中考数学《锐角三角函数》专题训练(附答案解析)

第页中考数学《锐角三角函数》专题训练(附答案解析)一单选题1．计算的结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】化简二次根式并代入特殊角的锐角三角比再按照正确的运算顺序进行计算即可．【详解】解＝＝＝．故选B【点睛】此题考查了二次根式的运算特殊角的锐角三角比等知识熟练掌握运算法则是解题的关键．2．的值等于（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【解析】根据三角函数定义正切=对边与邻边之比进行求解．【详解】作一个直角三角形∠C=90°∠A=45°如图∴∠B=90°-45°=45°∴△ABC是等腰三角形AC=BC∴根据正切定义∵∠A=45°∴故选B．【点睛】本题考查了三角函数熟练理解三角函数的定义是解题关键．3．如图一条河两岸互相平行为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直）测PQ两点距离为m米则河宽PT的长度是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】结合图形利用正切函数求解即可．【详解】解根据题意可得∴故选C．【点睛】题目主要考查解直角三角形的实际应用理解题意利用正切函数解直角三角形是解题关键．4．如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图该起重机的变幅索顶端记为点A变幅索的底端记为点B垂直地面垂足为点D垂足为点C．设下列关系式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据正弦三角函数的定义判断即可．【详解】∵BC⊥AC∴△ABC是直角三角形∵∠ABC=α∴故选D．【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．5．计算的值为（

）A． B．0 C． D．【答案】C【解析】直接利用特殊角的三角函数值绝对值的性质分别化简得出答案．【详解】故选C．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值绝对值的性质等知识正确化简各数是解题关键．6．如图某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离在学校附近选一点C利用测量仪器测得．据此可求得学校与工厂之间的距离等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解直角三角形已知一条直角边和一个锐角求斜边的长．【详解】．故选D．【点睛】本题考查解直角三角形应用掌握特殊锐角三角函数的值是解题关键．7．从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度船离灯塔的水平距离为（

）A．米 B．米 C．21米 D．42米【答案】A【解析】在直角三角形中已知角的对边求邻边可以用正切函数来解决．【详解】解根据题意可得船离海岸线的距离为42÷tan30°=42（米）.故选A．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．8．（2020·贵州黔西）如图某停车场入口的栏杆AB从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α则栏杆A端升高的高度为（

）A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米【答案】B【解析】过点A′作A′C⊥AB于点C根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】解如答图过点A′作A′C⊥AB于点C．在Rt△OCA′sinα＝所以A′C＝A′O·sinα．由题意得A′O＝AO＝4所以A′C＝4sinα因此本题选B．【点睛】本题考查解直角三角形解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义本题属于基础题型．9．如图某数学兴趣小组测量一棵树的高度在点A处测得树顶C的仰角为在点B处测得树顶C的仰角为且ABD三点在同一直线上若则这棵树的高度是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设CD=x在Rt△ADC中∠A=45°可得CD=AD=xBD=16-x在Rt△BCD中用∠B的正切函数值即可求解．【详解】设CD=x在Rt△ADC中∠A=45°∴CD=AD=x∴BD=16-x在Rt△BCD中∠B=60°∴即解得故选A．【点睛】本题考查三角函数根据直角三角形的边的关系建立三角函数模型是解题的关键．10．如图某博物馆大厅电梯的截面图中AB的长为12米AB与AC的夹角为则高BC是（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【解析】在Rt△ACB中利用正弦定义sinα=代入AB值即可求解．【详解】解在Rt△ACB中∠ACB=90°∴sinα=∴BC=sinαAB=12sinα（米）故选A．【点睛】本题考查解直角三角形的应用熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．11．（2022·福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC其中AB＝ACBC＝44cm则高AD约为（

）（参考数据）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【答案】B【解析】根据等腰三角形的性质及BC＝44cm可得cm根据等腰三角形的性质及可得在中由求得AD的长度．【详解】解∵等腰三角形ABCAB＝ACAD为BC边上的高∴∵BC＝44cm∴cm．∵等腰三角形ABCAB＝AC∴．∵AD为BC边上的高∴在中∵cm∴cm．故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义熟练掌握正切的定义是解题的关键．12．（2022·湖北武汉）由4个形状相同大小相等的菱形组成如图所示的网格菱形的顶点称为格点点ABC都在格点上∠O=60°则tan∠ABC=（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】证明四边形ADBC为菱形求得∠ABC=30°利用特殊角的三角函数值即可求解．【详解】解连接AD如图∵网格是有一个角60°为菱形∴△AOD△BCE△BCD△ACD都是等边三角形∴AD=BD=BC=AC∴四边形ADBC为菱形且∠DBC=60°∴∠ABD=∠ABC=30°∴tan∠ABC=tan30°=．故选C．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质特殊角的三角函数值证明四边形ADBC为菱形是解题的关键．13．（2022·湖北十堰）如图坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下在斜坡上的树影BC长为m则大树AB的高为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形进而利用三角函数求解．【详解】解如图过点C作水平线与AB的延长线交于点D则AD⊥CD∴∠BCD=α∠ACD=45°．在Rt△CDB中CD=mcosαBD=msinα在Rt△CDA中AD=CD×tan45°=m×cosα×tan45°=mcosα∴AB=AD-BD=（mcosα-msinα）=m（cosα-sinα）．故选A．【点睛】本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法另外利用三角函数时要注意各边相对．