第二轮复习专题数列的实际应用

数列的应用一、知识点梳理纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，利率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.二、例题选讲1．(★）某工厂生产总值月平均增长率为，则年平均增长率为-------------------（D） A、 B、 C、 D、2．（★）某储蓄所计划从2022年起力争每年的吸储量比前一年增长8%，则到2022年底该储蓄所的吸储量将比2022年的吸储量增加------------------------------------------（B）A、24%B、•100%C、32%D、•3．（★)一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来的高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和约是---------------------------------------------------（BA、199.8米B、299.6米Ｃ、166.9米4．（★★）中，tanA是以–4为第三项，–1为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是-----------（B）A、钝角三角形B、锐角三角形C、等腰直角三角形D、非等腰直角三角形5．（★★）某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（lg2=,lg3=--(C)A、5B、10C、14D、156．（★★）一套共7册的书计划每2年出一册,若各册书的出版年份数之和这13979,则出齐这套书的年份是------------------------------------------------------------------------------(D)A、1997B、1999C、2022D、20227．（★★)设数列是首项为50，公差为2的等差数列，是首项为10，公差为4的等差数列，以，为相邻两边的矩形内最大圆的面积记为，若k≤21,则=--（Ｂ）A、π(2k+1)2B、π(2k+3)2C、π(k+12)2D、π(k+24)８．（★★)A、B两厂2022年元月份的产值相等，A厂的产值每月增加的产值相同，B厂的产值每月增加率相同，而2022年元月份两厂的产值又相等，则2022年7月份两厂产值------------------------------------------------------------------------------------------------（A）A、A厂高B、B厂高C、相等D、无法确定９．（★★）直角坐标xOy平面上，平行直线x＝n（n＝0，1，2，……，5）与平行直线y＝n（n＝0，1，2，……，5）组成的图形中，矩形共有----------------------------（D）A、25个B、36个C、100个D、225个10．（★★★)农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成.2022年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元),预计该地区自2022年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元根据以上数据，2022年该地区农民人均收入介于--------------------------（B） A、4200元~4400元 B、4400元~4600元 C、4600元~4800元 D、4800元~5000元11．(★)据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2022年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长%，”如果“十·五”期间(2022年~2022年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为___120000______亿元.解：从2022年到2022年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以%为公比的等比数列，∴a5=95933(1+%)4≈120000(亿元).12．(★★)从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精a(1－)n升.解：第一次容器中有纯酒精a－b即a(1－)升，第二次有纯酒精a(1－)－，即a(1－)2升，故第n次有纯酒精a(1－)n升.13．（★）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）.解：10，14．（★★）某人在年初用16万元购买一套住房，付现金6万，按合同余额分6年付清，年利率为10%，每年以复利计算，则每年年底应付22960元（取整数）15．(★★★)在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是___1____.解：由1,x1,x2,4依次成等差数列得：2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3.又由1，y1,y2,8依次成等比数列，得y12=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4,∴P1(2,2),P2(3,4).∴=(3,4)∴16．（★★★）对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是2n+1-2解：，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得an=(n+1)2n,令bn=.数列的前n项和为2+22+23+…+2n=17．（★）某工厂在1999年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资的收入每年元，分流后进入新经济实体，第年的收入为元， （1）求的通项公式； （2）当时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？ （3）当时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？解：（1）由题意得，当时，，当时，， ∴． （2）由已知，当时，要使得上式等号成立， 当且仅当，即，解得，因此这个人第三年收入最少为元． （3）当时， ，上述等号成立，须且因此等号不能取到， 当时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入．18．（★★）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30％的利润； 乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元． 两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10％的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据：）解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和： （万元） 到期时银行的本息和为（万元） ∴甲方案扣除本息后的净获利为：（万元） 乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利： （万元） 贷款的本利和为：（万元） ∴乙方案扣除本息后的净获利为：（万元） 所以，甲方案的获利较多．19．（★★）轻纺城的一家私营企业主，一月初向银行贷款一万元作开店资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的，每月月底需要交纳房租和所得税为该月所得金额（包括利润）的，每月的生活费开支300元，余款作为资金全部投入再经营，如此继续，问该年年底，该私营企业主有现款多少元？如果银行贷款的年利率为，问私营企业主还清银行贷款后纯收入还有多少元？解：第一个月月底余元， 设第个月月底余，第个月月底余， 则， 从而有， 设，∴是等比数列， ∴，， 还贷后纯收入为元．20．（★★）．某地区森林原有木材存量为，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量， （1）求的表达式； （2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于，如果，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：） 解：（1）设第一年的森林的木材存量为，第年后的森林的木材存量为，则 ， ， ， ……… ． （2）当时，有得即， 所以，． 