图形的位似(知识解读)

专题4.3图形的位似(知识解读)

【直击考A]

【老灯目标】

1.了解图形的位似，明确位似变换是特殊的相似变换；

2.能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；

【知汆点梳理】

考点1位似图形的概念

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样

的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

考点2位似图形的性质

(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

(2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

(3)位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

注意：

(1)位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未

必能构成位似图形.

(2)位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位

似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

考点3平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同

图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变,

即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的

考点4作位似图形的步骤

第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心;

第二步：作位似中心与各关键点连线；

第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；

第四步：顺次连接各对应点.

注意：

位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中

心不同的画法.

【考点1位似图形性质】

【典例1】（2022•重庆）如图，aABC与△£>£尸位似，点。是它们的位似中心，且相似比

为1：2,则△ABC与△OEF的周长之比是（）

【变式1-1]（2021秋•瑞安市期末）如图，△ABC与是位似图形，。为位似中心,

位似比为2：3.若A8=4,则。E的长为（）

E

A.6B.8C.9D.10

【变式1-2］（2022•重庆）如图，△4BC与△£）£尸位似，点。为位似中心，相似比为2：3.若

△A8C的周长为4,则的周长是（）

【典例2】（2021•江北区校级模拟）如图，△4BC与AA'B'C是位似图形，O是位似

中心，若△ABC与AA'B'C的面积之比为1：4,贝l］CO：C'0的值为（）

【变式2-2］（2021春•渝中区校级期末）如图，△ABC与△OEF是位似图形，且位似中心

【变式2-3］（2021春•沙坪坝区校级月考）如图，以点。为位似中心，将△ABC放大后得

到△A'8'C,已知08：OB'=2：3,则△ABC与△ABC的面积之比为（）

A

BfB、。

A.1：3B.1：9C.2：3D.4：9

【考点2位似图形的点坐标】

【典例3]（2022•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（2,0）,B（4,3）,

D（5,0）,△ABC与△OE尸位似，原点。是位似中心，则E点的坐标是（）

【变式3-1]（2022•揭阳四模）在平面直角坐标系中，已知点A（-4,2）,B（-6,-4）,

以原点。为位似中心，相似比为工，把△ABO缩小，则点B的对应点8'的坐标是（）

2

A.（-3,-2）B.（72,-8）

C.（-3,-2）或（3,2）D.（-12,-8）或（12,8）

【变式3-2]（2022•嘉兴二模）如图，在平面直角坐标系中，以P（0,-1）为位似中心,

在y轴右侧作△ABP放大2倍后的位似图形若点8的坐标为（-2,-4），则

点B的对应点C的坐标为（）

【考点3判定位似中心】

【典例4】（2022•竦州市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，ZVIBC与△OOE是位似

图形，则它们的位似中心的坐标是（)

【变式4-1］（2022•路南区一模）如图，正方形OEFG和正方形ABCO是位似图形，且点

【变式4-2］（2020秋•江阴市校级月考）如图，AOE尸是△4BC经过位似变换得到的，位

似中心是点0,请确定点。的位置，如果OC=3.6c/n,OF=2Acm,求它们的相似比.

【考点4位似图形的判定】

【典例5】（2019秋•唐山期末）如图，BD,4c相交于点尸，连接A3,BC,CD,DA,Z

DAP=NCBP.

(1)求证：△ADPsWCP；

(2)直接回答△4OP与△BCP是不是位似图形?

(3)若AB=8,CD=4,DP=3,求4P的长.

【变式5-1](2018秋•邵阳县期末)如图，如果AC〃BO,CE//DF,那么△ACE与△8DF

【变式5-2】如图，点A,。在NXOF的边OX上，点8,E在OY边上，射线OZ在/XOY

内，且点C,F在OZ上，AC//DF,BC//EF.旭=

DF7

(1)试说明aABC与AOE尸是位似图形；

(2)求△ABC与△£)£尸的位似比.

【考点5画位似图形放大后的的位似图形】

【典例6】(2019秋•锡山区期末)己知△48C三顶点的坐标分别为A(0,2)、B(3,3)、

C(2,I).

(1)画出△ABC；

(2)以B为位似中心，将AABC放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图

形△A1B。；

似比为上.

【变式6-2](2016春•威海期末)如图△ABC的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,3),

C(3,0).

(1)以点O为位似中心画使它与AABC位似，且相似比为2.

