函数与导数 讲义（解析版）高三数学三轮复习【两年高考一年模拟】

高中数学三轮复习讲义——两年高考一年模拟函数与导数从近三年高考情况来看，本节内容是高考中的热点内容，常以基本初等函数为载体，与其他知识相结合进行考查，其中函数的奇偶性、单调性和值域(最值)问题依然是命题的重点.本节内容在高考中往往是以选择题、填空题的形式考查函数的基础知识和基本方法，与导数相结合以解答题的形式考查函数的性质，难点在于奇偶性与函数的周期性相结合。1．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数fx=x【答案】1【详解】因为fx=x因为fx为偶函数，故f时x3a⋅2故a=1，故答案为：12．（2021年全国新高考II卷数学试题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数fx①fx1x2=fx1【答案】fx=x【详解】取fx=xf'x=4x3f'x=4又f'−x=−4故答案为：fx=x3．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）若fx=lna+1【答案】

−12；

【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性若a=0，则f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称∴a≠0若奇函数的f(x)=ln|a+11−x|+b有意义，则∴x≠1且x≠1+1∵函数f(x)为奇函数，定义域关于原点对称，∴1+1a=−1由f(0)=0得，ln1∴b=ln2，故答案为：−12；[方法二]：函数的奇偶性求参f(x)=ln|a+f(−x)=ln|∵函数f(x)为奇函数∴f(x)+f(−x)=ln|∴ln|∴−2b=ln4．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（

）A．y=x2+2x+4C．y=2x+【答案】C【详解】对于A，y=x2+2x+4=x+12对于B，因为0<sinx≤1，y=sinx对于C，因为函数定义域为R，而2x>0，y=2x+22−x对于D，y=lnx+4lnx，函数定义域为0,1∪1,+∞，而ln故选：C．5．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）函数f(x)=|2x−1|−2ln【答案】1【详解】由题设知：f(x)=|2x−1|−2lnx定义域为∴当0<x≤12时，f(x)=1−2x−2ln当12<x≤1时，f(x)=2x−1−2lnx，有当x>1时，f(x)=2x−1−2lnx，有f'又f(x)在各分段的界点处连续，∴综上有：0<x≤1时，f(x)单调递减，x>1时，f(x)单调递增；∴f(x)≥f(1)=1故答案为：1.6．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）函数y=3x−3−xA． B．C． D．【答案】A【详解】令fx则f−x所以fx又当x∈0,π2时，3故选：A.7．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]的大致图像，则该函数是（

）A．y=−x3+3xx2+1 B．【答案】A【详解】设fx=x设ℎx=2xcosx所以ℎx设gx=2故选：A.8．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知a=log52，b=log8A．c<b<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c【答案】C【详解】a=log52<故选：C.9．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）已知9m=10,a=10A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a【答案】A【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由9m=10可得m=log910=lg10lg9又lg8lg10<lg8+所以b=8m−9<［方法二］：【最优解】（构造函数）由9m=10，可得根据a,b的形式构造函数f(x)=xm−x−1(x>1)令f'(x)=0，解得x0=mf(x)在(1,+∞)上单调递增，所以f(10)>f(8)，即又因为f(9)=9log9故选：A.10．（2022年全国新高考I卷数学试题）设a=0.1e0.1,b=A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b【答案】C【分析】构造函数f(x)=ln(1+x)−x，导数判断其单调性，由此确定【详解】方法一：构造法设f(x)=ln(1+x)−x(x>−1)，因为当x∈(−1,0)时，f'(x)>0，当x∈(0,+∞所以函数f(x)=ln(1+x)−x在(0,+∞所以f(19)<f(0)=0，所以ln109所以f(−110)<f(0)=0，所以ln910故a<b，设g(x)=xex+令ℎ(x)=ex(当0<x<2−1时，ℎ'当2−1<x<1时，ℎ'(x)>0又ℎ(0)=0，所以当0<x<2−1时，所以当0<x<2−1时，g'所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1故选：C.