数学高考模拟卷含答案

高考模拟测试数学试题

（满分：150分考试时间：120分钟）

一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1.已知集合4={+l<x<3},8={0,2,4},则AD8=.

2.已知i虚数单位，若复数z=i-（l+i）,贝1z[=.

（21in\fx=1

3.若线性方程组的增广矩阵为八，，其解为《.，则加+“=_____________.

（01n）[y=2

4.（2+x）4二项展开式中炉的系数为

5.若函数/（x）=log2（x+m）+2反函数的图像经过点（3,1）,贝ij〃3）=,

6.已知圆锥的底面半径为lc〃z,侧面积为24。加2,则母线与底面所成角的大小为.

7.已知实数八》满足》+2丁=3,则2，+4''的最小值为.

l,n=1

8.己知数列{%}的通项公式为Y，S.是数列{4}的前〃项和，则limS“=,

2

9.已知抛物线：/=2px（p>0）上一点/（1,m）到其焦点的距离为5,双曲线C：丁―斗=1（0>0）的左

顶点为A,若双曲线C的一条渐近线与直线A"垂直，则双曲线。的焦距为.

10.四名志愿者参加某博览会三天活动，若每人参加一天，每天至少有一人参加，其中志愿者甲第一天不

能参加，则不同的安排方法一共有种（结果用数值表示）

11.已知集合4=卜忖=2〃-1,〃6?4*},B={x|x=2",〃eN*},将AU8中的所有元素按从小到大的顺

序排列构成一个数列{%},设数列{%}的前〃项和为s“，则使得S“>1000成立的最小的〃的值为

12.已知平面向量£,石，£满足同=1,|4=2,a2=a-b^2^=b-c'贝।噂一a?+1小的最小值为

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.已知xeR,则“冈>1''是“》>1”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

14.下列命题中，正确的是()

A.三点确定一个平面

B.垂直于同一直线的两条直线平行

C.若直线/与平面a上的无数条直线都垂直，则

D.若。、b、c是三条直线，。〃匕且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上

15.已知函数/(x)=2sinqsinx+Gcosx)-l的定义域为[〃[,〃](〃?<〃)，值域为[-2,1],则〃一，〃的

值不可能为()

57r7t7"3兀

A.—B.—C.—D.—

122124

16.若存在实数。，使得当x40,%](m>0)时，都有|2工一1|+k2-444,则实数加的最大值为()

5

A.1BC.2D.

-l2

三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)

17.如图，直三棱柱中，AB1AC,AB=AC=A4,=2,点。是8C的中点.

(1)求三棱锥G-ACO的体积；

(2)求异面直线AC与G。所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)

18.在AABC中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,a=5,b=S

4

(1)若cosB=-§，求A和AABC外接圆半径R的值；

(2)若三角形的面积求c

19.某公司2021年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2022年起，在今后的若干年内，每年继

续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2021年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份

里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记2021年为第1年，/(")为第1年至此后第

年的累计利润(注：含第〃年，累计利润=累计收入-累计投入，单位：千万元)，且当/(〃)为正

值时，认为新产品赢利.

⑴试求/(〃)的表达式；

(2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由.

22

20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆二+二=1(">〃>0)的左、右顶点分别为A、B,右焦点

ab~

为F,且椭圆「过点(0,非)、(21)，过点尸的直线/与椭圆「交于尸、。两点(点P在x轴的上方).

(1)求椭圆「的标准方程；

(2)若际+2砺=6，求点尸的坐标；

(3)设直线AP、BQ的斜率分别为占、k2,是否存在常数2,使得匕+丸&2=0?若存在，请求出义的值；若

不存在，请说明理由.

21.已知函数>=/(力的定义域为区间Q,若对于给定的非零实数如存在%,使得/(/)=/(%+加)，

则称函数>=/(x)在区间D上具有性质P(m).