(2)在(1)的条件下，若M(a,h)为△ABC边上的任意一点，则△OEF的边上与点

【变式6-3](2022•马鞍山二模)如图11义7的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位

长度，点A、B、C都在格点上(两条网格线的交点叫格点)

(1)在线段8c下方用无刻度直尺作出一点O,使得OA=OC

(2)以。为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得对应△A5C,请在网格中作出

△A'8'C.

【考点6平移、轴对称、旋转和位似】

【典例7】(2022•雨山区二模)如图，在边长为1的正方形网格中，△ABO的顶点均在格

点上，点4,8的坐标分别是A(2,2),8(1,3),把△ABO绕点。逆时针旋转90°

后得到△A181O.

(1)画出△48i。，直接写出点Ai，BI的坐标；

(2)计算在旋转过程中，△AB。所扫过的面积.

(3)以原点。为位似中心，位似比为2,在第三象限画出△ABO放大后的△出历。

【变式7-1](2022•安徽三模)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的

顶点均在格点(网格线的交点)上.

(1)将△ABC向右平移2个单位得到△A18C1,画出AAi81cl.

(2)将△ABC以点C为位似中心放大2倍得到282c2,在网格中画出△AB2c2.

【变式7-2](2022•广西模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-2,-5),B(-

3,-1)、C(-5,-4).

(1)画出将△ABC向上平移6个单位长度后对应的△A131G；

(2)以点0为位似中心,工为位似比，在第一象限内，画出AABC的位似图形△4282C2；

2

(3)点M是BC的中点，请直接写出点"分别在△ABiCi和282c2中的对应点M

和M2的坐标.

【变式7-3](2022•宾阳县二模)如图，在直角坐标系中，已知AABC三个顶点的坐标分

别为A(3,3),8(4,0),C(0,2).

(1)请画出与△ABC关于x轴对称的△4B1C1.

(2)以点。为位似中心，将△A3C缩小为原来的』，得到232c2,请在y轴的右侧

2

画出Z\A282c2.

(3)在y轴上存在点P,使得△OAi尸的面积为6,请直接写出满足条件的点尸的坐标.

专题4.3图形的位似(知识解读)

【直击考点】

【皆引目标】

1.了解图形的位似，明确位似变换是特殊的相似变换；

2.能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；

【知但鱼梳理】

考点1位似图形的概念

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样

的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

考点2位似图形的性质

(2)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

(2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

(3)位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

注意：

(1)位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未

必能构成位似图形.

(2)位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位

似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

考点3平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同

图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变,

即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的

考点4作位似图形的步骤

第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心;

第二步：作位似中心与各关键点连线；

第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；

第四步：顺次连接各对应点.

注意：

位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中

心不同的画法.

C

<\

日二、、、、、f、、、B1

BB

(1)(2)

：--------------------BAA，0B，BA(A,)B'B

(3)(4)(5)

LAMf】

【考点i位似图形性质】

【典例1】(2022•重庆)如图，△ABC与△OEF位似,点。是它们的位似中心，且相似比

为1：2,则△ABC与△OEF的周长之比是()

A.1：2B.1：4C.1：3D.1：9

【答案】A

【解答】解：与△£)£：尸位似,点。是它们的位似中心，且相似比为1：2,

.♦.△ABC与/XOEF的周长之比是1：2,

故选:A.

【变式1-1]（2021秋•瑞安市期末）如图，△ABC与△£>《/是位似图形，O为位似中心,

位似比为2：3.若AB=4,则OE的长为（）

A.6B.8C.9D.10

【答案】A

【解答】解：••.△ABC与AOEF是位似图形，位似比为2：3,

：.Afi：DE=2：3.

'：AB=4,

:.DE=6.

故选：A.

【变式1-2]（2022•重庆）如图,ZXA3C与△DEF位似,点。为位似中心，相似比为2：3.若

△A8C的周长为4,则△ZJEF的周长是（）

【答案】B

【解答】解：'.,△ABC与△£>£：/位似，相似比为2：3.

CAABC：CADEF=2：3,

的周长为4,

二△£>£■/*'的周长是6,

故选：B.

【典例2】（2021•江北区校级模拟）如图，△ABC与aA'B'C是位似图形，O是位似

中心，若△ABC与AA'B1C的面积之比为1：4,贝ICO：CO的值为（)

B

【答案】A

【解答】解：如图，AABC与B'C是位似图形，。是位似中心，若△ABC与△4'

B'C'的面积之比为1：4,则△A8C与△/!'B'C'的相似比为1：2.