14．（2021·山东济南）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为无人机垂直下降至处又测得试验田左侧边界处俯角为则之间的距离为（参考数据结果保留整数）（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据题意易得OA⊥MN∠N=43°∠M=35°OA=135mAB=40m然后根据三角函数可进行求解．【详解】解由题意得OA⊥MN∠N=43°∠M=35°OA=135mAB=40m∴∴∴故选C．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用熟练掌握三角函数是解题的关键．15．（2021·广西桂林）如图在平面直角坐标系内有一点P（34）连接OP则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】作PM⊥x轴于点M构造直角三角形根据三角函数的定义求解．【详解】解作PM⊥x轴于点M∵P（34）∴PM=4OM=3由勾股定理得OP=5∴故选D【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义一个角的正弦值等于它所在直角三角形的对边与斜边之比．16．（2021·黑龙江哈尔滨）如图是的直径是的切线点为切点若则的长为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意易得然后根据三角函数可进行求解．【详解】解∵是的切线∴∵∴故选D．【点睛】本题主要考查切线的性质及解直角三角形熟练掌握切线的性质及三角函数是解题的关键．17．（2021·广西柳州）如图所示点ABC对应的刻度分别为135将线段绕点C按顺时针方向旋转当点A首次落在矩形的边上时记为点则此时线段扫过的图形的面积为（

）A． B．6 C． D．【答案】D【解析】由题意可知AC扫过的图形为一个扇形半径为4求出再根据扇形面积公式求解即可．【详解】解由图可知AC=A’C=4BC=2∴∴线段扫过的图形为扇形此扇形的半径为∴故选D．【点睛】本题考查了扇形的面积公式读懂题目明确AC扫过的图形为一个扇形且扇形的半径为4是解决本题的关键．18．（2021·浙江金华）如图是一架人字梯已知米AC与地面BC的夹角为则两梯脚之间的距离BC为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【解析】根据等腰三角形的性质得到根据余弦的定义即可得到答案．【详解】过点A作如图所示∵∴∵∴∴故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用明确等腰三角形的性质是解题的关键．19．（2021·广东深圳）如图在点F处看建筑物顶端D的仰角为32°向前走了15米到达点E即米在点E处看点D的仰角为64°则的长用三角函数表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】首先根据题目条件利用外角的性质得出△DEF是等腰三角形在Rt△DEC中利用∠DEC的正弦即可表示出CD的长度．【详解】∵∠F=32°∠DEC=64°∴∠DEF=∴由题可知△DCE为直角三角形在Rt△DEC中即∴故选C【点睛】本题考查三角形的外角等腰三角形的性质解直角三角形的运算解题关键是利用三角形的外角得出等腰三角形．20．（2021·云南）在中若则的长是（

）A． B． C．60 D．80【答案】D【解析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值求出BC然后利用勾股定理即可求解．【详解】解∵∠ABC=90°sin∠A==AC=100∴BC=100×3÷5=60∴AB==80故选D．【点睛】本题主要考查的是解直角三角形掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．21．（2020·贵州黔南）如图数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度在点D处测得旗杆顶端A的仰角为55°测角仪的高度为1米其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米设旗杆的高度为x米则下列关系式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据仰角的定义和锐角三角函数解答即可．【详解】解∵在中∴故选B．【点睛】本题考查了锐角三角函数和解直角三角形的实际应用．注意数形结合思想的应用．22．（2020·广西河池）在Rt△ABC中∠C＝90°BC＝5AC＝12则sinB的值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】直接利用勾股定理得出AB的长再利用锐角三角函数得出答案．【详解】解如图所示∵∠C＝90°BC＝5AC＝12∴∴．故选D．【点睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义在直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边解题的关键是理解三角函数的定义．23．（2020·吉林长春）比萨斜塔是意大利的著名建筑其示意图如图所示．设塔顶中心点为点塔身中心线与垂直中心线的夹角为过点向垂直中心线引垂线垂足为点．通过测量可得的长度利用测量所得的数据计算的三角函数值进而可求的大小．下列关系式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】确定所在的直角三角形找出直角然后根据三角函数的定义求解【详解】由题可知△ABD是直角三角形．选项BCD都是错误的故答案选A．【点睛】本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解准确理解是解题的关键．24．（2020·四川凉山）如图所示的顶点在正方形网格的格点上则的值为（）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】如图取格点E连接BE构造直角三角形利用三角函数解决问题即可【详解】如图取格点E连接BE由题意得∴．故答案选A．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关知识点准确构造直角三角形利用勾股定理求边是解题的关键．25．（2022·内蒙古通辽）如图由边长为1的小正方形构成的网格中点都在格点上以为直径的圆经过点则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先根据勾股定理求出AB的长度然后根据圆周角定理的推论得出计算出即可得到．【详解】解∵为直径∴∴∴∵∴∴故选B．【点睛】本题考查圆的性质和三角函数掌握勾股定理及圆周角定理的推论是关键．26．（2022·广西贵港）如图在网格正方形中每个小正方形的边长为1顶点为格点若的顶点均是格点则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】过点C作AB的垂线构造直角三角形利用勾股定理求解即可．【详解】解过点C作AB的垂线交AB于一点D如图所示∵每个小正方形的边长为1∴设则在中在中∴解得∴故选C．【点睛】本题考查了解直角三角形勾股定理等知识解题的关键是能构造出直角三角形．27．（2022·湖北荆州）如图在平面直角坐标系中点AB分别在x轴负半轴和y轴正半轴上点C在OB上连接AC过点O作交AC的延长线于P．若则的值是（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】由可知OP与x轴的夹角为45°又因为则为等腰直角形设OC=xOB=2x用勾股定理求其他线段进而求解．