⑴判断函数/(x)=f在区间［―1,1］上是否具有性质并说明理由；

⑵若函数〃x)=sinx在区间(0,〃)(〃>0)上具有性质求〃取值范围；

⑶已知函数y=的图像是连续不断的曲线，且/(0)=/(2),求证：函数y=/(x)在区间［0,2］上

具有性质尸

答案与解析

一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)

1.已知集合4={%|-1<1<3},3={0,2,4},则AD8=.

［答案］{0,2}

［解析］

［分析］根据集合交集的定义计算.

［详解］由已知AcB={0,2}.

故答案为：{0,2}.

2.已知i是虚数单位，若复数z=i-(l+i),则回=.

［答案

［解析］

［分析］化简复数，再代入模长计算公式即可.

［详解］化简原式，得z=i-(i+i)=i+i2=-i+i,所以目=J(—ly+r=及.

故答案为：V2

(x-1

3.若线性方程组的增广矩阵为八，，其解为<则加+〃=.

(01n)［y=2

［答案J6

［解析］

分析］根据增广矩阵表示出线性方程组，代入解后求出加和〃，即可求解.

2x+y=m

［详解］根据题意，可知线性方程组为〈

y-n

x=12+2=m

因其解为〈c

卜=22=〃n=2

故m+〃=6.

故答案为：6.

4.(2+x)4的二项展开式中/的系数为

［答案］24

I解析］

［分析］根据二项式定理计算即可.

［详解懈：（2+x）4展开式通项公式为或+I=仁2j/,左=0,1,2,3,4,

故当攵=2时，（2+x）4的二项展开式中/的项为=《22*2,其系数为24.

故答案为：24

5.若函数/（x）=log2（x+m）+2的反函数的图像经过点（3,1）,贝ij.f（3）=一一.

［答案］4

［解析］

［分析］由题意可得/（1）=3,由此可求得实数阳的值，进而可得/（x）=log2（x+l）+2,即可得解.

［详解］由于函数〃x）=log2（x+〃?）+2的反函数的图象经过点（3,1）,

则/（l）=l°g2（l+m）+2=3,解得加=1,

二函数〃x）=log2（x+l）+2，

.\/（3）=log2（3+l）+2=4.

故答案为：4.

6.已知圆锥的底面半径为1cm,侧面积为2万cm?,则母线与底面所成角的大小为.

［答案号

［解析］

［分析］

由圆锥的底面半径为\cm和侧面积,求出圆锥的母线长，即可求得答案.

［详解］设底面半径为J母线M长为/，底面中心为0,

如图：

解得：/=2

r)A\

在心中,cos/SAO=w

71

/.ZSAO=-

3

jr

故母线与底面所成角的大小为:一.

3

故答案为:上7t.

3

［点睛］本题主要考查了求母线和底面夹角，解题关键是掌握圆锥的特征，考查了空间想象能力和计算能力，属

于基础题.

7.已知实数x、y满足x+2y=3,则2*+4'的最小值为.

［答案14夜

［解析］

［分析］利用基本不等式可得2"+4「>2"而，即求.

［详解］依题意2、+4,=2X+22y>2,2'.22y=212g=4夜，

当且仅当2*=22，，即x=2y=g时等号成立.

所以2*+4V的最小值为472■

故答案为：4a.

1,〃=

8.已知数列｛4｝的通项公式为4=］1jc，s”是数列｛%｝的前〃项和，则J吧s,=___________.

n>2

3

［答案］一##1.5

2

［解析］

［分析］先求数列｛4｝的前〃项和s“，当〃=1时，S|=l；当〃》2时，数列｛4｝为等比数列，根据等比数

列求和公式求解，然后求s“极限.

Ui-仕门fi，〃=i

［详解］当〃=1时，E=i；当〃22时，s,=

3

所以limS〃=lim

M->00”TOO2

3

故答案为：一

2

9.已知抛物线丁=2〃%（，＞0）上一点M（l,加）到其焦点的距离为5,双曲线C：5=1。＞0）的左

顶点为A,若双曲线C的一条渐近线与直线A"垂直，则双曲线。的焦距为.

［答案］6

［解析］

［分析］利用抛物线焦点弦公式求得P=8,从而得M的坐标，由题意得A的坐标，再计算直线40的斜率,

又因为双曲线渐近线方程y=±版，由两直线垂直列式求解6,从而得双曲线的焦距.