「△ABC与B'C是位似图形，

:.丛BCOs丛B'CO'.

：.C0-.CO=BC：B'C'=1：2.

故选：A.

【变式2-2］（2021春•渝中区校级期末）如图，△ABC与是位似图形，且位似中心

为O,OB：OE=2：3,若△ABC的面积为4,则△OEF的面积为（）

A.2B.6C.8D.9

【答案】D

【解答】解：:△ABC与△£>£：/是位似图形，且位似中心为O,OB：0E=2：3,

：.AB：DE=OB：0E=2：3,

,:△ABC-XDEF、

S

.AABC_(AB)2=(_2)2=生

^ADEFDE39

=

SAD£F=_5Z\ABC=—X49.

44

故选：D.

【变式2-3](2021春•沙坪坝区校级月考)如图，以点。为位似中心，将△48C放大后得

【答案】D

【解答】解：由位似变换的性质可知，A'B'//AB,A'C//AC,

..0A'=0B'=3

OAOB~2

.A'C'=0A'=3

ACOA~2'

.♦.△AB'C与△ABC的相似比为3：2.

.,.△ABC与△A'B'C的面积之比为4：9.

故选：D.

【考点2位似图形的点坐标】

【典例3](2022•长沙模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知A(2,0),B(4,3),

D(5,0),△ABC与立似，原点O是位似中心，则E点的坐标是()

【答案】C

【解答】解：•••△A8C与AOEF位似，原点。是位似中心，

而A（2,0）,。（5,0）,

二AABC与△OEF的位似比为2,

5

,:B（4,3）,

.♦.E点的坐标是为（4x8,3x5）,即（10,7.5）.

22

故选：C.

【变式3-1］（2022•揭阳四模）在平面直角坐标系中，已知点4（-4,2）,8（-6,-4）,

以原点。为位似中心，相似比为工，把△ABO缩小，则点8的对应点）的坐标是（）

2

A.（-3,-2）B.（-12,-8）

C.（-3,-2）或（3,2）D.（-12,-8）或（12,8）

【答案】C

【解答】解：•••以原点。为位似中心，相似比为工，把AABO缩小，点B的坐标为（-

2

6,-4）,

二点8的时应点8'的坐标为（-6X_1,-4X_1）或（6X工，4X_1）,即（-3,-2）

2222

或（3,2）,

故选：C

【变式3-2】（2022•嘉兴二模）如图，在平面直角坐标系中，以尸（0,-1）为位似中心,

在y轴右侧作△ABP放大2倍后的位似图形△OCP,若点B的坐标为（-2,-4）,则

点B的对应点C的坐标为（）

ycD

A.(4,5)(4,6)C.(2,4)D.(2,6)

【答案】A

【解答】解：以点户为坐标原点，原），轴为），轴建立新的平面直角坐标系,

则点B在新坐标系中的坐标为（-2,-3）,

,//XABP与△DCP的位似比为1：2,

.•.点C在新坐标系中的坐标为(4,6),

则点C在原坐标系中的坐标为(4,5),

故选:A.

【考点3判定位似中心】

[典例4]（2022•竦州市模拟）如图,在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△OOE是位似

()

C.(4,2)D.(3,4)

【答案】C

【解答】解：连接并延长交于点P,

则点P为位似中心,

山平面直角坐标系可知，点P的坐标为（4,2）,

故选：C.

【变式4-1］（2022•路南区一模）如图，正方形OEFG和正方形A8C。是位似图形，且点

【答案】A

【解答】解：•••点/与点C是一对对应点，可知两个位似图形在位似中心同旁，位似中

心就是C尸与x轴的交点，

设直线GD解析式为y=kx+b,

将。（2,2）,G（0,1）,代入，

得［2k+b=2,4

Ib=l

解得『2，

b=l___

即y=JLx+l,

,2

令y=0得工=-2,

：.0’坐标是（-2,0）；

故选:A.

【变式4-2］（2020秋•江阴市校级月考）如图，△£＞四是△A8C经过位似变换得到的，位

似中心是点。，请确定点。的位置，如果OC=3.6cm,OF=2Acm,求它们的相似比.

【解答】解：连接A，C尸交于点

则点0即为所求;

•OC=3.6。%,OF=2.4。??，

AOC：OF=3：2,

【考点4位似图形的判定】

【典例5】(2019秋•唐山期末)如图，BD,4c相交于点尸，连接A3,BC,CD,DA,Z

DAP=ZCBP.