【详解】∵P点坐标为（11）则OP与x轴正方向的夹角为45°又∵则∠BAO=45°为等腰直角形∴OA=OB设OC=x则OB=2OC=2x则OB=OA=3x∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质平行线的性质勾股定理和锐角三角函数的求解根据P点坐标推出特殊角是解题的关键．28．（2022·四川宜宾）如图在矩形纸片ABCD中将沿BD折叠到位置DE交AB于点F则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先根据矩形的性质和折叠的性质利用“AAS”证明得出设则根据勾股定理列出关于x的方程解方程得出x的值最后根据余弦函数的定义求出结果即可．【详解】解∵四边形ABCD为矩形∴CD=AB=5AB=BC=3根据折叠可知∴在△AFD和△EFB中∴（AAS）∴设则在中即解得则∴故C正确．故选C．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题三角形全等的判定和性质勾股定理三角函数的定义根据题意证明是解题的关键．29．（2021·山东德州）某商场准备改善原有楼梯的安全性能把坡角由37°减至30°已知原楼梯长为5米调整后的楼梯会加长（）（参考数据）A．6米 B．3米 C．2米 D．1米【答案】D【解析】根据正弦三角函数的定义先求出楼梯的高度然后因为楼梯的高度不变再根据正弦三角函数的定义求出调整后楼梯的长度则可调整后的楼梯的长度变化．【详解】由题意得sin37°=∴h=5×=3∴调整后的楼梯长==6∴调整后的楼梯会加长6-5=1m．故答案为D．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题掌握坡角的概念熟记三角函数的定义是解题的关键．30．（2021·山东日照）如图在一次数学实践活动中小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处然后沿斜坡前行到达最佳测量点处在点处测得塔顶的仰角为已知斜坡的斜面坡度且点在同一平面内小明同学测得古塔的高度是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】过作于于得到设根据勾股定理得到求得于是得到结论．【详解】解过作于于斜坡的斜面坡度设故选A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题解直角三角形的应用坡角坡度问题正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．31．（2021·四川巴中）如图点ABC在边长为1的正方形网格格点上下列结论错误的是（）A．sinB B．sinCC．tanB D．sin2B+sin2C＝1【答案】A【解析】根据勾股定理得出ABACBC的长进而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形进而解答即可．【详解】解由勾股定理得∴△ABC是直角三角形∠BAC=90°∴只有A错误．故选择A．【点睛】此题考查解直角三角形关键是根据勾股定理得出ABACBC的长解答．32．（2021·内蒙古呼和浩特）如图正方形的边长为4剪去四个角后成为一个正八边形则可求出此正八边形的外接圆直径d根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长便可估计的值下面d及的值都正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据勾股定理求出多边形的边长利用多边形内角和求解内角度数再根据锐角三角函数求值即可．【详解】解设剪去△ABC边长AC=BC=x可得解得x=则BD=∵正方形剪去四个角后成为一个正八边形根据正八边形每个内角为135度则∠BFD=22.5°∴外接圆直径d=BF=根据题意知周长÷d==故选C．【点睛】本题考查了勾股定理多边形内角和圆周长直径公式和锐角三角函数等相关知识阅读理解题意是解决问题的关键．33．（2020·广西柳州）如图在Rt△ABC中∠C=90°AB=4AC=3则cosB==（）A． B． C． D．【答案】C【解析】直接利用勾股定理得出BC的长再利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】∵在Rt△ABC中∠C=90°AB=4AC=3∴∴．故选C．【点睛】本题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义正确掌握边角关系是解题关键．34．（2020·山东济南）如图△ABC△FED区域为驾驶员的盲区驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°点AF为视线与车窗底端的交点AFBEAC⊥BEFD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m则盲区中DE的长度是（

）（参考数据sin43°≈0.7tan43°≈0.9sin20°≈0.3tan20°≈0.4）A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m【答案】B【解析】首先证明四边形ACDF是矩形利用∠PBE的正弦值可求出AC的长即可得DF的长利用∠PEB的正切值即可得答案．【详解】∵FD⊥ABAC⊥EB∴DF∥AC∵AF∥EB∴四边形ACDF是平行四边形∵∠ACD＝90°∴四边形ACDF是矩形∴DF＝AC在Rt△ACB中∵∠ACB＝90°∠ABE=43°∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m）∴DF＝AC＝1.12（m）在Rt△DEF中∵∠FDE＝90°∠PEB=20°∴tan∠PEB＝≈0.4∴DE≈＝2.8（m）故选B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．二填空题35．（2022·广西柳州）如图某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为αsinα＝堤坝高BC＝30m则迎水坡面AB的长度为____m．【答案】50【解析】直接利用坡角的定义结合锐角三角函数关系得出答案．【详解】解根据题意得∠ACB=90°sinα＝∴∵BC＝30m∴解得AB=50m即迎水坡面AB的长度为50m．故答案为50【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．36．（2020·湖南湘潭）计算________．【答案】【解析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．【详解】故答案为．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值牢固记忆是解题的关键．37．（2020·四川攀枝花）_______．【答案】【解析】【详解】.故答案为.38．（2020·江苏南通）如图测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m则建筑物AB的高度约为_____m．（结果保留小数点后一位参考数据sin50°≈0.77cos50°≈0.64tan50°≈1.19）【答案】7.5【解析】过点D作DE⊥AB垂足为点E根据正切进行求解即可【详解】解如图过点D作DE⊥AB垂足为点E则DE＝BC＝5DC＝BE＝1.5在Rt△ADE中∵tan∠ADE＝∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米）∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米）故答案为7.5．