答：经过8年后该地区就开始水土流失．21．（★★★）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－)万元，…第n年投入为800×(1－)n－1万元，所以，n年内的总投入为an=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1=800×(1－)k－1=4000×［1－()n］第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+)，…，第n年旅游业收入为400×(1+)n－1万元.所以，n年内的旅游业总收入为bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)k－1=400×()k－1.=1600×［()n－1］(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，即：1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.三、课后作业1．（★）已知方程（x2-2x+m）(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m-n|=--------------------------------------------------------------------------------------------------(C)A、1B、C、D、2．（★★）直角三角形的三边都是整数，且成等差数列，则其中一边长可能是（A）A、81B、71C、91D、1013．（★★）A、B两物体自相距30m处同时相向运动，A每分钟走3m，B第一分钟走2m，且以后比前一分钟多走0.5m，则A、B从开始运动到相遇经过了---------------（B）A、4分钟B、5分钟C、6分钟D、7分钟4．（★★）某林厂年初森林木材存量S立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x立方米，为实现经过两次砍伐后的木材存量增加50%，则x的值是----------------------------------------------------------------------------------------（C）A、B、C、D、5．（★★)一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给2人，这两人又用一小时各传给未知此信息的另外2人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需的时间大约为--------------------------------------------------------------------------------------------（D）A、3个月B、1个月C、10天D、20小时6．（★★)一直角三角形边长成等比数列，则--------------------------------------------（C）A、三边边长之比为3∶4∶5B、三边边长之比为1∶∶3C、较小锐角的正弦值为D、较大锐角的正弦值为7．(★）某商品分两次提价，方案甲是先提价a%，再提价b%(a>b>0)，方案乙是先提价b%再提价a%，方案丙是两次均提价%，则提价最高的是-------------（C）A、甲B、乙C、丙D、与a,b的取值有关8．（★★）一张报纸，其厚度为a，面积为b，现将此报纸对折（即沿对边中点连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别是----------------------------------------------------（C）A、8a,B、64a,C、128a,D、256a,9．（★★)现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，则剩余钢管的根数为----------------------------------------------------------------------（B）A、9B、10C、19D、2910．（★★★）已知二次函数y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1，当a=1，2，…，n，…时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2，…,dn,…,则d1+d2+…+dn是---------------------A. B. C. D.解：当a=n时y=n(n+1)x2－(2n+1)x+1由｜x1－x2｜=，得dn=，∴d1+d2+…+dn11．（★）一个剧场设置了20排座位，第一排有38个座位，往后每一排都比前一排多2个座位，这个剧场共有1140个座位。12．（★）一梯形的上、下底长分别是12cm，22cm，将梯形的一腰10等分，过每一个分点作平行于底边的直线，则这些直线上夹在两腰之间的线段的长度之和为153cm13．（★★）1992年底世界人口达到亿，若人口的年平均增长率为2%，到2022年底人口将达到亿（取=）14．（★★）据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2022年产生的垃圾量为a吨由此预测，该区下一年的垃圾量为吨，2022年的垃圾量为吨15．（★★）家用电器一件2000元，实行分期付款，每期为一个月，购买后一个月付款一次，再过一个月又付款一次，共付了12次即购买一年后付清，按每月利率10%，每月复利一次计算，则每期应付款元16．（★★）用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半，第二层用去了剩下的砖块的一半多一块，…，依次类推，每一层都是用去了上次剩下砖块的一半多一块，到第十层恰好把砖块用完，共用了2046砖块17．（★★）已知点的序列An(xn，0),n∈N,其中x1=0,x2=a(a＞0),A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1(1)写出xn与xn－1、xn－2之间关系式(n≥3);(2)设an=xn+1－xn，计算a1,a2,a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明；解：(1)当n≥3时，xn=;由此推测an=(－)n-1a(n∈N)证：因为a1=a＞0,且(n≥2)所以an=(－)n-1a.18．（★★）据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到×108吨，占地平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：(1)2022年回收废旧物资多少吨？(2)从1996年至2022年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？(3)从1996年至2022年可节约多少平方公里土地？解：设an表示第n年的废旧物资回收量，Sn表示前n年废旧物资回收总量，则数列{an}是以10为首项，1+20%为公比的等比数列.(1)a6=10(1+20%)5=10×=≈25(万吨)(2)S6==≈(万吨)∴从1996年到2000年共节约开采矿石20×≈1986(万吨)(3）由于从1996年到2022年共减少工业废弃垃圾4×=(万吨)，∴从1996年到2022年共节约：≈3平方公里19．（★★）某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金金额，试求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必证明)；(2)证明ak＞ak+1(k=1,2,…,n－1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；解：(1)第1位职工的奖金a1=，第2位职工的奖金a2=(1－)b，第3位职工的奖金a3=(1－)2b，…，第k位职工的奖金ak=(1－)k－1b;(2)ak－ak+1=(1－)k－1b＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则.20．（★★）已知Sn=1++…+,(n∈N*)设f(n)=S2n+1－Sn+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式：f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立.命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力解：∵Sn=1++…+.(n∈N*)∴f(n+1)＞f(n)∴f(n)是关于n的增函数∴f(n)min=f(2)=∴要使一切大于1的自然数n，不等式f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m