方法二：比较法解：a=0.1e0.1，b=0.1①lna−令f(x)=x+ln则f'(x)=1−1故f(x)在(0,0.1]上单调递减，可得f(0.1)<f(0)=0，即lna−lnb<0②a−c=0.1e令g(x)=xe则g'(x)=xe令k(x)=(1+x)(1−x)ex−1所以k(x)在(0,0.1]上单调递增，可得k(x)>k(0)>0，即g'(x)>0，所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0，即a−c>0，所以a>c.故c<a<b.11．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设a=2ln1.01，b=ln1.02，A．a<b<c B．b<c<a C．b<a<c D．c<a<b【答案】B【详解】[方法一]：a=2ln1.01=ln1.012=所以b<a；下面比较c与a,b的大小关系.记fx=2ln1+x−由于1+4x−所以当0<x<2时，1+4x−1+x2>0，即1+4x所以fx在0,2所以f0.01>f0=0，即令gx=ln1+2x−由于1+4x−1+2x2=−4x2所以g'x<0，即函数gx在[0，+∞)上单调递减，所以g0.01<g0综上，b<c<a，故选：B.[方法二]：令ff'x=f令gg'x=g综上，b<c<a，故选：B.12．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数fx的定义域为R，fx+2为偶函数，f2x+1A．f−12=0 B．f−1=0【答案】B【详解】因为函数fx+2为偶函数，则f2+x=f因为函数f2x+1为奇函数，则f1−2x=−f所以，fx+3=−fx+1故函数fx是以4因为函数Fx=f2x+1故f−1故选：B.13．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设fx是定义域为R的奇函数，且f1+x=f−x.若f−A．−53 B．−13 C．【答案】C【详解】由题意可得：f5而f2故f5故选：C.14．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数fx的定义域为R，fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，当x∈1,2时，f(x)=ax2+bA．−94 B．−32 C．【答案】D【详解】[方法一]：因为fx+1是奇函数，所以f因为fx+2是偶函数，所以f令x=1，由①得：f0=−f2因为f0+f3令x=0，由①得：f1=−f1思路一：从定义入手．ff−f所以f9[方法二]：因为fx+1是奇函数，所以f因为fx+2是偶函数，所以f令x=1，由①得：f0=−f2因为f0+f3令x=0，由①得：f1=−f1思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数fx的周期T=4所以f9故选：D．15．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=（A．−3 B．−2 C．0 D．1【答案】A【详解】[方法一]：赋值加性质因为fx+y+fx−y=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所以f0=2，令x=0可得，fy+f−y=2fy，即fy=f−y，所以函数fx为偶函数，令y=1得，fx+1+f一个周期内的f1所以k=122[方法二]：【最优解】构造特殊函数由fx+ycosx+y+cosx−y=2cosxcosy，可设f所以fxfx+y+fx−y=2cosπ3x+π3y+2cos由于22除以6余4，所以k=12216．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122fkA．−21 B．−22 C．−23 D．−24【答案】D【详解】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，所以g2−x因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+2)−f(x−2)=7，即g(x+2)=7+f(x−2)，因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，代入得f(x)+7+f(x−2)=5，即所以f3f4因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f0=1，所以因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+4)−f(x)=7，又因为f(x)+g(2−x)=5，联立得，g2−x所以y=g(x)的图像关于点3,6中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，所以g因为f(x)+g(x+2)=5，所以f1所以k=122故选：D17．（2022年全国新高考II卷数学试题）曲线y=ln【答案】