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用准确构造直角三角形是解题的关键．39．（2020·湖北省直辖县级单位）如图海中有个小岛A一艘轮船由西向东航行在点B处测得小岛A位于它的东北方向此时轮船与小岛相距20海里继续航行至点D处测得小岛A在它的北偏西60°方向此时轮船与小岛的距离为________海里．【答案】20【解析】过点A作AC⊥BD根据方位角及三角函数即可求解．【详解】如图过点A作AC⊥BD依题意可得∠ABC=45°∴△ABC是等腰直角三角形AB=20(海里)∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)在Rt△ACD中∠ADC=90°-60°=30°∴AD=2AC=20(海里)故答案为20．【点睛】此题主要考查解直角三角形解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．40．（2021·广西梧州）某市跨江大桥即将竣工某学生做了一个平面示意图（如图）点A到桥的距离是40米测得∠A＝83°则大桥BC的长度是___米．（结果精确到1米）（参考数据sin83°≈0.99cos83°≈0.12tan83°≈8.14）【答案】326【解析】根据正切的定义即可求出BC．【详解】解在Rt△ABC中AC=40米∠A=83°∴（米）故答案为326【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．41．（2021·辽宁本溪）如图由边长为1的小正方形组成的网格中点ABC都在格点上以为直径的圆经过点C和点D则________．【答案】【解析】根据同弧所对的圆周角相等可得再利用正切的定义求解即可．【详解】解∵∴故答案为．【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等求角的正切值掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．42．（2021·湖北湖北）如图某活动小组利用无人机航拍校园已知无人机的飞行速度为从A处沿水平方向飞行至B处需同时在地面C处分别测得A处的仰角为B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是_______（结果保留整数）【答案】20【解析】过点作于点过点作水平线的垂线垂足为点先解直角三角形求出的长从而可得再根据直角三角形的性质求出的长即可得．【详解】解如图过点作于点过点作水平线的垂线垂足为点由题意得在中在中在中即这架无人机的飞行高度大约是故答案为20．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用通过作辅助线构造直角三角形是解题关键．43．（2021·四川广元）如图在的正方形网格图中已知点ABCDO均在格点上其中ABD又在上点E是线段与的交点．则的正切值为________．【答案】【解析】由题意易得BD=4BC=2∠DBC=90°∠BAE=∠BDC然后根据三角函数可进行求解．【详解】解由题意得BD=4BC=2∠DBC=90°∵∠BAE=∠BDC∴故答案为．【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键．44．（2021·四川乐山）如图为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度佳佳在点处测得石碑顶点的仰角为她朝石碑前行5米到达点处又测得石顶点的仰角为那么石碑的高度的长________米．（结果保留根号）【答案】【解析】先根据已知条件得出△ADC是等腰三角形再利用AB=sin60°×AD计算即可【详解】解由题意可知∠A=30°∠ADB=60°∴∠CAD=30°∴△ADC是等腰三角形∴DA=DC又DC=5米故AD=5米在Rt△ADB中∠ADB=60°∴AB=sin60°×AD=米故答案为【点睛】本题考查等腰三角形的性质解直角三角形熟练记忆特殊角的锐角三角函数值是关键45．（2022·湖南湘西）阅读材料余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的在△ABC中∠A∠B∠C所对的边分别为abc则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为a2＝b2＋c2﹣2bccosAb2＝a2＋c2﹣2accosBc2＝a2＋b2﹣2abcosC现已知在△ABC中AB＝3AC＝4∠A＝60°则BC＝_____．【答案】【解析】从阅读可得BC2＝AB2＋AC2﹣2ABACcosA将数值代入求得结果．【详解】解由题意可得BC2＝AB2＋AC2﹣2AB•AC•cosA＝32＋42﹣2×3×4cos60°＝13∴BC＝故答案为．【点睛】本题考查了阅读理解能力特殊角锐角三角函数值等知识解决问题的关键是公式的具体情景运用．46．（2022·内蒙古通辽）如图在矩形中为上的点则______．【答案】##【解析】【详解】解设在矩形中为上的点故答案为．【点睛】本题考查了矩形的性质勾股定理求正切掌握正确的定义是解题的关键．47．（2022·贵州遵义）数学小组研究如下问题遵义市某地的纬度约为北纬28°求北纬28纬线的长度．小组成员查阅相关资料得到如下信息信息一如图1在地球仪上与赤道平行的圆圈叫做纬线信息二如图2赤道半径约为6400千米弦以为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度（参考数据）根据以上信息北纬28°纬线的长度约为__________千米．【答案】33792【解析】根据平行线的性质可知在中利用锐角三角函数求出即为以为直径的圆的半径求出周长即可．【详解】解如图过点O作垂足为D根据题意∵∴∵在中∴∵∴由垂径定理可知∴以为直径的圆的周长为故答案为33792．【点睛】本题考查解直角三角形平行线的性质解题的关键是熟练三角函数的含义与解直角三角形的方法．48．（2022·内蒙古赤峰）如图为了测量校园内旗杆AB的高度九年级数学应用实践小组根据光的反射定律利用镜子皮尺和测角仪等工具按以下方式进行测量把镜子放在点O处然后观测者沿着水平直线BO后退到点D这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°观测者眼睛与地面距离CD=1.7mBD=11m则旗杆AB的高度约为_________m．（结果取整数）【答案】17【解析】如图容易知道CD⊥BDAB⊥BD即∠CDO=∠ABO=90°．由光的反射原理可知∠COD=∠AOB=60°这样可以得到△COD∽△AOB然后利用对应边成比例就可以求出AB．【详解】解由题意知∠COD=∠AOB=60°∠CDE=∠ABE=90°∵CD=1.7m∴OD=≈1(m)∴OB=11-1=10(m)∴△COD∽△AOB．∴即∴AB=17(m)答旗杆AB的高度约为17m．故答案为17．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用相似三角形的应用本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中利用相似三角形的性质就可以求出结果．49．（2022·江苏常州）如图在四边形中平分．若则______．【答案】【解析】过点作的垂线交于证明出四边形为矩形为等腰三角形由勾股定理算出即可求解．【详解】解过点作的垂线交于四边形为矩形平分∴∠CDB=∠CBD故答案为．【点睛】本题考查了锐角三角函数矩形等腰三角形形勾股定理平行线的性质解题的关键是构造直角三角形求解．50．（2022·广西河池）如图把边长为12的矩形ABCD沿长边BCAD的中点EF对折得到四边形ABEF点GH分别在BEEF上且BG＝EH＝BE＝2AG与BH交于点ON为AF的中点连接ON作OM⊥ON交AB于点M连接MN则tan∠AMN＝_____．