(1)求证：△AOPS/^BCP；

(2)直接回答△49P与△BCP是不是位似图形?

(3)若A8=8,C£>=4,DP=3,求AP的长.

【解答】(1)证明：/D4P=/CBP,ZDPA^ZCPB,

二△ADPs/XBCP；

(2)解：△ADP与△8C。不是位似图形,

因为它们的对应点的连线不平行；

⑶解：'：^ADP^^BCP,

...星=里又NAPB=NDPC,

DPCP

/XAPBsADPC,

•AP-ABHnAP-8

PDCD34

解得，AP=6.

【变式5-1］（2018秋•邵阳县期末）如图，如果AC〃8。，CE//DF,那么△ACE与△8QF

是位似三角形吗？为什么？

【解答】解：/XACE与△BO尸是位似三角形,

理由：•:AC//BD,CE//DF,

.•.毁=叟OE=OCt

"OB0D'OF0D'

A0A0E,

"OB=OF'

又,:NAOE=NBOF,

:.△OAEs/\OBF,

:.NOAE=NOBF,

J.AE//BF,

又/XACE与ABDF对应点相交于点O,

：./\ACE与△BOF是位似三角形.

【变式5-2】如图，点A,。在/xoy的边ox上，点8,E在oy边上，射线oz在/xoy

内，且点C,尸在OZ上，AC//DF,HC//EF.里="

DF7

(1)试说明△A8C与△QEF是位似图形；

(2)求△ABC与△OE尸的位似比.

【解答】解:(I)'.'AC//DF,HC//EF,

：.ZDFO=ZACO,NOFE=NOCB,PA=OC=AC；殁=幽,

ODOFDFOFEF

：.ZDFE=ZACB,维_=段，

DFEF

二/\ABC与ADEF是位似图形;

(2):八钻。与△OEF是位似图形，柜

DF7

.♦.△ABC与△OE尸的位似比为：A.

7

【考点5画位似图形放大后的的位似图形】

【典例6】(2019秋•锡山区期末)已知△ABC三顶点的坐标分别为A(0,2)、B(3,3)、

C(2,1).

(1)画出△ABC；

(2)以B为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图

形△4BCi；

（3）写出点A的对应点Ai的坐标：

（2）把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形.

所画图形如下所示：

它的三个对应顶点的坐标分别是：（-3,1）、（3,3）、（1,-1）.

(3)利用(2)中图象，直接得出答案.

故答案为：(-3,1).

【变式6-1](2019秋•西城区期末)如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2,4),8

(-4,0),。(0,0)，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△AB。的相

似比为工

【解答】解：如图所示：B'。即为所求.

【变式6-2](2016春•威海期末)如图△ABC的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,3),

C(3,0).

(1)以点。为位似中心画使它与△ABC位似，且相似比为2.

(2)在(1)的条件下，若M(a,b)为aABC边上的任意一点，则△OE尸的边上与点

M对应的点M'的坐标为.

【解答】解：(1)如图，和△£>'E'F'为所作;

(2)点M对应的点M'的坐标为(2°,2b)或(-2a,-2/?).

故答案为(2a,2%)或(-2a,-2b).

【变式6-3](2022•马鞍山二模)如图11X7的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位

长度，点A、B、C都在格点上(两条网格线的交点叫格点)

(1)在线段8c下方用无刻度直尺作出一点。，使得OA=OC

(2)以。为位似中心，将aABC放大为原来的2倍，得对应△AEC,请在网格中作出

△A'B'C.

【解答】解：(1)如图，点。为所作;

【考点6平移、轴对称、旋转和位似】

【典例7】(2022•雨山区二模)如图，在边长为1的正方形网格中，△A80的顶点均在格

点上，点A,B的坐标分别是A(2,2),8(1,3),把△ABO绕点。逆时针旋转90°

后得到△AiBiO.

(1)画出△A1B1O,直接写出点4，Bi的坐标；

(2)计算在旋转过程中，△ABO所扫过的面积.

(3)以原点。为位似中心，位似比为2,在第三象限画出△AB。放大后的△A2&O.

【解答】解：(1)如图所示，△AiB。，即为所求；4,B\的坐标分别为(-2,2),

(-3,1)；

(2)05=(12+32=倔，AB=®,0A=2五,

.\OB2=OA2+AB2,

是直角三角形，

/•ZOAB=90°