y=1e【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为x0,lnx0，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出解：因为y=ln当x>0时y=lnx，设切点为x0,lnx0又切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0当x<0时y=ln−x，设切点为x1,ln−x又切线过坐标原点，所以−ln−x1=1x1−x[方法二]：根据函数的对称性，数形结合当x>0时y=lnx，设切点为x0,lnx0又切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0因为y=ln所以当x<0时的切线，只需找到y=1ex18．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）若过点a,b可以作曲线y=ex的两条切线，则（A．eb<a C．0<a<eb 【答案】D解法二：画出曲线y=ex的图象，根据直观即可判定点(a,b)在曲线下方和【详解】在曲线y=ex上任取一点Pt,et所以，曲线y=ex在点P处的切线方程为y−e由题意可知，点a,b在直线y=etx+令ft=a+1−t当t<a时，f't>0当t>a时，f't<0所以，ft由题意可知，直线y=b与曲线y=ft的图象有两个交点，则b<f当t<a+1时，ft>0，当t>a+1时，ft由图可知，当0<b<ea时，直线y=b与曲线故选：D.解法二：画出函数曲线y=ex的图象如图所示，根据直观即可判定点(a,b)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知故选：D.19．（2022年全国新高考I卷数学试题）若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则【答案】−【详解】∵y=(x+a)ex，∴设切点为x0,y0,则切线方程为：y−x∵切线过原点，∴−x整理得：x0∵切线有两条，∴Δ=a2+4a>0,解得∴a的取值范围是−∞故答案为：−20．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设a≠0，若x=a为函数fx=ax−aA．a<b B．a>b C．ab<a2 【答案】D【详解】若a=b，则fx=ax−a∴f(x)有x=a和x=b两个不同零点，且在x=a左右附近是不变号，在x=b左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，∴在x=a左右附近都是小于零的.当a<0时，由x>b，fx≤0，画出由图可知b<a，a<0，故ab>a当a>0时，由x>b时，fx>0，画出由图可知b>a，a>0，故ab>a综上所述，ab>a故选：D21．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值−2，则A．−1 B．−12 C．1【答案】B【详解】因为函数fx定义域为0,+∞，所以依题可知，f1=−2，f'1=0，而f'x=ax−bx2，所以故选：B.22．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax−ex【答案】1【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为f'x=2lna⋅即方程lna⋅ax即函数y=lna⋅a因为x1,x所以函数fx在−∞,x1所以当时−∞,x1x2,+∞当x∈x1,x2时，fa>1，图象显然不符合题意，所以0<a<1．令gx=ln设过原点且与函数y=gx的图象相切的直线的切点为x则切线的斜率为g'x0则有−lna⋅ax0因为函数y=lna⋅a所以eln2a<e，解得1e综上所述，a的取值范围为1e[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导f'x因为x1,x所以函数fx在−∞,x1设函数gx=f若a>1，则'x在R上单调递增，此时若'x0−∞,x0上单调递减，在x0fx=2ax−e若0<a<1，则'x在R上单调递减，此时若'x0=0，则f'x在−∞,x0上单调递增，在x0,+∞上单调递减，令'x0=0，则ax0=e(23．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数f(x)=|ex−1|,x1<0,x2>0，函数f(x)的图象在点A(x1【答案】(0,1)【详解】由题意，f(x)=|ex−1|={所以点A(x1,1−ex所以−e所以AM:y−1+e所以|AM|=x同理|BN|=1+所以|AM||BN|故答案为：(0,1)24．