【答案】##0.625【解析】先判断出四边形ABEF是正方形进而判断出△ABG≌△BEH得出∠BAG=∠EBH进而求出∠AOB=90°再判断出△AOB~△ABG求出再判断出△OBM～△OAN求出BM=1即可求出答案．【详解】解∵点EF分别是BCAD的中点∴∵四边形ABCD是矩形∴∠A=90°AD∥BCAD=BC∴∴四边形ABEF是矩形由题意知AD=2AB∴AF=AB∴矩形ABEF是正方形∴AB=BE∠ABE=∠BEF=90°∵BG=EH∴△ABG≌△BEH（SAS）∴∠BAG=∠EBH∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°∴∠AOB=90°∵BG＝EH＝BE＝2∴BE=5∴AF=5∴∵∠OAB=∠BAG∠AOB=∠ABG∴△AOB∽△ABG∴即∴∵OM⊥ON∴∠MON=90°=∠AOB∴∠BOM=∠AON∵∠BAG+∠FAG=90°∠ABO+∠EBH=90°∠BAG=∠EBH∴∠OBM=∠OAN∴△OBM～△OAN∴∵点N是AF的中点∴∴解得BM=1∴AM=AB-BM=4∴．故答案为【点睛】此题主要考查了矩形性质正方形性质和判定全等三角形的判定和性质相似三角形的判定和性质勾股定理求出BM是解本题的关键．51．（2022·湖南）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形这个图被称为“弦图”它体现了中国古代数学的成就．如图已知大正方形的面积是100小正方形的面积是4那么__．【答案】##0.75【解析】根据两个正方形的面积可得设得到由勾股定理得解方程可得x的值从而解决问题．【详解】解∵大正方形ABCD的面积是100∴．∵小正方形EFGH的面积是4∴小正方形EFGH的边长为2∴设则由勾股定理得解得或（负值舍去）∴∴．故答案为．【点睛】本题主要考查了正方形的性质勾股定理三角函数等知识利用勾股定理列方程求出AF的长是解题的关键．52．（2022·黑龙江绥化）定义一种运算．例如当时则的值为_______．【答案】【解析】根据代入进行计算即可．【详解】解====．故答案为．【点睛】此题考查了公式的变化以及锐角三角函数值的计算掌握公式的转化是解题的关键．53．（2022·贵州黔东南）如图校园内有一株枯死的大树距树12米处有一栋教学楼为了安全学校决定砍伐该树站在楼顶处测得点的仰角为45°点的俯角为30°小青计算后得到如下结论①米②米③若直接从点处砍伐树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响④若第一次在距点的8米处的树干上砍伐不会对教学楼造成危害.其中正确的是_______．（填写序号参考数值）【答案】①③④【解析】过点D的水平线交AB于E先证四边形EACD为矩形ED=AC=12米①利用三角函数求出AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°②利用CD=AE=DEtan30°=4米③利用AB=18.8米＞12米④点B到砍伐点的距离为18.8-8=10.8＜12判断即可．【详解】解过点D的水平线交AB于E∵DE∥ACEA∥CD∠DCA=90°∴四边形EACD为矩形∴ED=AC=12米①AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°=12+4故①正确②∵CD=AE=DEtan30°=4米故②不正确③∵AB=18.8米＞12米∴直接从点A处砍伐树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响故③正确④∵第一次在距点A的8米处的树干上砍伐∴点B到砍伐点的距离为18.8-8=10.8＜12∴第一次在距点A的8米处的树干上砍伐不会对教学楼造成危害.故④正确∴其中正确的是①③④．故答案为①③④．【点睛】本题考查解直角三角形矩形的判断与性质掌握解直角三角形方法矩形的判断与性质是解题关键．54．（2021·贵州黔西）如图热气球的探测器显示从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°看这栋楼底部的俯角为60°热气球A处与地面距离为150m则这栋楼的高度是___m．【答案】100【解析】过A作AH⊥BC交CB的延长线于点H先解Rt△ACD求出CD的长则AH=CD再解Rt△ABH求出BH的长然后根据BC=AD-BH即可得到这栋楼的高度．【详解】解如图过A作AH⊥BC交CB的延长线于点H在Rt△ACD中∵∠CAD＝30°AD＝150m∴CD＝AD•tan30°＝150×＝50（m）∴AH＝CD＝50m．在Rt△ABH中∵∠BAH＝30°AH＝50m∴BH＝AH•tan30°＝50×＝50（m）∴BC＝AD﹣BH＝150﹣50＝100（m）答这栋楼的高度为100m．故答案为100．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题在此类题目中常用的方法是利用作高线转化为直角三角形进行计算．55．（2021·贵州遵义）小明用一块含有60°（∠DAE＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度示意图如图所示若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB为1.62m小明与树之间的水平距离BC为4m则这棵树的高度约为___m．（结果精确到0.1m参考数据1.73）【答案】8.5【解析】先根据题意得出AD的长在Rt△AED中利用锐角三角函数的定义求出CD的长由CE＝CD+DE即可得出结论．【详解】解∵AB⊥BCDC⊥BCAD∥BC∴四边形ABCD是矩形∵BC＝4mAB＝1.62m∴AD＝BC＝4mDC＝AB＝1.62m在Rt△AED中∵∠DAE＝60°AD＝4m∴DE＝AD•tan60°＝4×＝4（m）∴CE＝ED+DC＝4+1.62≈8.5（m）答这棵树的高度约为8.5m．故答案为8.5．【点睛】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．56．（2020·贵州黔南）如图所示在四边形中．连接若则长度是_________．【答案】10【解析】根据直角三角形的边角间关系先计算再在直角三角形中利用勾股定理即可求出．【详解】解在中∵∴．在中．故答案为10．【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理利用直角三角形的边角间关系求出AC是解决本题的关键．57．（2020·辽宁阜新）如图为了了解山坡上两棵树间的水平距离数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角两树间的坡面距离则这两棵树的水平距离约为_________m（结果精确到参考数据）．【答案】4.7【解析】如图所示作出辅助线得到∠BAC=α=20°AB=5再利用余弦的定义得到即可解答．【详解】解如图所示过点A作AC平行于水平面过点B作BC⊥AC于点C则AC为所求由题意可知∠BAC=α=20°AB=5则即故答案为4.7．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用解题的关键是作出辅助线熟悉余弦的定义．58．（2020·湖北荆州）“健康荆州你我同行”市民小张积极响应“全民健身动起来”号召坚持在某环形步道上跑步已知此步道外形近似于如图所示的其中AB与BC间另有步道DE相连D地在AB的正中位置E地与C地相距1km若小张某天沿路线跑一圈则他跑了_______km．【答案】24【解析】过点作设则在中根据勾股定理得到进一步求得再根据三角函数可求可得从而求解．【详解】解过点作设∵∴在中地在正中位置又∵∴∴小张某天沿路线跑一圈他跑了．故答案为24．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型把实际问题转化为数学问题．