统计重点难点复习

环球雅思学校学科教师辅导讲义

学员编号：年级：高一课时数：3

学员姓名：YYY辅导科目：数学学科教师：XX

授课类型T统计C压轴题的解法T逻辑推理能力

授课日期及时段

教学内容

教学目标

（1）了解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的方法，了解各种抽样方法的适用范围，能区分简单随机抽样、系统抽

样和分层抽样，会选择适当的方法进行抽样；

（2）通过实例了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自

的特点；会用样木的频率分布估计总体分布；

（3）会根据实际问题的需求，合理地选取样本，掌握从样本数据中提取基本的数字特征（平均数、标准差）的方法；

会计算样本数据平均数、标准差；能用样本数据平均数、标准差估计总体平均数和总体标准差；

©3min.

知识梳理

基础重现：

1.简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，适用于的情况.实施抽样的方法：.

2.系统抽样适用于的情况.系统抽样的步骤：•、利用随机的方式将总体中的个体编号；二、将总体的

编号分段，要确定分段间隔匕当N,（N为总体中的个体数，〃为样本容量）是整数时，；当N二不是整数时,

nn

通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数N'能被"整除，这时，；三、在第一段用简单随机抽样确定

起始个体编号I,再按事先确定的规则抽取样本.通常是将/加上间隔k得到第二个编号（/+々），将（/+A）加上k得到

第三个编号（/+2A）,这样继续下去，直到获取整个样本.

3.分层抽样适用于的情况.

4.平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对于平均数的波动程度，其计算公式为.有

时也用标准差的平方一一方差来代替标准差，两者实质上是一样的.

基础重现答案：1.总体中个体数较少、抽签法和随机数表法

2.总体中个体数较多、k=一、ku-

rin

3.总体中的个体差异比较明显

思维升华：

1.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的适用范围分别是什么？

2.样本数据的平均数和方差的计算公式分别是什么？

思维升华答案：1.简单随机抽样适用于总体中个体数较少的情况；系统抽样适用于总体中个体数较多的情况；分层抽

样适用于总体中的个体差异比较大的情况.

©5min.

「同步钠解

I9^啦

以下所有例题都采取讲练结合的方式，先让学生独立思考，之后再讲解、

总结.建议时间15-20分钟.

一、基础自测：

1.某学院的A,B,C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情

分组人数频率

况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的4专业有380

名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取一名学生.[60,70)100.1

答案：40.

2.（2010•徐州第三次调研）在某次数学小测验后，[70,80)300.3

老师统计了所任两个班级的数学成绩，并制成下面

的频率分布表，请你估计这两个班的本次数学测验的[80,90)400.4

平均分为.

答案：82[90,100]200.2

3.（2010•山东文数改编）在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：

90899095939493合计1001

去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为.

答案：922.8

4.（2009•山东卷理改编）某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的

产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98）,[98,

100）,[100,102）,[102,104）,[104,106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98

克并且小于104克的产品的个数是.

答窠：90.

解析：产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)又2

=0.300,所以样本容量为迎=120,则样本中净重大

0.3

于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120X

(0.100+0.150+0.125)X2=90

第4题图

5.某班通过一次射击测试，在甲、乙两名同学中选出一名同学代表班级参加校射击比赛.这两位同学在相同条件下

各射靶5次，所测得的成绩分别如下(单位：环)：

甲9.69.59.39.49.7

乙9.39.89.69.39.5

根据测试成绩，你认为应该由代表班级参赛.

答案：甲

解析*=[(9.6—9.5)，(9.5-9.5『+(9.3—9.5『+(9.4—9.5『+(9.7—9.5)[=0.02

5L-

=[[(9.3—9.5)2+(9.8—9.5『+(9.6—9.5)2+(9.3—9.5『+(9.5—9.5)2]=0.036

•••4＜磅，所以甲班成绩比较稳定.

经典例题

。题型一抽样方法

例1(2010•重庆高考题改编)某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人,

为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人，求样本容量.

分析：分层抽样的样本抽取方法利用层比来求每一层的数据.

解：山题可得单位青年职工有350人，抽取7人，设该样本容量为"，则有

350750

点评：分层抽样适用于总体中个体差异比较大的情况，每层抽取的个体数应有的关系式为：上=%，其中〃为

NN]

样本容量，N为总体个数，〃「是第i层抽取的个体数，%是总体中第i层的个体数.

变式训练：某政府机关有在职人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，职员20人.上级机关为

了了解政府机关机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请说明具体实施操作.

解析：因为机构改革关系到差异明显的三部分人的不同利益，故采用分层抽样比较好.

因为样本的容量与总体的个数比为1：5,所以各层抽取的个体数依次为日，个，费即2,14,4.

即从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从职员中抽取4人即可组成样本，再在每一层中采用简

单随机抽样法抽取到某一人即可.