（2022年全国新高考I卷数学试题）已知函数f(x)=x3−x+1A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线【答案】AC【详解】由题，f'x=3x2−1，令令f'(x)<0得所以f(x)在(−∞,−33)，(因f(−33)=1+23所以，函数fx在−当x≥33时，fx≥f3综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；令ℎ(x)=x3−x，该函数的定义域为R则ℎ(x)是奇函数，(0,0)是ℎ(x)的对称中心，将ℎ(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；令f'x=3x2当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x−1，当切点为(−1,1)时，切线方程为y=2x+3，故D错误.故选：AC.25．（2022年全国新高考I卷数学试题）已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x)，若fA．f(0)=0 B．g−12=0 C．【答案】BC【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于f(x)，因为f32−2x为偶函数，所以f32−2x=f32+2x即对于g(x)，因为g(2+x)为偶函数，g(2+x)=g(2−x)，g(4−x)=g(x)，所以g(x)关于x=2对称，由①求导，和g(x)=f'(x)，得f32−x'=f32+x'⇔−f'32−x若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知g(x)周期为2，关于x=2对称，故可设gx=cos故选：BC.26．（北京市2023届高三数学模拟试题）已知函数fx=log2x−A．−∞,1∪C．1,2 D．1,+【答案】B【详解】由题意，不等式f(x)<0，即log2等价于log2x<x−1令gx=log2x在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，可得不等式f(x)<0的解集为0,1∪故选：B27．（河南省开封高级中学2022-2023学年高三下学期核心模拟卷（中）理科数学（一）试题）若存在x∈1,+∞，使得关于x的不等式1+1xx+aA．2 B．1ln2 C．ln2−1【答案】D【详解】由1+1xx+a令1+1x=t,则x=1t−1则①可转化得1t−1因为lnt>0，因为存在x∈1,+∞，使得关于x的不等式所以存在t∈(1,2]，a≥1lnt令g(x)=∴g'(x)=−1x⋅令ℎ(x)=∴ℎ令φ(x)=2ln∴φ'(x)=所以φ(x)在(1,2]上单调递减，所以φ(x)<φ(1)=0，∴ℎ'(x)<0，所以ℎ(x)所以ℎ∴g(x)在(1,2]上单调递减，∴g(x)≥g(2)=1∴a≥1ln2−1故选：D28．（湖北省七市（州）2023届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题）已知m>0，n>0，直线y=1ex+m+1与曲线y=lnx−n+2A．16 B．12 C．8 D．4【答案】D【详解】对y=lnx−n+2求导得由y'=1x=1e所以1m当且仅当m=n=1故选：D．29．（宁夏银川市2023届高三教学质量检测数学（理）试题）已知函数f(x)的定义域为R，且f(1+x)+f(1−x)=2，f(2+x)=f(2−x)，f(x)在0,1单调递减，则不等式f(12x−1)<1在区间−8,8A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【详解】因为函数f(x)的定义域为R，且f(1+x)+f(1−x)=2，函数f(x)的图象关于1,1对称，且f1由f(2+x)=f(2−x)，可知函数f(x)的图象关于直线x=2对称，令f(1+x)+f(1−x)=2中x等价于x−1，则f(x)+f(2−x)=2，又因为f(2+x)=f(2−x)，所以f(x)+f(2+x)=2①，令x等价于x+2，则f(x+2)+f(4+x)=2②，则由②减①可得：f(x)=f(4+x)，所以函数f(x)的周期为4，由f(x)在0,1单调递减，且f(x)的图象关于1,1对称和直线x=2对称，可得f(x)在0,2单调递减，在2,4单调递增，由对称性可得f1令t=12x−1，因为x∈则不等式f(12x−1)<1即f(t)<1在区间−5,3所有整数解，因为f1=f3所以1<t<3或−3<t<−1，所以4<x<8或−4<x<0，整数解为5,6,7，−3,−2,−1，所以这些整数解之和为：5+6+7−3−2−1=12.故选：B.30．（山东省聊城市2023届高三下学期第一次模拟数学试题）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚．近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车和最终停止传统汽车销售的时间计划表，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．新能源汽车主要指电动力汽车，其能量来源于蓄电池．已知蓄电池的容量C（单位：A⋅h）、放电时间t（单位：h）、放电电流I（单位：A）三者之间满足关系C=Ilog1.52⋅t．假设某款电动汽车的蓄电池容量为3074A．60h B．45h C．30h【答案】C【详解】由C=Ilog322t，C=3074A∴t=307415log∴t=故选：C.31．