三解答题59．（2022·内蒙古通辽）某型号飞机的机翼形状如图所示根据图中数据计算的长度（结果保留小数点后一位）.【答案】的长度约为9.8米【解析】延长交的垂线于点交于点则四边形是矩形根据图示可得四边形是正方形解即可求解．【详解】解如图延长交的垂线于点交于点则四边形是矩形四边形是正方形中中米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．60．（2022·黑龙江大庆）如图为了修建跨江大桥需要利用数学方法测量江的宽度．飞机上的测量人员在C处测得AB两点的俯角分别为和．若飞机离地面的高度为且点DAB在同一水平直线上试求这条江的宽度（结果精确到参考数据）【答案】这条江的宽度AB约为732米【解析】在和中利用锐角三角函数用表示出的长然后计算出AB的长【详解】解如图∵∴在中∵∴米在中∵∴（米）∴（米）答这条江的宽度AB约为732米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．题目难度不大解决本题的关键是用含表示出的长．61．（2022·湖北武汉）小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度如图已知测角仪的高度为1.58米她在A点观测杆顶E的仰角为30°接着朝旗杆方向前进20米到达C处在D点观测旗杆顶端E的仰角为60°求旗杆的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据）【答案】旗杆的高度约为18.9米．【解析】过点D作DG⊥EF于点G设EG=x则EF=1.58+x．分别在Rt△AEG和Rt△DEG中利用三角函数解直角三角形可得AGDG利用AD=20列出方程进而得到EF的长度．【详解】解过点D作DG⊥EF于点G设EG=x由题意可知∠EAG=30°∠EDG=60°AD=20米GF=1.58米．在Rt△AEG中tan∠EAG=∴AG=x在Rt△DEG中tan∠EDG=∴DG=x∴x-x=20解得x≈17.3∵EF=1.58+x=18.9(米)．答旗杆的高度约为18.9米．【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键．62．（2022·贵州铜仁）为了测量高速公路某桥的桥墩高度某数学兴趣小组在同一水平地面CD两处实地测量如图所示．在C处测得桥墩顶部A处的仰角为和桥墩底部B处的俯角为在D处测得桥墩顶部A处的仰角为测得CD两点之间的距离为直线在同一平面内请你用以上数据计算桥墩的高度．（结果保留整数参考数据）【答案】103米【解析】延长DC交AB于点E设CE=x米由题意可得AB⊥DE解Rt△AEC求得AE解Rt△BEC求得BE解Rt△AED求得DE根据CD=DE-CE列方程求得x即可【详解】解延长DC交AB于点E设CE=x米∵ABCD在同一平面内AB⊥水平地面点CD在同一水平地面∴AB⊥DERt△AEC中∠ACE=60°EC=x米则AE=EC•tan∠ACE=米Rt△BEC中∠BCE=40°EC=x米则BE=EC•tan∠BEC=0.84x米Rt△AED中∠D=30°AE=米则DE=AE÷tan∠D=3x米∵CD=DE-CE=3x-x=80米∴x=40米∴AB=AE+BE=米∴桥墩的高度为103米【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用掌握正切三角函数的相关概念是解题关键．63．（2022·吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图图②是其侧面示意图．△BCD为主车架AB为调节管点ABC在同一直线上．已知BC长为70cm∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据sin58°=0.85cos58°=0.53tan58°=1.60）【答案】点A到CD的距离AE的长度约为88cm．【解析】根据正弦的概念即可求解．【详解】解在Rt△ACE中∠AEC=90°∠ACE=58°AC=AB+BC=34+70=104(cm)∵sin∠ACE=即sin58°=∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)∴点A到CD的距离AE的长度约为88cm．【点睛】本题考查的是解直角三角形的知识掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．64．（2022·山东威海）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立AB两个观测点然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得AB＝50m∠MAB＝22°∠MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．参考数据sin22°≈cos22°≈tan22°≈sin67°≈cos67°≈tan67°≈．【答案】约为1.7米【解析】过点M作MN⊥AB利用正切函数得出AN≈BN≈结合图形得出然后求解即可．【详解】解过点M作MN⊥AB根据题意可得∴AN≈∴BN≈∵AN+BN=AB=50∴解得MN=m∴河流的宽度约为1.7米．【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解决实际问题理解题意结合图形进行求解是解题关键．65．（2022·黑龙江绥化）如图所示为了测量百货大楼顶部广告牌的高度在距离百货大楼30m的A处用仪器测得向百货大楼的方向走10m到达B处时测得仪器高度忽略不计求广告牌的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据）【答案】4.9m【解析】先求出BC的长度再分别在Rt△ADC和Rt△BEC中用锐角三角函数求出ECDC即可求解．【详解】根据题意有AC=30mAB=10m∠C=90°则BC=AC-AB=30-10=20在Rt△ADC中在Rt△BEC中∴即故广告牌DE的高度为4.9m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用掌握锐角三角函数的性质是解答本题的关键．66．（2021·甘肃兰州）避雷针是用来保护建筑物高大树木等避免雷击的装置．如图小陶同学要测量垂直于地面的大楼顶部避雷针的长度（三点共线）在水平地面点测得点与大楼底部点的距离求避雷针的长度．（结果精确到．参考数据）【答案】【解析】根据然后根据即可得出答案．【详解】解∵∴∵∴即解得m∵∴即解得m∴m．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用正确构造直角三角形将实际问题转换为解直角三角形的问题是解答此题的关键．67．（2021·湖南湘潭）万楼是湘潭历史上的标志性建筑建在湘潭城东北湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院一类寺庙的庄严典雅也吸收了江南民居诸如马头墙猫拱背墙灰瓦等特色而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．某数学小组为了测量万楼主楼高度进行了如下操作用一架无人机在楼基A处起飞沿直线飞行120米至点B在此处测得楼基A的俯角为60°再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C在此处测得楼顶D的俯角为30°请计算万楼主楼的高度．（结果保留整数）【答案】米．【解析】利用俯角定义结合正弦正切的定义含30°角的直角三角形的性质分别解得的长再计算AD的长即可．【详解】解在中中（米）答万楼主楼的高度为米．