，

0）

考点：简单曲线的极坐标方程．

专题：计算题．

分析：利用圆锥曲线统一的极坐标方程，求出圆锥曲线的焦距，从而确定焦点的极坐

标．

解答：解：将原极坐标方程为ρ=，化成：

极坐标方程为ρ=，

对照圆锥曲线统一的极坐标方程

得：

e=，a=5，b=4，c=3．∴它的焦点的极坐标为（0，0），（6，0）．应选D．点评：此题主要考察了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．

9．（3分）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）

A．140种

B．84种

C．70种

D．35种

考点：分步乘法计数原理．

分析：此题既有分类计数原理也有分步计数原理．

解答：解：甲型1台与乙型电视机2台共有4?C52=40；甲型2台与乙型电视机1台共有C42?5=30；不

同的取法共有70种

应选C

点评：注意分类计数原理和分步计数原理都存在时，一般先分类后分步．

10．（3分）假使AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）

A．第一象限

B．其次象限

C．第三象限

D．第四象限

考点：直线的一般式方程．

专题：计算题．

分析：先把Ax+By+C=0化为y=﹣，再由AC＜0，BC＜0得到﹣，﹣，数形结合即

可获取答案

解答：解：∵直线Ax+By+C=0可化为

，又AC＜0，BC＜0

∴AB＞0，∴

，

∴直线过一、二、四象限，不过第三象限．故答案选C．点评：

此题考察直线的一般式方程与直线的斜截式的互化，以及学生数形结合的能力，属简单题

11．（3分）11、设甲、乙、丙是三个命题．假使甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（）

A．

丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．

丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．

丙是甲的充要条件D．

丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

分析：搞明白甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，结合选项作答．解答：解：甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，

即甲?乙?丙并且乙不能推出丙，结合选项甲?丙，而且甲推不出丙，所以丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．

应选A

点评：甲?乙?丙并且乙不能推出丙，这种方法是解决三个以上命题好策略．

12．（3分）

[n（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）]等于（）A．

0B．1C．2D．3

考点：

极限及其运算．专题：

计算题．分析：通过观测n（1﹣）（1﹣）（1﹣）(1)

），先化简括号中的式子，再根据极限的定义

求极限．

解答：解：

[n（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）]=

[n…]==2．应选C．点评：

此题主要考察极限及其运算，较为简单．

13．（3分）假使奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）

A．增函数且最小值为﹣5

B．增函数且最大

值为﹣5

C．减函数且最小值为﹣5

D．减函数且最大

值为﹣5

考点：奇函数．

专题：压轴题．

分析：由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致及奇函数定义可选出正确答案．解答：解：由于奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，

所以f（x）在区间[﹣7，﹣3]上也是增函数，且奇函数f（x

）在区间[3，7]上有f（3）min=5，则f（x）在区间[﹣7，﹣3]上有f（﹣3）max=﹣f（3）=﹣5，应选B．点评：

此题考察奇函数的定义及在关于原点对称的区间上单调性的关系．14．（3分）圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

考点：直线与圆的位置关系．

专题：压轴题．

分析：先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和比较，可得结果．

解答：解：圆x2+2x+y2+4y﹣3=0的圆心（﹣1，﹣2），半径是2，圆心到直线x+y+1=0的距离是

，

故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为的共有3个．

故答案为：3．

点评：

此题考察直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考察数形结合的思想，是中档题．

15．（3分）15、设全集为R，f（x）=sinx，g（x）=cosx，M={x|f（x）≠0}，N={x|g（x）≠0}，那么集合

{x|f（x）g（x）=0}等于（）

A．

B．

C．

D．

考点：交、并、补集的混合运算．

专题：压轴题．

分析：由f（x）g（x）=0可知f（x）=0或g（x）=0，所以{x|f（x）g（x）=0}={x|f（x）=0}∪{x|g

（x）=0}．

而{x|f（x）=0}与M互为补集关系，则可选出答案．注意区分“或〞与“且〞．

解答：解：{x|f（x）g（x）=0}={x|f（x）=0或g（x）=0}={x|f（x）=0}∪{x|g（x）=0}，

应选D

点评：此题考察集合的基本运算，较简单．注意区分“或〞与“且〞的含义．

二、填空题（共5小题，每题3分，总分值15分）

16．（3分）arctg+arctg的值是

．

考点：

反三角函数的运用．专题：

计算题．分析：

设出表达式为α，然后两边取正切，利用两角和的正切公式求解即可．解答：解：设arctg+arctg=α

所以tanα=tan（arctg+arctg）=

=

所以α=

故答案为．点评：

此题考察反三角函数的运用，两角和的正切公式，考察计算能力，是基础题．

17．（3分）不等式

的解集是{x|﹣2＜x＜1}．

考点：一元二次不等式的解法；指数函数的单调性与特别点．

专题：计算题．

分析：把不等式右边的“1〞变为60，然后根据指数函数的增减性得到关于x的一元二次不等式，求出

解集即可．

解答：解：=60，由于底数6＞1，所以指数函数为增函数，则x2+x﹣2＜0即（x﹣1）（x+2）

＜0，所以或，解得﹣2＜x＜1，所以不等式的解集为{x|﹣2＜x＜1}

故答案为：{x|﹣2＜x＜1}点评：此题以指数函数为平台考察学生求一元二次不等式的解集，是一道基础题．此题的突破点是将

“1〞变为60．

18．（3分）已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45，那么这个正三棱台的体积等于

．

考点：

棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：

计算题；综合题．分析：

作出三棱台的高，上下底面顶点终究面中心的距离的差，以及侧棱的长，满足勾股定理，求出三棱台的高，利用公式求其体积．解答：解：由于正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，