［详解］由抛物线定义可知，1+^=5,得。=8,所以抛物线方程为y2=i6x,则M（l,4）或〃（1,-4）,

4-0

设M（l,4）,由题意得A（—l,0）,则阳M=717=2,又因为双曲线渐近线方程为产士历:，因为双曲

线C的一条渐近线与直线40垂直，所以2x（—份=-1,得。=1，则。=犷/=］工=好，所

2V42

以双曲线的焦距为2c=石.

故答案为：石

10.四名志愿者参加某博览会三天的活动，若每人参加一天，每天至少有一人参加，其中志愿者甲第一天不

能参加，则不同的安排方法一共有种（结果用数值表示）

［答案］24

［解析］

［分析］由题意，先分组再分配，先将四名志愿者分为三组，然后按照特殊元素优先考虑再进行分配，从而求

解出不同安排方法种数.

C2cl

［详解］由题意，将四名志愿者先分为三组，有十一6种，因为志愿者甲第一天不能参加，所以有C；曷=4

A,

种分配方式，所以不同的安排方法一共有6x4=24种.

故答案为：24

11.已知集合人=卜卜=2〃-1,〃6河'｝,B=｛x|x=2",〃eN*｝,将AU8中的所有元素按从小到大的顺

序排列构成一个数列｛6,｝，设数列｛4｝的前"项和为s“，则使得s“>1000成立的最小的〃的值为

［答案］36

［解析］

［分析］由题可得2"为数列｛。"｝的2"-'+〃项，且利用分组求和可得S*+“=4"T+2"+,-2,通过计算即得.

［详解］由题意，对于数列｛4｝的项2"，其前面的项1，3,5,…，2"-1eA，共有2'”项，2,22,2，,…,2"eB,

共有〃项，所以2"为数列｛4｝的2"T+〃项，

且“=［（2xl_l）+（2x2—l）+…+（2X2"T_1）］+（2+22+・・・+2"）=4"T+2"M_2.

可算得26T+6=38（项），/8=64,$38=1150,

因为%7=63,tz36=61,a35=59,所以$37=1°86,S36=1023,S35=962,

因此所求〃的最小值为36.

故答案为：36.

12.已知平面向量b>"满足问=1，忖=2,a2=ab'2c=b~c'贝屋一:+L的最小值为

［答案七一6

2

［解析］

［分析］令砺=£，OB=b>OC=C'08的中点为。，AB的中点为E,。。的中点为凡［与分的夹角为

。，由题意，计算。=?,|福卜6,判断出点C的轨迹为以。。为直径的圆，利用向量基底表示，将

2（*彳+|］一仆2网+网）转化为2（『,一邛）=4同2+3,然后转化为圆上任意一点到

定点距离的最小值进而求解最小值.

［详解］令d=£，OB=b'OC=c>。8的中点为O,AB的中点为E,。。的中点为F,

£与5的夹角为。，连接CA、CB、C0、CO、EE由同=1,忖=2,/=£/，得1=lx2xcos。，cos6=；,

因为。w［0,乃］,所以。=《，在△Q48中，由余弦定理得|而|=G.

7-b

又由江=21,得。c—不=0,所以点c的轨迹为以on为直径的圆.

因为2（|£_£1+卜_@2）=2（|衣元］）=21］反+g而j+（反福J］、,屈通『

=4C£2+3>4^EF+3=7-26，

当且仅当点C、E、F共线，且点C在点E、F之间时，等号成立.

-_2__27I-

所以c-a+c-b的最小值为-s/3.

2

故答案为：—

2

［点睛］求解向量模的最值问题时，一般需要利用数形结合法，解答本题的关键是将求向量模长最值转化为圆

上任意一点到定点距离的最小值求解.

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.已知xeR,则“凶>1"是'”>1”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

［答案］B

［解析］

［分析］解不等式转化条件，结合充分必要性定义即可作出判断.

［详解］由N>1得x<-1或x>1,

.•.“国>1”是“x>1”的必要非充分条件.