【点睛】本题考查解直角三角形涉及俯角问题含30°角的直角三角形是重要考点难度较易掌握相关知识是解题关键．68．（2020·西藏）如图所示某建筑物楼顶有信号塔EF卓玛同学为了探究信号塔EF的高度从建筑物一层A点沿直线AD出发到达C点时刚好能看到信号塔的最高点F测得仰角∠ACF＝60°AC长7米．接着卓玛再从C点出发继续沿AD方向走了8米后到达B点此时刚好能看到信号塔的最低点E测得仰角∠B＝30°．（不计卓玛同学的身高）求信号塔EF的高度（结果保留根号）．【答案】2米【解析】在Rt△ACF中根据三角函数的定义得到AF＝AC•tan60°＝7米在Rt△ABE中根据三角函数的定义得到AE＝AB•tan30°＝15×＝5米进而得到结论．【详解】解在Rt△ACF中∵∠ACF＝60°AC＝7米∴AF＝AC•tan60°＝7米∵BC＝8米∴AB＝15米在Rt△ABE中∵∠B＝30°∴AE＝AB•tan30°＝15×＝5米∴EF＝AF﹣AE＝7﹣5＝2（米）答信号塔EF的高度为2米．【点睛】本题考查了解直角三角形仰角俯角问题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形难点是找到并运用题中相等的线段．69．（2020·内蒙古鄂尔多斯）图1是挂墙式淋浴花洒的实物图图2是抽象出来的几何图形．为使身高175cm的人能方便地淋浴应当使旋转头固定在墙上的某个位置O花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm已知龙头手柄OA长为10cm花洒直径AB是8cm龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA＝26°∠OAB＝146°则安装时旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？（计算结果精确到1cm参考数据sin26°≈0.44cos26°≈0.90tan26°≈0.49）【答案】177cm【解析】记地面水平线为通过作辅助线构造直角三角形分别在Rt和在Rt中根据锐角三角函数求出OEBF而点B到地面的高度为175+15＝190cm进而求OG即可．【详解】解如图过点B作地面的垂线垂足为D过点A作地面GD的平行线交OC于点E交BD于点F在Rt中∠AOE＝26°OA＝10则OE＝OA•cos∠AOE≈10×0.90＝9cm在Rt中∠BAF＝30°AB＝8则BF＝AB•sin∠BOF＝8×＝4cm∴OG＝BD﹣BF﹣OE＝（175+15）﹣4﹣9＝177cm答旋转头的固定点O与地面的距离应为177cm．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用掌握构造直角三角形与矩形利用锐角三角函数与矩形的性质是解题的关键．70．（2022·广西河池）如图小敏在数学实践活动中利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行测量从小敏家阳台C测得点A的仰角为33°测得点B的俯角为45°已知观测点到地面的高度CD＝36m求居民楼AB的高度（结果保留整数．参考数据sin33°≈0.55cos33°≈0.84tan33°≈0.65）．【答案】59m【解析】过点C作CE⊥AB于点E则∠AEC＝∠BEC＝90°先证明四边形BECD是矩形BE＝CD＝36m在Rt△BCE中∠BCE＝45°BE＝CE＝CD＝36m在Rt△ACE中∠ACE＝33°CE＝36m求得AE≈23.4m进而得到居民楼AB的高度．【详解】解如图过点C作CE⊥AB于点E则∠AEC＝∠BEC＝90°由题意可知∠CDB＝∠DBE＝90°∴四边形BECD是矩形∴BE＝CD＝36m由题意得CD＝36m∠BCE＝45°∠ACE＝33°在Rt△BCE中∠BCE＝45°∴∠EBC＝90°－∠BCE＝45°∴∠EBC＝∠BCE∴BE＝CE＝CD＝36m在Rt△ACE中∠ACE＝33°CE＝36m∴AE＝CEtan33°≈23.4m∴AB＝AE＋BE＝23.4＋36＝59.4≈59（m）．答居民楼AB的高度约为59m．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．71．（2022·甘肃兰州）如图小睿为测量公园的一凉亭AB的高度他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得然后沿EB方向向前走3m到达点G处在点G处用高1.5m的测角仪FG测得．求凉亭AB的高度．（ACB三点共线．结果精确到0.1m）（参考数据）【答案】m【解析】根据题意可得BC＝FG＝DE＝1.5DF＝GE＝3∠ACF＝90°然后设CF＝x则CD＝（x+3）先在Rt△ACF中利用锐角三角函数的定义求出AC的长再在Rt△ACD中利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程进行计算即可解答．【详解】解由题意得BC＝FG＝DE＝1.5DF＝GE＝3∠ACF＝90°设CF＝x∴CD＝CF+DF＝（x+3）在Rt△ACF中∠AFC＝42°∴AC＝CF•tan42°≈0.9x（m）在Rt△ACD中∠ADC＝31°∴tan31°∴x＝6经检验x＝6是原方程的根∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m）∴凉亭AB的高约为6.9m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．72．（2022·江苏盐城）2022年6月5日“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图是垂直于工作台的移动基座为机械臂mmm．机械臂端点到工作台的距离m．(1)求两点之间的距离(2)求长．（结果精确到0.1m参考数据）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【解析】（1）连接过点作交的延长线于根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．（2）过点作垂足为根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．(1)解如图2连接过点作交的延长线于．在中所以所以在中mm根据勾股定理得m答两点之间的距离约6.7m．(2)如图2过点作垂足为则四边形为矩形m所以m在中mm根据勾股定理得m．m．答的长为4.5m．【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形设法构造直角三角形）再利用锐角三角画数求解73．（2022·广东广州）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图在某一时刻旗杆的AB的影子为BC与此同时在C处立一根标杆CD标杆CD的影子为CECD=1.6mBC=5CD．(1)求BC的长(2)从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知求旗杆AB的高度．条件①CE=1.0m条件②从D处看旗杆顶部A的仰角为54.46°．注如果选择条件①和条件②分别作答按第一个解答计分．参考数据sin54.46°≈0.81cos54.46°≈0.58tan54.46°≈1.40．【答案】(1)(2)①②旗杆AB高度约．【解析】（1）根据BC=5CD求解即可（2）①CE=1.0m时连接DE则有△DEC∽△ACB根据相似的性质求解即可②当时作点D到AB的垂线段DF在Rt△ADF中求出进一步可求出AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．(1)解．(2)解①CE=1.0m时连接DE则有△DEC∽△ACB∴∴②当时作点D到AB的垂线段DF则四边形BCDF是矩形FB=DC=1.6mFD=BC=8.0mRt△ADF中∴．