所以上底面顶点到上底面中心的距离是：

下底面顶点到下底面中心的距离是：

侧棱与底面所成的角是45，所以正三棱台的高是：

正三棱台的体积是：

=

故答案为：

点评：此题考察棱台的体积，考察学生空间想象能力，计算能力，是基础题．

19．（3

分）（ax+1）7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项．若实数a＞1，那么a=1+

．

考点：

基本不等式；二项式定理．专题：

计算题；压轴题．分析：

先写出二项展开式的通项公式，利用通项公式分别写出x3、x2、x4的系数，再用等差中项的概念列出方程，解方程即可．解答：解：Tk+1=C7K（ax）7﹣k=C7ka7﹣kx7﹣k，

故x3、x2、x4的系数分别为C74a3，C75a2和C73a4，

由题意2C74a3=C75a2+C73a4

解得：a=1+

故答案为：1+

点评：此题考察二项式定理的通项公式的应用、二项式系数问题、等差中项的概念及组合数的运算等

知识，属基此题型的考察．

20．（3分）空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是3πa2．

考点：球内接多面体．

专题：计算题；压轴题．分析：PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球

面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，求出对角线长，即可求出

球的表面积．

解答：解：空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，则

PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球

面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，长为，所以这个球面

的面积

．故答案为：3πa2点评：此题是基础题，考察球的内接体知识，球的表面积的求法，考察空间想象能力，计算能力，分

析出，正方体的对角线就是球的直径是解好此题的关键所在．

三、解答题（共6小题，总分值60分）

21．（8分）求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出访函数y取最小值的x的集合．

考点：三角函数的最值．

专题：计算题．

分析：把函数关系式利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦、余弦函数公式化简后，提取

然后根据两角和的正弦函数公式的逆运算及特别角的三角函数值把y化为一个角的三角函数，

利用正弦函数的图象得到y的最小值及y取最小值时x的范围．

解答：解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x

=（sin2x+cos2x）+2sinxcosx+2cos2x

=1+sin2x+（1+cos2x）

=2+sin2x+cos2x

=2+sin

（2x+）．

当sin（2x+）=﹣1时，y取得最小值2﹣当且仅当2x+=2kπ﹣即x=kπ﹣π时取最小，

取最小值的x的集合为{x|x=kπ﹣π，k∈Z}．

点评：

考察学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、二倍角的余弦函数公式及两角和的正弦函数公式化简求值，会根据正弦函数的图象得到正弦函数的最值及取最值时角度的范围．

22．（8分）已知复数z=1+i，求复数

的模和辐角的主值．

考点：

复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：

计算题．分析：

利用复数的运算法则化简复数，据复数模的公式求出复数模，判断复数所在象限及辐角的正切值，求出辐角的主值．

解答：

解：

===1﹣i．

1﹣i的模r==．

由于1﹣i对应的点在第四象限且辐角的正切tanθ=﹣1，

所以辐角的主值θ=π．

点评：此题考察复数的运算法则，复数的模及辐角主值的求法．

23．（10分）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2．求点B到平面EFG的距离．

考点：

点、线、面间的距离计算．专题：

计算题．分析：

求点B到面GEF的距离，就是求C到平面EFG距离的，直接作垂线求解即可．解答：解：如图，连接EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O．由于ABCD是正方

形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点．

BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，

与题设矛盾．

由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面

EFG的距离．

∵BD⊥AC，

∴EF⊥HC．

∵GC⊥平面ABCD，

∴EF⊥GC，

∴EF⊥平面HCG．

∴平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线．

作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就

是点B到平面EFG的距离．

∵正方形ABCD的边长为4，GC=2，

∴AC=4，HO=，HC=3．

∴在Rt△HCG中，HG=．

由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．

∴OK=．

即点B到平面EFG的距离为．

点评：本小题主要考察直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、点到平面的距离等有关知识，考察学生的空间想象能力和思维能力，属于中档题．解决此类问题应当注意从三维空间向二维

平面的转化，从而找到解题的捷径．

24．（10分）根据函数单调性的定义，证明函数f（x）=﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．

考点：函数单调性的判断与证明．

专题：证明题．

分析：利用原始的定义进行证明，在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2，只要证f（x2）＜f（x1）就可以可，把x1和x2分别代入函数f（x）=﹣x3+1进行证明．

解答：证明：证法一：在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2

则f（x2）﹣f（x1）=x13﹣x23=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）

∵x1＜x2，

∴x1﹣x2＜0．

当x1x2＜0时，有x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2＞0；

当x1x2≥0时，有x12+x1x2+x22＞0；

∴f（x2）﹣f（x1）=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）＜0．

即f（x2）＜f（x1）

所以，函数f（x）=﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．

证法二：在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，

则f（x2）﹣f（x1）=x13﹣x23=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）．

∵x1＜x2，

∴x1﹣x2＜0．

∵x1，x2不同时为零，

∴x12+x22

＞0．

又∵x12+x22＞（x12+x22）≥|x1x2|≥﹣x1x2

∴x12+x1x2+x22＞0，

∴f（x2）﹣f（x1）=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）＜0．即f（x2）＜f（x1）．

所以，函数f（x）=﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．

点评：

此题主要考察函数的单调性，解题的关键是利用原始定义进行证明，是一道基础题．

25．（12分）已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式

．

考点：

对数的运算性质；换底公式的应用；其他不等式的解法．专题：

计算题；压轴题；分类探讨．分析：

利用对数换底公式，原不等式左端化简，对n是偶数，奇数分类解不等式，即可．解答：解：利用对数换底公式，原不等式左端化为

logax﹣4?+12?++