故选：B.

14.下列命题中，正确的是()

A.三点确定一个平面

B.垂直于同一直线的两条直线平行

C.若直线/与平面。上的无数条直线都垂直，则

D.若a、b、c是三条直线，a〃人且与c都相交，则直线“、b、c在同一平面上

［答案］D

［解析］

［分析］利用空间点、线、面位置关系直接判断.

［详解］A.不共线三点确定一个平面，故A错误；

B.由墙角模型，显然B错误；

C.根据线面垂直的判定定理，若直线/与平面。内的两条相交直线垂直，则直线/与平面a垂直，若直线/与

平面e内的无数条平行直线垂直，则直线/与平面a不一定垂直，故C错误；

D.因为。///?,所以a、方确定唯一一个平面，又。与a、都相交，故直线a、b、c共面，故D正确；

故选：D.

15.已知函数/(x)=2sinMsinx+Gcosx)-1的定义域为［〃］,〃］(〃?<〃)，值域为,则〃-m的

值不可能为()

5万717万3兀

A.—B.—C.—D.—

122124

［答案］D

［解析］

［分析］化简函数解析式得小)=2呵2工一荒，根据其值域［—2,1］,可得2T=2版■+?,

77r7TTC

2k7v——<2m一一<2k7r——(ZeZ),求解出对应的范围，代入即可得〃一加的范围.

662

［详解］由/(x)=2sinX,inx+75cosx)-1化简得/(x)=2sin(2x-看).

因为其值域为［-2,1］,不妨设2〃-巳=2左乃+军,2k兀———<2m-—<2k,7f--(kGZ),

66662V7

即〃=ATT+巴，k7i-—<m<k7i-—(k&7j\,则得工4〃一?7?4目■.

626V'33

故选：D.

16.若存在实数。，使得当xw［O,m］(加>0)时，都有|2x—1|+,2-444,则实数加的最大值为()

35

A.1B.-C.2D.-

22

［答案］C

［解析］

［分析］由各选项知最大值加之1,

355

由|2x—l|V4,解得—/WxW］,这样必须有机4；,然后不等式变形为

x2-4+|2x-l|<iz<x2+4-|2x-1|,

记/(x)=d+4—|2x—1|,^(X)=X2-4+|2X-1|,分类讨论去年绝对值符号，可得“幻的最小值是3,

因此g(x)的最大值性质不大于3,才存在。保证不等式恒成立，由最大值g(根)43可得”的范围，得加的

最大值.

［详解］解：由各选项知最大值加之/,

355

因为|2%一1|44,解得一所以机4二.

不等式|2x-+k—-6f|<4可化为f_4+|2x-Wa«f+4-|2x_1|.

设/(X)=JT+4-|2x-l|,g(x)=j?-4+|2x-l|,

X2+2X+3|0<X<-|

>(的最小值为3,

因为/(x)=«

x2-2x+5(—<x<m

12

所以当xw［O,m］(加＞0)时，者B有g(x)W3.

若XG0,—,g(x)=x?-2x-3«-3；

若尤w,g(x)=d+2x-5W3,所以苏+2加一8W0，解得加W2.

综上，所求实数〃，的最大值为2.

故选：C.

三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)

17.如图，直三棱柱ABC—A4G中，ABYAC,A8=AC=A4,=2,点。是BC的中点.

(1)求三棱锥a-AC。的体积;

(2)求异面直线AC与G。所成角的大小・(结果用反三角函数值表示)

2

［答案］⑴5

(2)arccos—

6

［解析］

［分析］(D由题意先计算"8的面积，然后代入三棱锥体积公式计算即可；(2)由题意可判断直线4G与

所成的角就是异面直线AC与G。所成的角，分别计算G。、4。，利用余弦定理计算cosNAG。，

即可得答案.

［小问1详解］

由题意得

SZMCD=gxS%cABxAC)=gx(gx2x2)=l

112

所以三棱锥G-ACO的体积％“OMGXSAAOXCGM7XIXZM；；.

2

即所求G—ACO三棱锥的体积为y.