。题型二总体分布与总体特征数的估计

例2为了了解中学生的身体以育情况，对某中学同年龄的60名女学生的身高进行了测量，结果如下(单位：cm)：

167154159166169159156166162158

159156166160164160157156157161

158158153158164158163158153157

162162159154165166157151146151

158160165158163163162161154165

162162159157159149164168159153

(1)列出样本的频率分布表；

(2)画出频率分布直方图：

(3)估计一下身高在160.5cm以上的同学所占的比例.

分析：本题考查利用频率分布表画频率分布直方图以及利用直方图解决概率问题，首先要统计其数据，再处理数

据.

232

解：(1)由题中的数据可知，最大值与最小值的差是169-146=23cm,若选取组距为3cm,由二=7—，可把整

33

个数据分为8组，为使某些数据落在某一具体组，可把第一组的的起点减少0.5cm,最后一组的终点增加0.5cm.

列频率分布表

分组频数频率

145.5〜148.510.017

148.5-151.530.050

151.5-154.560.100

154.5〜157.580.133

157.5〜160.5180.300

160.5〜163.5110.183

163.5〜166.5100.167

166.5〜169.530.050

合计601.000

(2)画频率分布直方图

频率

A---------

组距

(3)由样本频率分布表可知，身高在160.5以上的学生占---------xl00%=40%.

60

或由样本频率可知,占0.183+0.167+0.050=0.400=40%.

点评：用样本的频率分布估计总体分布，分以卜两种情况：(1)当总体中的个体取不同的值较少时，用频率分布

表列出几个不同数值的频率，再用相应的直方图的高来表示取各个值的频率.(2)当总体中的个体取不同的值较多时,

甚至无限多时，用频率分布表列出各个不同区间内取值的频率，用相应的直方图的面积来表示各个区间内取值的频率,

所有小矩形的面积之和等于I.当用频率分布苴方图表示各个区间内取值的频率时组距和组数的确定没有固定的标准,

组数力求适合.

变式训练：(2010北京理数)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布

直方图(如图).由图中数据可知“=.若要从身高在［120,130),［130,140),［140,150］三组内的学生中，

用分层抽样的方法选取18人参加项活动，则从身高在［140,150］内的学生中选取的人数应为.

。题型三统计的综合应用

例3：(2009•山东卷文)一汽车厂生产A.B.C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单

位：辆):

轿车A轿车B轿车C

舒适型100150Z

标准型300450600

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.

(1)求2的值；

(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成•个总体，从中任取2辆，求至少有1

辆舒适型轿车的概率；

(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下94,8.6,92,9.6,8.7,9.3,9.0,

8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

分析：(1)按照抽取的比例可计算出这个月的生产产量，进而求得z,(2)(3)都是占典概型的概率，只要分析

清各自的基本事件即可.

解：⑴设该厂本月生产轿车为n辆，山题意得，型=―--，所以n=2000.

n100+300

z=2000-100-300-150-450-600=400

(2)设所抽样本中有,〃辆舒适型轿车，因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量

为5的样本，所以勺400上=m"，解得机=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车，分

10005

别记作S1,S2；BB,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S|,BD,(S|,B2),(SI,B3)(S2,B1),

(S2.B2),(S2.B3),((SbS2),(Bi,B2),(B2,B3),(BJ上3)共10个，其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件:

(S|,B|),(S|,B2),(S1,B3)(S2B),&,B2),(S2,B3),((SI,S2),所以从中任取

7

2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为一.

10

-1

(3)样本的平均数为x=—(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9,

8

那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0这6个数，总的个数为8,所以

该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为-=0.75.

8

点评：本题为概率与统计的知识内容，涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率

问题.要读懂题意，分清类型,列出基本事件，查清个数.，利用公式解答.

变式训练：(2010•湖北文)为了了解•个小水库中养殖的鱼有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼,

称得每条鱼的质量(单位：千克)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图

所示)

(I)列出频率分布表；

(II)估计数据落在(1.15,1.30)中的概率为多少；

(III)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处

不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水

库中鱼的总条数.

解析：(I)根据频率分布直方图得频率分布表

分组频率

(1.00,1.05)0.05

(1.05,1.10)0.20

(1.10,1.15)0.28

(1.15,1.20)0.30

(1.20,1.25)0.15

(1.25,1.30)0.02

(II)估计数据落在(1.15,1.30)中的概率为0.30+0.15+0.02=0.47

(III)120X100=2000,所以该水库中鱼的总条数约为2000条.

6

冬史所列压轴题，

▲cN.L?«1•U

其实压轴题并没那么难！在中考压轴题的解法系列课程中，我们只需学习如下图所示的五种常见压轴题,

举一反三，就能基本掌握压轴题的解法!

f典例播漕

6.',

以下教法建议，请老师根据学生实际情况参考.不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的

策略，使学生在复杂的背景下自己发现、领悟.建议时间15分钟-20分钟.

1、将容量为〃的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第•组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：

4：1,且前三组数据的频数之和等于27,则〃等于.

