多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其散布习题3.11432.100件产品中有50件一等品，30件二等品，20件三等品.从中不放回地抽取5件，以X,Y分别表示取出的5件中一等品，二等品的件数，求(X,Y)的结合散布列.设随机变量(X，Y)的结合密度函数为k(6xy)，0x2,2y4;p(x，y)o,其他.试求常数k;P(X<1,Y<3);P(X<1.5);P(X+YW.设随机变量(X，Y)的结合密度函数为ke(3x4y)，x0,y0;P(x，yP0,其他.试求常数k;(X，Y)的结合散布函数F(x，y);(3)P(0<XW1,0<Yw2).设二维随时机变量(X,Y)的结合密度函数为x2空,0x1,0y2;p(x,y)30,其他.求P(X+Y>1).13.设二维随时机变量(X,Y)的结合密度函数为求X与Y中起码有一个小于0.5的概率.1了,0x1,0y2;p(x,y)20,其他.习题3.2P153设平面地区D由曲线及直线y=1/x及直线y=0,x=1,x=e2所围成,二维随机变量(X.,Y)在地区D上听从平均散布，试求X的边际密度函数.6.设二维随机变量(X,Y)的结合密度函数为6,0xyx1；P(x,y)0,其他.试求边际密度函数pX(x)和pY(y).12.设

X与

Y是两个相互独立的随机变量

，X~U(0,1),Y~Exp(1).

试求(1)X

与Y的结合密度函数；(2)P(Y

<X);

⑶P(X+Y<1).设随机变量(X,Y)的结合密度函数为1,|x|y,0y1；P(y)x,0,其他.试求(1)边际密度函数Px(X)和pY(y)；(2)X与Y是否独立？16.设二维随机变量

(X,Y)

的结合密度函数为

p(x,y).

证明:X

与Y相互独立的充要条件是p(x,y)

可分别变量，即

p(x,y)=h(x)g(y).

又问

h(x),g(y)

与边际密度函数有什么关系

？习题3.3P1631.设二维随机变量(X,Y)的结合散布列为12300.050.150.2010.070.110.2220.040.070.09试分别求U=max(X,Y)和V=min(X,Y)的散布列.设随时机变量X和Y的散布列分别为X-101P|1/41/21/4Y01P1/21/2已知P(XY=0)=1,试求Z=max(X,Y)的散布列.设X和Y为两个随机变量,且34P(X0,Y0)P(X0)P(Y0)试求P(max(X,Y)0).设X与Y的结合密度函数为(、e(xy),x0,y0;P(x,y)0,其他.试求以下随机变量的密度函数⑴Z=(X+Y)/2;(2)Z=Y-X.8.某种商品一周的需要量是一个随机变量，其密度函数teIt0;P(t)0,t0.为设各周的需要量是相互独立的，试求(1)两周需要量的密度函数p2(x);⑵三周需要量的密度函数p3(x).设二维随机变量(X,Y)在矩形G{(x,y)|0x2,0y1}上听从平均散布，试求边长分别为X和Y的矩形面积Z的密度函数16.设随机变量X1,X2,,Xn相互独立，且Xi~Exp(i),试证：P(Ximin(X12n))-------i------,X,,X12n设随机变量X与Y独立同散布，其密度函数为ex,x0;p(x)0,x0.(1)求UX丫与VX/(XY)的结合密度函数Pu,V(u,v)；⑵以上的U与V独立吗？19.设随机变量X与Y相互独立,且X~Ga(1，),Y~Ga(2，)?试证：U=X+丫与C=X/Y相互独立.习题3.4P1812.求掷n颗骰子出现点数之和的数学希望与方差.从数字0,1,,n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学希望盒中有n个不同的球，其上分别写有数字1,2,,n.每次随机抽出一个，记下其号码，放回去再抽.直到抽到有两个不同的数字为止.求平均抽球次数.设X1,X2,X5是独立同散布的随机变量，其共同密度函数为2x,0x1;p(x)0,其他使求YmaXX1,X2,,X5)的密度函数、数学希望和方差。12.设X,Y独立同散布，都听从标准正态散布N(0,1)，求E[max(X,Y)].15.一商铺经销某种商品，每周进货量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都听从区间(10,20)上的平均散布。商铺每售出一单位商品可得收益1000元;若需求量超过了进货量，则可从其他商铺调剂供给，这时每单位商品获收益为500元，试求此商铺经销该种商品每周的平均收益。18.把一颗筛子独立地掷n次,求1点出现的次数与6点出现次数的协方差及有关系数。在一个有n个人参加的晚会上，每一个人带了一件礼物，且假设个人带的礼物都不相同。晚会期间个人从放在一同的n件礼物中随机抽取一件，试求抽中自己礼物的人数X的均值和1,yx,0x1;P(x,y)0,其他设二维随机变量(X,Y)的结合密度函数为求E(X),E(Y),Cov(X,Y).28.设X!与X2独立同散布，其共同散布为N(,2)o试求YaXbX2与aX1bX2的有关系数。36.设随机变量X与Y都只能取两个值，试证：X与Y的独立性与不有关性是等价的。122,xy1P(x,y);0,x2试证X与Y不独立且X与Y不有关.设随机变量12,,Xn中随意两个的有关系数都是试证:1/(n1)45.X,Xo习题3.5P197设二维连续随机变量(X,Y)的结合密度函数为3x,0x1,0yx;p(x,y)0,其他试求条件密度函数p(yx).38.设二维随机变量(X,Y)听从单位圆内的平均散布，其结合密度函数为(X,Y)的结合密度函数为设二维连续随机变212匸xy,xy1;P(x,y)0,其他.求条件概率P{Y0.75|X0.5}.已知随机变量Y的密度函数为5y4,0y1;PY(y)0,其他.在给定Y=y条件下,随机变量X的条件密度函数为3x2厂0xytp(x|y)y0,其他