［小问2详解］

连接4。，由题意得BC=+402=20，AD=；BC=e,且AC〃4G，

所以直线4G与G。所成的角就是异面直线AC与C}D所成的角.

22

在AAG。中，AG=2,CQ=Jee；+CD?=卜+=EA］D=y］AA.+AD=>/6.

由余弦定理得cos/*Q=小龄铲L

因为,所以NAC|O=arccos^--

6

因此所求异面直线AC与G。所成角的大小为arccos逅.

6

18.在AABC中，内角A、B、C所对边的长分别为。、b、c,。=5,0=6.

4

⑴若cosB=-『求A和AABC外接圆半径R的值；

(2)若三角形的面积SA=里2，求a

△4

jr

［答案］(1)A=/，R=5；

6

(2)c=4或c=JI而.

［解析］

3

［分析］(1)由题可得sin6=w，利用正弦定理即求；

(2)利用三角形面积公式可得sinC=X7,再利用同角关系式及余弦定理即求.a

4

［小问1详解］

因为cosB=-：,则■，乃)，且sin8=Jl-cos?B

ab---=—=2R

由正弦定理，得二一=--=2R,即sinA3,

sinAsinn二

即sinA=',R=5,

2

因为QVZ?,所以

TT

因此A=—,R=5；

6

［小问2详解］

,1577

由&=彳必sin。得2sA4一币,

2sinc=----=---------=---

ab5x64

于是cosC-±Jl-sin?C=±3.

4

33

当cosC=一时，由余弦定理，f#c2=52+62-2x5x6x-=16.

44

当cosC=-q时,由余弦定理，^c2=52+62-2x5x6xf—^j=106.

所以，。=4或。=J106.

19.某公司2021年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2022年起，在今后的若干年内，每年继

续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2021年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份

里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记2021年为第1年，/(〃)为第1年至此后第

〃(〃wN*)年的累计利润(注：含第〃年，累计利润=累计收入-累计投入，单位：千万元)，且当/(〃)为正

值时，认为新产品赢利.

⑴试求/(〃)的表达式；

(2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由.

/cY

［答案］(1)/(“)=2］彳1-〃_5(〃eN*)

(2)该新产品将从2029年开始并持续赢利，理由见解析

［解析］

［分析］(1)由题意求出累计投入，可判断出每年的收入为等比数列，根据等比数列求和公式求解出累计收入,

从而表示出了(〃)；

⑵由⑴可得“〃+1)-/(〃)=平］-1,根据/(〃+1)-/(〃)的正负判断出/(〃)从第4项开始单调

2\4>

递增，再判断了(D,/(8),/(9)的正负，从而判断出该新产品将从第9年开始并持续赢利.

［小问1详解］

由题意知，第1年至此后第年的累计投入为4+(〃-1)=〃+3(千万元).

设第〃年的收入为4,前"年的累计收入为S“,

由题意得a“+i=a“x(l+25%)=，

所以数列｛4｝是以J为首项、以1为公比的一个等比数列，则有为=；(：)(千万元),

所以/(〃)=S”一(〃+3)=2-1—”—3,即/(n)=2-〃一5(千万元).

所以/(〃)的表达式为/(〃)=2-〃-5(〃GN)

［小问2详解］

"5丫

因为/(〃+1)_/(几)=不7一1’

所以当〃43时，〃〃+1)—4(〃)<0,即/(〃)单调递减,

当〃24时，/(/i+l)-/(n)>0,即/(〃)单调递增，

7，八8八、9

又/⑴=一万<0，〃8)=2。—8—5<0,49)=2-9-5>0,

所以该新产品将从第9年开始并持续赢利.

所以该新产品将从2029年开始并持续赢利.

［点睛］解答本题的关键是，能将实际问题转化为等比数列问题求解，求解第二问时，需要判断/(〃)的单调

性，此时可通过判断/(〃+1)-./•(〃)<()(或/(〃+1)—/(")>0)进行判断，从而降低利用导数判断其单

调性的难度.