∴AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．∴旗杆AB高度约12.8m．【点睛】本题考查相似三角形的性质解直角三角形近似运算．解题的关键是掌握相似三角形的性质解直角三角形．74．（2022·辽宁大连）如图莲花山是大连著名的景点之一游客可以从山底乘坐索道车到达山项索速车运行的速度是1米/秒小明要测量莲花山山顶白塔的高度他在索道A处测得白塔底部B的仰角的为测得白塔顶部C的仰角的为．索道车从A处运行到B处所用时间的为5分钟．(1)索道车从A处运行到B处的距离约为________米(2)请你利用小明测量的数据求白塔的高度（结果取整数）．（参考数据）【答案】(1)300(2)白塔的高度约为米．【解析】（1）由路程等于速度乘以时间即可得到答案（2）由题意可得而再求解再利用再解方程即可．(1)解∵索速车运行的速度是1米/秒索道车从A处运行到B处所用时间的为5分钟∴（米）故答案为300(2)解由题意可得而∴∴所以白塔的高度约为米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用熟练的利用三角函数建立方程是解本题的关键．75．（2022·青海）随着我国科学技术的不断发展科学幻想变为现实.如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一.图2是垂尾模型的轴切面并通过垂尾模型的外围测得如下数据且求出垂尾模型ABCD的面积.（结果保留整数参考数据）

图1

图2【答案】24【解析】过作垂直的延长线于交于点构建等直角三角形则在直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半即可求出CF勾股定理求出DF即可．在根据等腰直角三角形的性质得出△DAE的底和高即可求出面积．【详解】解过作垂直的延长线于交于点．∵∴∴在中∴∵∴∴．在和中∴．∴∵∴∴∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质三角形的全等以及勾股定理根据题意构建直角三角形根据勾股定理求出三角形的各边是解题的关键．76．（2022·贵州贵阳）交通安全心系千万家．高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪和测速仪到路面之间的距离测速仪和之间的距离一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶在测速仪处测得小汽车在隧道入口点的俯角为25°在测速仪处测得小汽车在点的俯角为60°小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．(1)求两点之间的距离（结果精确到1m）(2)若该隧道限速22m/s判断小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由．（参考数据）【答案】(1)760米(2)未超速理由见解析【解析】（1）分别解求得根据即可求解（2）根据路程除以速度进而比较即可求解．(1)四边形是平行四边形四边形是矩形在中在中答两点之间的距离为760米(2)小汽车从点行驶到点未超速．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．77．（2021·山东青岛）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动准备测量一栋大楼的高度．如图所示其中观景平台斜坡的长是20米坡角为斜坡底部与大楼底端的距离为74米与地面垂直的路灯的高度是3米从楼顶测得路灯项端处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据）【答案】96米【解析】延长AE交CD延长线于M过A作AN⊥BC于N则四边形AMCN是矩形得NC=AMAN=MC由锐角三角函数定义求出EMDM的长得出AN的长然后由锐角三角函数求出BN的长即可求解．【详解】延长交于点过点作交于点由题意得∴四边形为矩形∴.在中∴∴∴∴.在中∴∴∴∴.答大楼的高度约为96米.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题坡度坡角问题根据题意作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．78．（2021·四川内江）在一次课外活动中某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示测得斜坡的坡度坡底的长为8米在处测得树顶部的仰角为在处测得树顶部的仰角为求树高．（结果保留根号）【答案】米．【解析】作BF⊥CD于点F设DF=x米在直角△DBF中利用三角函数用x表示出BF的长在直角△DCE中表示出CE的长然后根据BF-CE=AE即可列方程求得x的值进而求得CD的长．【详解】解作于点设米在中则（米∵且AE=8∴∴在直角中米在直角中米．即．解得则米．答的高度是米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题坡度坡角问题掌握仰角俯角的概念熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．79．（2021·广西河池）如图小明同学在民族广场A处放风筝风筝位于B处风筝线AB长为从A处看风筝的仰角为小明的父母从C处看风筝的仰角为．（1）风筝离地面多少m？（2）AC相距多少m？（结果保留小数点后一位参考数据）【答案】（1）50（2）128.6【解析】（1）如图过作根据的正弦及的长即可求得即风筝的高度（2）分别根据的余弦以及的正切求得进而求得．【详解】（1）如图过作m风筝离地面50m（2）相距128.6m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用掌握锐角三角函数是解题的关键．80．（2021·辽宁鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩公园有南北两个门北门A在南门B的正北方向小明自公园北门A处出发沿南偏东方向前往游乐场D处小华自南门B处出发沿正东方向行走到达C处再沿北偏东方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示）两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据）【答案】【解析】作于E于F易得四边形BCFE是矩形则设则在中利用含30度的直角三角形三边的关系得到在中根据题意得到求得x的值然后根据勾股定理求得AE和BE进而求得AB．【详解】解如图作于E于F四边形BCFE是矩形设则在中在中解得由勾股定理得答公园北门A与南门B之间的距离约为．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题正确构建直角三角形是解题的关键．81．（2020·四川巴中）如图海面上产生了一股强台风．台风中心A在某沿海城市B的正西方向小岛C位于城市B北偏东29°方向上台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动此时台合风中心距离小岛200海里．（1）过点B作于点P求的度数（2）据监测在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响（假设台风在移动过程中风力保持不变）．问在台风移动过程中沿海城市B是否会受到台风影响？请说明理由．（参考数）【答案】（1）59°（2）沿海城市B不会受到台风影响见解析【解析】（1）先由∠MAC=60°知∠BAC=30°再由BP⊥AC知∠ABP=60°结合∠CBN=29°∠ABN=90°得∠ABC=119°继而根据∠PBC=∠ABC-∠