答案：60解析：设第组至第六组数据的频率分别为2x,3x,4x,6x,4x,x,则

2x+3x+4x+6x+4x+x=l,解得尤=」-,所以前三组数据的频率分别是_2_J_

20而而'与'

故前三组数据的频数之和等于—+—+—=27,解得»=60

202020

2、（2010•江苏卷4）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，

从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度

是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间［5,40］中，其频

率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有一根在棉花纤维的

长度小于20mm.

答案：30解析：100X（0.001+0.001+0.004）X5=30

例题讲解完成以后，请学生练习下题.另外，本节课教案还附录了一道“选讲选练题”，供时间充裕时使用.建议

时间：10分钟.

1.一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25,则该组的频数为.

答案：5解析：该组的频数为：0.25X20=5

2.（2010•苏北四市二模）如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图，若去掉一个最高分和•个

79

最低分，则所剩余分数的方差为（茎表示十位数字，叶表示个位数字）844467

93

答案：L6解析：剩余分数的平均数为85,则方差为S2=J（I+I+I+I+4）=1.6

3.某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1,用分层抽样方法（每个分厂的

产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分

厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h,1020h,1032h,则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为

_______________h.

-980x1+1020x2+1032x1

答案：1013解析:X=--------------------=1013

4

4.某单位有技工18人,技术员12人行政人员6人，需要从中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样或分层抽样,

都不必剔除个体:如果样本容量增加为〃+1,则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，则n=.

答案：6.解析：总体个数为18+12+6=36,依题意知〃能整除36,且”+1整除35,所以〃=6或4又因为三种人数分别为

18,12,6时，也可采用分层抽样，故只能n=6.

5.某班有50名学生,需要从中选取7人，若采用系统抽样方法来选取,则每名学生能被选取的概率为_____.

答案：2•解析：因为50除以7余数为1,所以在采用系统抽样方法时必须先剔除一人,然后将49人随机分成7个组,

再从每个小组的7人中任选1人，一个人被剔除的概率为「不被剔除的概率为丝，过了剔除关后，•个人在小组被

5050

选中的概率为一1，故每名学生能被选取的概率为49上、1一二7一.或者根据每一个人被抽取的概率相等得每名学生能被

750750

_7

选取的概率为一.

50

6.（2010•盐城市二模）一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频

率分布直方图（如图所示）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，再从这10000人中用分层抽样

方法抽出100人作进一步调查，则在［2500,3500）（元/月）收入段应抽出人.

答案：40解析:在［2500,3500）（元/月）收入段的频率之和为（0.0005

+0.0003）X500=0.4,所以，应抽出0.4X100=40人

第6题

7.（2010•安徽文）某地有居民100000户，其中普通家庭99000户，高收入家庭1000户.从普通家庭中以简单

随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套

或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有

3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是,

答案：5.7%解析:该地拥有3套或3套以上住房的家庭可以估计有：99000x—+1000x—=5700户，所以所占

990100

比例的合理估计是57004-100000=5.7%.

8.某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为〃的样本.如果采用系统抽样法和

分层抽样法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则

样本容量n为.

答案：6解析总体容量为6+12+18=36.当样本容量是”时，山题意知，系统抽样的间隔为更，分层抽样的比例是匚，

n36

抽取工程师2X6=^（人），抽取技术人员匚X12='（人），抽取技工ZX18=2（人）.所以"应是6的倍数，36

366363362

的约数即"=6,12,18,36.

当样本容量为（n+D时，在总体中剔除1人后还剩35人，系统抽样的间隔为生，因为至必须是整数，所以n

n+\n4-1

只能取6,即样本容量为6.

9.某单位有老年人28人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的身体状况的某项指标需从他们中抽取一个容量为

36的样本，请问最适合的抽样方法是什么？如何做？

解析：从所提供的情况看,总体是由个体差异明显的三个部分组成,故采用

分层抽样，因为原有人数之和28+54+81=163,而甲班乙班

2854812754

36X---,36X---,36X---eZ,但36X---二6,36X----12,2o181

163163163163162

36X—=18eZ,故先从老年人中剔除一人，然后分层抽样.991°1703689

162

10.（2009•广东卷文）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高883216258

（单位:cm）,获得身高数据的茎叶图如图7.

159c

（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；

（2）计算甲班的样本方差；图7

(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于

173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率.

解析：(1)山茎叶图可知：甲班身高集中于160:179

之间，而乙班身高集中于170:180之间.因此乙班平

均身高高于甲班；

_158+162+163+168+168+170+171+179+179+182

(2)x=-----------------------------------------------------------------------=170

10

222

甲班的样本方差为"(158—ITO)?+(162—170『+(163-170)+(168-170)+(168-170)

+(170-170)2+(171-170)2+(179-170)2+(179-170)2+(182-170)2]=57

(3)设身高为176cm的同学被抽中的事件为A：

从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：(181,173)(181,176)

(181,178)(181,1