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三第二次高考模拟数学试题）设fx是定义在R上的可导函数，fx的导函数为f'x，且A．f2023<f−2023C．f2023<f【答案】D【详解】由题设2f'(x)⋅f(x)>4x3所以g(x)在R上单调递增，则g(2023)>g(−2023)，即f2所以f2(2023)>f故选：D32．（河北省邯郸市2023届高三一模数学试题）已知函数fx−1为偶函数，且函数fx在−1,+∞上单调递增，则关于x的不等式fA．−∞,3 B．3,+∞ C．−【答案】A【详解】因为fx−1为偶函数，所以fx−1的图像关于y轴对称，则fx因为fx在−1,+∞上单调递增，所以fx因为f1−2x<f−7故选：A.33．（浙江省杭州市2023届高三下学期教学质量检测（二模）数学试题）已知函数f(x)（x∈R）是奇函数，fx+2=f−x且f1=2，A．f2023=2 B．f'x的周期是4 C．f【答案】BC【详解】因为函数f(x)是奇函数，f(x+2)=f(−x)，所以f(x+2)=f(−x)=−f(x)，所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即：f(x+4)=f(x)，故f(x)的周期为4，所以f'(x+4)=ff(2023)=f(4×505+3)=f(3)=f(−1)=−f(1)=−2，故A项错误；因为函数f(x)是奇函数，所以f(−x)=−f(x)，所以−f'(−x)=−所以f'因为f(x+2)=f(−x)，所以f'令x=−1，可得f'(1)=−f故选：BC.34．（四川省平昌中学2022-2023学年高一上学期第二次月考数学试题）已知函数y=fx的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有fa+b=faA．函数fx是R上的减函数 B．函数fC．若f−2=2，则|f(x)|<1的解集为(−1,1) D．函数f(x【答案】ABC【详解】设x1>x2，且x1而f(a+b)=f(a)+f(b)∴f(x1)−f(x2又当x>0时，f(x)<0恒成立，即f(x1−∴函数y=f(x)是R上的减函数，A正确；由f(a+b)=f(a)+f(b)，令a=b=0可得f(0)=f(0)+f(0)，解得f(0)=0，令a=x,b=−x可得f(x−x)=f(x)+f(−x)，即f(x)+f(−x)=f(0)，而f(0)=0，∴f(−x)=−f(x)，而函数y=f(x)的定义域为R，故函数y=f(x)是奇函数，B正确；令a=b=−1可得f(−2)=f(−1)+f(−1)=2，解得f(−1)=1，因为函数y=f(x)是奇函数，所以f(1)=−1，由|f(x)|<1，可得−1<f(x)<1，因为函数y=f(x)是R上的减函数，所以−1<x<1，C正确；令g(x)=f(x)+x因为g(x)−g(−x)=f(x)+x2−f(−x)−(−x)2故选：ABC.35．（山东省聊城市2023届高三下学期第一次模拟数学试题）已知奇函数fx的定义域为R，f2=2，对于任意的正数x1,x2，都有fA．fB．函数fx在−C．对于任意x<0都有fD．不等式lnfx【答案】ACD【详解】已知fx1x2=fx1令x1=2,x2=12奇函数fx的定义域为R,f−x=−fx，所以所以函数fx在−对于任意的正数x1,x对于任意x<0都有−x>0,f1=f−x又因为函数fx为奇函数，可得f对于任意的正数x1,xfx2−fx1=fx所以fx又因为x2>x1,x2x所以函数fx在0,+∞内是单调递增,又因为函数fx为奇函数，所以函数f不等式lnfx−2<0已知fx令,x1=2,x2=2,函数fx在0,+∞内是单调递增,所以已知fx1x2=f可得f14=f12又因为函数fx为奇函数，f−1又因为函数fx在−∞不等式lnfx−2故选:ACD.36．（安徽省蚌埠市2023届高三第三次教学质量检查考试数学试题）已知a>b>1，则下列结论正确的是（

）A．ea−b>ab B．lnaa【答案】AD【详解】令gx=exx,∴g'x由于a>b>1，故ga>gb，即e令fx=lnxx,f'x=1−lnxx2由于a,b+1的大小关系无法确定，故fa令ℎ(x)=ln(x+1)lnx(x>1)令s(x)=xlnx(x>1)，则∴s(x)在(1,+∞)上单调递增，∴ℎ'x=xln∵a>b>1，∴ℎ∴log构造函数px记qx=xlnx−x−1,∴q因此px>0，所以px在1,+∞单调递增，由于a>b>1，所以pa故选：AD37．（湖北省十一校2023届高三下学期第二次联考数学试题）已知函数fx=aeA．若fx在x=0处取得极值，则函数在0,+B．若fx≥0C．若fx仅有两个零点，则D．若fx仅有1个零点，则【答案】AB【详解】函数fx=ae对于A，f'(x)=aex−1x+2，因为ff'(x)=12ex−1x+2当−2<x<0时，f'(x)<0，当x>0时，f'(x)>0，因此x=0是函数f(x)的极小值点，且对于B，∀x>−2，f(x)≥0⇔a⇔ex+lna+x+于是g(x)=ex+x在R上单调递增，即有∀x>−2因此∀x>−2，x+ln令ℎ(x)=ln(x+2)−x,x>−2，求导得当x∈(−2,−1)时，ℎ'(x)>0，函数ℎ(x)单调递增，当x∈(−1,+∞)时，则当x=−1时，ℎ(x)max=ℎ(−1)=1，从而ln所以当f(x)≥0