22

20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆「：0+2=1(。〉8>0)的左、右顶点分别为A、B,右焦点

为F,且椭圆「过点倒,、6)、(2,1),过点尸的直线/与椭圆「交于P、。两点(点P在x轴的上方).

(D求椭圆「的标准方程；

(2)若际+2砺=6，求点P坐标；

(3)设直线AP、BQ的斜率分别为匕、&2,是否存在常数2,使得勺+，%2=0?若存在，请求出4的值;

若不存在，请说明理由.

22

［答案］(1)二+匕=1

95

(3)存在，2=

［解析］

［分析］(1)代入已知两点坐标求得。力得椭圆方程；

⑵设尸(石，凶)(凹＞0),。(工2，%)・由万+2砺=6，可用玉，M表示出苫2，%，然后把P，。的坐标代

入椭圆方程可解得王，X；

(3)设存在常数/I,使得匕+〃2=0•由题意可设直线/的方程为％=，2+2,点尸(％，x),Q(x2,y2),

%

、k.%,+3v,(x.-3)A-3

求出一2一二〉士,把(9,为)代入椭圆方程，变形出一一，代入把2表示出y％，

&%%(玉+3)%

%2—3

M+%的表达式.然后把直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得》|+%，乂月，再代入X的表达式可得

常数.

［小问1详解］

b=y[5

因为椭圆「过点（0,6）、（2,$,则有＜a=3

425，解得

方丽=1b=E

22

所以椭圆「的标准方程为工+匕=1.

95

［小问2详解］

设P（%,y）（y＞（））,。（孙冉）•由⑴知，尸（2,0）.

因为万+2砺=6,则有（2-%，-%）+2（2-积一%）=（。,0），

即（6-西-2x2,-y,-2^2）=（0,0）,

_6-X]

6—X—2x=0,

所以《二?八解得《2

If-2y2=0,_A

%=2，

6f_2L

即Q

2'2

r2V2

分别将P、Q两点的坐标代入土+二=1得

95

22

入।,M

----11,33

9----5玉=“玉=7

22解得《（舍）或，

_A5垂）5垂）

y产一丁

--------F------1,乂=丁

95

（3573

所以所求点P的坐标为「工

［小问3详解］

设存在常数2,使得K+2&=0.由题意可设直线/的方程为x=/2+2,点P（x”y）,Q（w，%）,则

♦

k、=玉+3_弘（々-3）

k2%>2a+3）

%2—3

22

即点5(X2+3)

又因为&-+2-1,即

2

95x2-99%

-9)访

所以一九一

5(x)+3)(X2+3)5(/畔+5)(/佻+5)

一9y%

即一九

5[疗“%+5/〃(”+%)+25]

x=my+2,

又由《%22得(5病+9)V+20冲_25=0,△=900"+1)>0,

——+—=1,

I95

「20m25

且f=一・代入(*)得

5"+9

-+5%+9

£

—Z=

25+5,〃一―5

5irr+25

5m2+9(5m2+9

即/i=T

所以存在常数几=—使得匕+2e=0.

21.已知函数y=/(x)的定义域为区间。，若对于给定的非零实数，小存在/,使得./■(%)=/(玉)+m),

则称函数y=/(x)在区间D上具有性质p(m).

⑴判断函数/(X)=f在区间［-1,1］上是否具有性质并说明理由;

⑵若函数/(X)=sinx在区间＞0)上具有性质,求n的取值范围;

(3)已知函数y=/(x)的图像是连续不断的曲线，且/(0)=〃2),求证：函数y=〃x)在区间［0,2］上

具有性质产(；)

［答案］(1)具有性质Pg)

,理由见解析

(3)证明见解析

［解析］

(1A21

［分析］⑴由题可得片=%+已，则%)=一工，结合条件即得;

\2)4

，1A347T54

(2)由sin.%=sinx0»解得玉)=Z乃+可，x0+—=^+―G(O,n)(A:eN),可得即

得；

⑶设g(x)=/(x)_/(x+；),XG0,1,可得

g(O)+g…+g(浮)+…+gC)=/(2)-/(0)=0,当